Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Так как Я*/Я = ~бз~, то Я = 2(бгбг~ 2~бгбгбз~ 14.24. 10) Обозначим искомый определитель через 21„. Раскладывая его по первой строке, получим рекуррентное соотношение 1 гз„= 2огз„1 — гз„г. Пусть Ч таково, что 2о = Ч + — (решив квад- Ч 1 ратное уравнение, находим, например, что Ч = о + у'ог — 1, Ч 11 = о — хгог — 1). Из Равенства гз„= Ч+ — ) 21п — 1 — ~п — г слеДУют Ч два рекуррентных соотношения Решения 1 аналогично получим зз = дз, откуда следует г„= — и з„= д" (и ) 1). яв 11 Из формул (13) следует, что в„- г„= д — -( Ь„ы Поэтому при й д т'. -х1 Ь„~ — — ~д" — — ( ( ~д — — / .
Заменив д его выражением через а и раскрыв степени по биному Ньютона, получим (о + тУое -- 1)" — (о — ~'оз — 1)" Ь„ 2в — ~ Г з йв — 1)/2~ — Е Сзйт1ов — аь — 1(о2 1) ь в=о Заменяя н — 1 на п, получим ответ задачи. Рассмотрим случай й = х1 (о = х1). При о = 1 обе формулы (12) совпадают и показывают, что А„образуют арифметическую прогрессию со знаменателем, равным 1.
Так как при этом Ь, = 2, то Ь„= и + 1. Аналогично убеждаемся, что при д = — 1 (а = — Ц Ав = = ( — 1)" (и + 1). Эти частные случаи также содержатся в формуле, указанной в ответе задачи. 14.24. 13) Пусть Ь ~ О. Вынося из каждой строки определителя множитель Ь и обозначая а/Ь = х, получим х10...00 1х1...00 000...1х Следовательно, задача сводится к 14.24, 10), что дает после соот- ветствующих замен обозначений первую из приведенных в ответе формул.
Эта формула остается справедливой н в пропущенном на- ми тривиальном случае 6 = О. «1тобы получить ответ в другой форме, будем считать х перемен- ной величиной. Тогда м' можно рассматривагь как многочлен от х степени и со старшим коэффициентом, равным Ь". По теореме Безу п 1=Л(*)=Ь" И( — .), э=1 где оь — корни уравнения,Ь (х) = О. Из ответа к задаче 14.24, 11), як следует, что А„= 0 при ~р = (к = 1, ..., и).
Сравнивая А„ и -~ 1 и л, убеждаемся, что многочлен л (х) имеет п различных корней 7ГЬ оь = 2 сов, откуда и получаем и+ 1' ~=ь" д(-' — 1. ° ' )=н(,-ю.„ь ). ь=~ в=1 Решения 300 Очевидно, эта формула верна и в пропущенном тривиальном случае д = О. 15.50. Каждое элементарное преобразование строк матрицы А эквввалентно умножению ее слева на элементарную матрицу, которая получается из единичной матрицы с помощью того же элементарного преобразования. Невырожденную матрипу с помощью элементарных преобразований можно перевести в единичную.
Значит, в этом случае получаем Яь ... Я~А = Е, откуда Яь ... Я~ = А ~, А = = В~ ... о' . Матрицы В, ..., Яг, так же как и Яы ..., Я.„., элементарные; они получаются из единичной матрицы «обратными» элементарными преобразованиями строк. 15.51. 1) Общие соображения: в силу решения задачи 15.50, А = Я ' ... Я„', где матрицы Я,, ..., Яь соответствуют элементарным преобразованиям строк матрицы А, переводящим ее в единичную матрицу. Подобрав Ям ..., Вь, затем находим Я,, ..., Я вЂ” 1 -1 На данном примере ниже показано, что процесс можно сократить 1 1 на один шаг.
Упрощаем матрицу А = . Умножим вторую строку на — 1/2. Это равносильно умножению А слева на матрицу 1 0 .Получим 1 0 1 1 1 1 0 — 1/2 0 — 2 01 (14) 1 0 1 0 Матрица В элементаРная. Вычисляем 0 1 ~2 — — 0 2 — — Я. Умножая обе части равенства (14) на Я слева, получим искомое раз- 1 1 1 0 1 1 ложение = ЯВ = 15.73. Диагональная матрица «йай(1, 2, ..., и) невырождена. Используя эту матрипу, мы можем применить результат задачи 1о«.б9, откуда следует диагональность данной матрицы А. Остается доказать равенство всех диагональных элементов А.
