Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Упорядочив индексы, мы можем совокупность компонент двухвалентного тензора записать в виде квадратной матрицы порядка п; при этом первьш индекс коллпоненты полагаем равным номеру строки, второй — номеру столбца. Аналогично, совокупность компонент трехвалентного тензора можно расположить в виде гпрехмерной матрицы и-го порядка.
Чтобы записать трехмерную матрицу, поступаем следующим образом. Зафиксировав какое-либо значение й третьего индекса, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу Ал порядка и. В матрице Ал компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса компоненты равно номеру строки, второго — номеру столбца, а третий индекс равен й. Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде (плоской) прямоугольной матрицы А = ~) А1 А2 ... Ав ~~г1 2) размеров п х и, образованной из элементов блоков Аы Матрипу А 2 также условно называем трехмерной матрицей.
Например, при п = 2 компоненты тензора а'л образуют «трехмерную матрицу второго порядка» 1 1 1 1 11 21 12 22 2 2 2 2 а11 а21 а12 а22 содержащую два двумерных слоя. Компоненты четырехвалснтного тснзора в Е„образуют четырехмеряую матрицу порядка и. Зафиксировав какие.-либо значения к, 1 двух последних индексов, мы получаем квадратную матрицу Аы порядка и — двумерное сечение четырехмерной матрицы. В матрице Аы компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса кол1поненты совпадает с номером строки, значение второго — с номером столбца, а третий и четвертый индексы равны соответственно л.
и й Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде плоской квадратной матрицы А = ~, 'Аы порядка п2, образованной из элементов блоков Ам. Матрица А также может быть названа условно четырехмерной матрицей. Например, при и = 2 тензору а„уы соответствует «четырехмерная матрица Двя некоторых тензоров в евклндовом пространстве употребляется другой способ упорядочивания индексов. О нем сказано ниже, в комментарии к э 37. Описание матричной записи компонент тензора относится к любым тензорам, у которых все индексы квк-то упорядочены. 2 Значок показывает, что элементы матрицы — числа, а не матрии Пы, — см.
введение к гл. 6. 325 Гл. Ц. Тепзоры второго порядка» содержащая четыре двумерных слоя. В 3 36 рассматриваются следующие тензорные операции: сложение тензоров, умножение на число, умнозсение тензоров, свергаывание по одному верхнему и одному низснему индексу, свертывание двух тензоров, транспонирование, си метрирование и альтпернирование тензора по некоторому мнозсеству низсних или верхних индексов. Вообще говоря, тснзор, полученный в результате некоторой алгебраической операции, обозначается новой буквой. Так, тензор,полученный транспонированием тензора агп можно обозначить Ь,; при этом для всех компонент выполнено равенство Ь;: = а,.
Операция симметрирования обозначается заключением в круглые скобки тех индексов тензора, по которым производится симметрирование. Если внутри скобок оказались индексы, по которым симметрирования нет, эти индексы выделяются прямыми чертами. Например, тензор Ь, ы = а<,~з,ьу получается из а,, ы снмметрированием по индексам 1, Ь. Аналогичное замечание можно сделать об операции альтернирования, обозначаемой с помощью заключения в квадратные скобки индексов, по которым производится альтернирование. Умножение тензоров обозначается значком З или точкой.
Умножение тензоров не коммутативно. Так, если а, и Ьы — компоненты тензоров а и Ь, то можно записать а 8 Ь = с, Ь З а = а; при этом с; ьн = а„;Ьы, а, ы = Ь, аы. Тензоры с, д получаются один из другого транспонированием. В 3 37 рассматриваются тензоры в п-мерном евклидовом пространстве б„. В б„определен метрический тензор д.
Его компоненты в произвольном базисе еы..., е„определяются через скалярные произведения базисных векторов формулой д, = (е„е~). Тензор д— симметричный типа (О, 2); его компоненты образую г в каждом базисе магрипу Грама Г этого базиса. Матрица Г 1 определяет симметричный тензор д* типа (2, 0) — коппцисварианпгпый метрический тензор пространства бо. Его компоненты обозначаются через д'з. Имеют место формулы: д'ьдь = б', дгьд"1 = б~. В ортонормированном базисе компоненты тензоров д,ь и д'~ образуют единичные матрицы.
