Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 65
Текст из файла (страница 65)
36.23. Можно ли свернуть: 1) вектор и ковектор? 2) вектор и вектор? 3) пару ковекторов? 36.24. Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях. 36.25. Тензоры а'., С', гее заданы матрицами: А2зз, с1о4, сю4 ° Вы !полить свертки ° Т 1) а'~г; 2) а'зе,; 3) аггее. 36.26. Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа (2, 2)? 36.27. Тензор а'„~ задан матрицей: 1) Авзг', 2) Авзз. Найти матрицы сверток: а) а'Р; б) а',~.
338 Гл. Ц. Тензоры 36.28. Тензор аьг~ задан матрицей: 1) Аелз, 2) Аезз; 3) Аавл. Вычислить свертки: а) а',.г; б) а'„г; в) а'„г,.; г) а,'~:, д) а,'.г.; е) а", 36.29. 1) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а',г~ (все индексы пробегают значения от 1 до и). Известно, что для произвольного вектора с~ числа а'„г, ~ь являются компонентами тензора типа (2, 2). Доказать, что а,'ьг -- тензор типа (2, 3). 2) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а'~ (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного тензора и, типа (1, 2) ь числа аьгг и~. ЯвлЯютсЯ компонентами тензоРа типа (О, 2).
Доказать, что аьг~ тензор типа (2, 3). Транспонирование, симметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30 — 36.57). 36.30. Можно ли транспонировать тензор: 1) типа (1, 1); 2) типа (2, 0)? 36.31. Один тензор типа (О, 2) получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции? 36.32. Тензоры 1) снг; 2) а'г; 3) а~г: 4) а'ь заданы соответственно матрицами Ань Ань Аате, Аете.
Найти матрицы транспонированных тензоров. 36.33. 1) Сколько различных тснзоров могкно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора г ач" н. 2) Тензор типа (О, 3) задан матрицей Авте. Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип (3, 0)? 3) Тензор а с компонентами а; ь задан матрицей Атзт. Выписать матрицы транспонированных тензоров е и с, если Ь; ь = = а ьь с, ь = а,ь . 4) Тензор а с компонентами си Ги задан матрицей Ант.
Выписать матрицы транспонированных тензоров 6 и с, если Бц~~ = иь и, с, и = агь ' т" Зб. Алгебраические операции с теиаорами 339 36.34. Пусть а„Ь тензоры типа (1, 1). Выразить тензор с= ЬЗа через 4= а®Ь. 36.35. Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве Ез: 1) х'у~; 2) хйу"); 3) хйу"); 4) х'а ь, 5) х'а,ь, 6) х"а,'; 7) х~"а,'~; 8) х~"а,'1; 36.36. Тензор аб задан матрицей: 1) А1о, '2) Атт; 3) Аз4, 4) Аззз. Найти компоненты тензоров: а) арт>; б) а~'т~. 36.37. Тензор аь.ь задан матрицей: 1) Аозо', 2) -Аоы; 3) Атзю. Найти компоненты тензоРов: а) аб ~ь, б) а;т ь~, в) а~,6 ь~, г) ар.ьр 36.38. Тензор а'„т, задан матрицей: 1) Аоо4; 2) Аоз4 Найти компоненты тензоров: а) аы, б) а „), в) а „, .
36.39. Тензор а, ь задан матрицей: 1) Аозо, 2) Аоы, 3) Атзо. Найти компоненты тензоров: а) асб) ь, б) а; Вь); в) аЬ у ьр 36.40. Тензор а~~~ задан матрицей: 1) Аоо4; 2) Аоз4 Найти компоненты тензоров: а) а ч', б) а „; в) а 36.41. Тензор абь задан матрицей: 1) Атго', 2) Атш. Найти компоненты тензоРов: а) аЬ ь); б) ар.ьр 36.42. Тензор типа (О, 3) задан матрицей: 1) Атзз,' 2) Атзз; 3) Атзю; 4) Аозо, '5) Атзз Выяснить, является ли тензор симметричным (антисимметрич- ным), и если да, то по каким индексам. 36.43. Тензор а'.
задан матрицей А: 1) Азз, 2) Азот. Вычислить инварианты: а) а,', б) а~,.а~~), в) а~,.ага~~). Сравнить найденные инварианты с коэффициентами характеристическо- го многочлена матрицы А. 340 Гл. Ц. Теггооргл 36.44. 1) Доказать, что тснзор е,г л„(см. задачу 35.21) кососимметричен по любой паре индексов. 2) Доказать, что тензор е„,„кососимметричен по любому подмножеству множества индексов. 3) Доказать, что тензор Б" "'" (см. задачу 35.20) кососимметричен по любой паре верхних индексов.
4) Доказать, что тензор о'.г "'" кососимметричен по люболг -Зе му подмножеству множества верхних индексов. 5) Доказать утверждение 4) для нижних индексов. 36.45. Пусть а,. и 5гу — компоненты соответственно симметричного и антисимметричного тензоров. Вычислить свертку а; ЬО. 36.46. Для тензора д",'"";, определенного в задаче 35.20, и пРоизвольных тензоРов ал" 1" и блг лл доказать, что: 36.47. Пусть ал ьЯл(ь = 0 для любого вектора ~'. Доказать, что аггуьг = О. 36.48.
Доказать, что а,'а,' = а( а~~р ага~ = а~~,а~ О Лг) г лг 5 го г ь 36.49. Вычислить: 36.50. 1) Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрллрования по этлллл индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор. 2) Пусть тензор антисиммстричен по некоторой паре индексов. Доказать,что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет.
36.51. 1) Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 аО ь~ = — (а,рь + аьи + а1ьл). 2) Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 ай ьг = — г',ал ь+ ам + а и). З о7. Тензорм в свклидовом пространстве 341 36.52. 1) Тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам.
Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам. 2) Тензор типа (О, 3) антисимметричен по двум первым и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам. 3) Пусть тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой.
36.53. 1) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого ай ь1 = О,но не симметричного по трем индексам. 2) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого аб ь~ = О, но не антисимметричного по трем индексам. 3) Доказать, что для ненулевого тензора а типа (О, 3) возможно одновременное выполнение равенств а0 чй = 0 и а3 ь1 = О. 36.54. Доказать, что любой тензор типа (О, 2) или 12, 0) можно разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров. 36.55. Разложить в сумму симметричного и антисимметричного тснзоров тензор типа (О, 2), заданный матрицей: Ц А4д; 2) А1в; 3) Азз4. 36.56.
Из символа Кронекера с помощью тензорных операций получить тензоры: 1) 6~~~, 2) б",'" " (см. задачи 35.18, 35.20). 36.57. 1) Пусть симметричный тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга т. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 1п..., 1с, таких, что с а = 2 1„ З 1„. о=1 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 3) Квадратичная функция ~р в Ез задана матрицей Авв.
Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли зто представление? 3 37. Тензоры в евклидовом пространстве 37.1. Векторы е1, е~~ заданы своими координатами (1, 0) и (сова, в1п о) относительно некоторого ортонормированного базиса ем ео двумерного евклидова пространства. Выписать матрицы: а) метрического, б) контравариантного метрического, в) 342 Гл. Ц. Тензоры дискриминантного тензоров в базисах: 1) ем ев, '2) ем е~. 37.2.
Доказать, что в произвольном базисе евклидова пространства дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: с;,,„= О, если среди значений индексов есть равные, и е;,,„= ( — 1) 1б "з")о ъЯеФ Г, если индексы попарно различны. Здесь Г -- матрица метрического тензора, М(г~ ... 1„) — число нарушений порядка в перестановке (гм ..., 4„); и = 1 для правых базисов, и = — 1 для левых базисов. 37.3. Доказать, что во всех правых ортонормированных базисах дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: еп н„= О, если среди индексов есть равные, и ай = ( — 1) ~~и "'"~, если г>...
г„попарно различны. Здесь Х(ты .. 1„) число нарушений порядка в перестановке (мм ..., 1„). 37.4. Какой тензор получается, если у метрического тензора поднять один индекс? Оба индекса? 37.5. Какой тензор получается, если у символа Кронекера опустить индекс? Поднять индекс? 37.6. Привести примеры свертывания с метрическим тензором, встречавшиеся в курсе линейной алгебры. 37.7. 1) Тензор а' определяет линейное преобразование в евклидовом пространстве Еп. Найти тензор, определяющий сопряженное преобразование. 2) Сформулировать условие, при котором тензор а' определяет самосопряженное преобразование. 37.8.
Метрический тензор и тензор сн заданы соответственно матрицами: 1) Аьь, Ав, 2) Аьт, Аи, 3) Аз4ы Авш. Найти матрицы тензоров: а) а'.; б) а,,'~: в) аб. 37.9. Верно ли утверждение: если матрица тензора ен симметрична, то симметричны и матрицы тензоров: 1) а,'; 2) аб? 37.10. Метрический тензор и тензор а' заданы соответственно матрицами: 1) Аьв, А4о, :2) Азот, Аззз. Найти матрицы тензоров: а) а,'.~; б) а,'.~. 37.11. Метрический тензор и тензор а'ь заданы соотвст1ь отвеяно матрицами: 5 38. Поливекторы и аллешние формы 343 1) А55~ ~650~ 2) А55~ А651~ Найти матрицу тензора: а) а; ь, 3 38. Поливекторы и внешние формы 38.1.
Функция Г, от двух векторов на трехмерном векторном пространстве сопоставляет любым векторам х и у смешанное произведение (а, х, у). Доказать, что 1, --. 2-форма. 3) Азот Агзз б) а'ль; в) а".ь; г) нлд". 37.12. Метрический тензор и тензор а'„л, заданы соответ- ственно матрицами: 1) Авт, Аввт; 2) Аш, А664. Найти матрицы тензоров: а) ал и, б) алд"л. 37.13. Упростить выражения: 1) (аодд" + б~абд~ь) ды, 2) б'б~~д"'а6, 3) сн дл "дндм. 37.14. Известно, что а'~ = д'дл ал„,ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