В евклидовом пространстве опрсделенгя операции поднятия и опускания индекса. Для того чтобы у тензора можно было опустить индекс, необходимо, чтобы данный тензор имел хотя бы один верхний индекс. В результате опускания индекса из тензора а получается новый тензор, у которого число нижних индексов увеличено на 1, а число верхних индексов уменьшено на 1 по сравнению с а. Новый 326 Гл.
Ц. Тепзоры тензор во всех ортонормированных базисах илсеет те же компоненты, что и старый. Перечисленные требования однозначно определяют операцию опускания индекса. В неортонормированном базисе компоненты старого и нового тензоров уже не совпадают.
Аналогично определяется операция поднятия индекса. Тензор, полученный из данного тензора в результате поднятия или опускания индекса, обозначается той же буквой, но с иным расположением индексов. Если некоторый верхний индекс появился взамен нижнего, то на месте исчезнувшего индекса оставляется пропуск или ставится точка, а вновь появившийся верхний индекс ставится над ней. Порядок перечисления индексов в преобразованном тензоре должен остаться тем же, что и в исходноьс, т. е. при упорядо сивании индексов вновь появившийся верхний индекс занимает место исчезнувшего нижнего.
При этом обычное правило порядка сгвсе верхние индексы раныпе всех нижних) может быть нарушено. Точки отмечают места нарушения. Для того чтобы опустить индекс у тензора а, заданного своими компонентами в произвольном базисе, можно вычислить свертку произведения асЗ д или д З а и,при необходимости, изменить порядок индексов в полученном тензоре (транспонировать его матрицу). Аналогично, с помощью тензорных произведений а с с д* и д* З а, осуществляется подъем индекса. Поясним сказанное примерами.
Е Опускание индекса у тензора а'. В результате опускания индекса должен получиться тензор типа (О, 2). Обычный порядок индексов у тензоров а' и а, совпадает, поэтому опускание индекса у тензора а', приводи г к тензору а, = д,ьаь. 2. Подъем первого индекса у тензора а;. аналогичен: сь ьс а; = д аз = аь д 3. Поднимем второй индекс у тензора асз т. е. вычислим тензор ас». Вычисляя компоненты свергкн а,ьд»ь = 6~ по обычным правилам, индекс у считаем первым, с — вторым.
В тензоре а,» индекс »в первый, у — второй (при тех же значениях компонент). Матрица тензора ас» транспонирована по отношению к матрице тензора Ь,'. 4. Аналогично, тензор а.'ь может быть вычислен как свертка а'сьдб, но при записи его матрицы порядок индексов должен быть таким: с, у, Й. В некоторых задачах используются ориенгаац л н-мерпого евклидова пространства и дискр лси»са»стный тензор. Приведем их определения.
Все базисы пространства б„могут быть разделены на два класса твк, что детерминант матрицы перехода от любого базиса из одного класса к базису из другого класса отрицателен, а детерлсинант матрицы перехода, связывающей два базиса из одного класса, положителен. В пространстве Е„задана ориентация, если 327 Гл. Ц.
Тепзоры выбран один из двух классов базисов. По аналогии с трехмерным случаем базисы этого класса можно называть правыми, а базисы другого класса левыми. Ориентацию пространства можно задать, например, выбрав один какой-нибудь базис в качестве представителя правых базисов. Если ориентация выбрана, пространство называется ориентированным. Дискримипаптпый тепзор в ориентированном евклидовом пространстве определяется как тензор типа (О, и), имеющий в некотором правом ортонормированном базисе координаты если среди значений индексов есть равные, вп ...а (-1) Гп "' '"~, если значения индексов попарно различны.
Через Х (11 ... 1„) обозначено число нарушений порядка в перестановке (1, ... 1„).Пользуясь законом преобразования компонент, мы можем найти компоненты дискриминантного тензора в любом базисе. В частности, его компоненты в любом правом ортонормированном базисе те же, что и в исходном. В 3 38 используются следующие понятия: поливекпюр (р-вектор), внешпял форма степени д (ц-форма), простой (разложимый) поливентор, разложимал впешплл форма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