Если А— л, о матрица второго порядка; А = О,, то умножим ее слева и Лз ~О -1 справа на матрипу Я = . Приравнивая АЯ и ЯА, убедимся, что Л~ = Лю Аналогичным образом, подбирая В для диагональной матрицы А произвольного порядка, проверим равенство любых двух диагональных элементов А. 15«81. Обратную матрицу ищем методом Гаусса, исходя из матрицы ~ А ~ Е ,,'~ (см. задачу 15.53). Процесс упрощения начинаем с нижней строки.
При этом элементы матриц А и Е, расположенные Решения 361 ниже главной диагонали, нс меняются. В итоге из единичной матрицы должна получиться верхняя треугольная. 15.118. Пусть А — данная матрица перестановки. Рассмотрим всевозможные матрицы А '. Это — матрицы перестановок (см. задал чу 15.108). Число различных матриц перестановок одного порядка конечно. Поэтому существуют натуральные числа р, д такие, что р) диАг=Аг;отсюдаАз "=Е. 16.26. 2) Пусть Ь вЂ” отличный от о столбец матрицы А. Все столбцы А пропорциональны Ь. Ешли а — строка из коэффициентов пропорциональности, то А = Ьа.
16.27. В = А (АВ), С = (СА)А . Применяя теорему об оценке ранга произведения матриц (задача 16.25, 1)), получим неравенства гк В < гя АВ < гк В, гк С < г„СА < гя С, откуда и следуют утверждения. 16.35. Уравнение АВ = О эквивалентно уравнению (ВАТ)(Т' В) = О, где Я, Т вЂ” любые невырожденные матрицы под- Е„О ,' ходящего порядка. Подберелг Я, Т так, чтобы А' = ЯАТ = где .Е, единичная матрица порядка г = ге А. Обозначим В' = = Т лВ. Легко проверить, что первые г строк произведения А'В' совпадают с первыми г строками матрицы В'. Поэтому равенство А'В' = О возлюжно, лишь если первые г строк матрицы В' нулевые. Следовательно, гбВ' < и — т. Но ге В' = г8В, г8А' = г8А = г, поэтому г8 А + г8 В = гя А' + г8 В' < и.
Другое решение задачи получим, если будем интерпретировать столбцы В как решения системы уравнений Ах = о. Тогда данная задача сводится к оценке максимального числа линейно независнлгых решений этой системы. 18.17. 4) Ранг данной фундаментальной матрицы равен и — г = = 4 — г = 2, так что ранг искомой системы уравнений: г = 2. Будем искать два независимых уравнения вида аз аз + агтг + азхз + азтз = = О. Столбцы данной матрицы илг удовлетворяют: ал + аг + аз + аз = О, ал + 2аг + аз + Зал = О. Столбцы фундаментальной матрицы этой системы уравнений — 1 О ! О 1 — 201 дают коэффициенты искомой системы из двух независимых уравнений: — кз -, 'хз = О, вл — 2тг + яз = О. Ответ нс однозначен.
19.30. Проверим для системы уравнений (АтА) х = АтЬ условия теоремы Фредгольма. Пусть уе — решение сопряженной однородной системы у (А А) = о. Тогда уе (А А) уст = О, откуда т т (уоАг ) (уеАт) = О, что возможно, только если (уеАт) = о. Уллножая последнее равенство на Ь, получим при любом столбце Ь: уе (А Ь) = О, т.е. действительно условия теоремы гРредгольма т Репгения 362 выполнены. Отсюда следует совместность системы уравнений (АтА) х = Ат1г 19.31. Допустим противное. Тогда система уравнений ~ а ьхь = в=1 = О О = 1,..., и) имеет нетривиальное решение хзы..., хз. Если хо— максимальная по модулю компонента этого решения, то хо ф О, и Х-е уравнение системы дает а + Л„а ь(х"/ф = О, откуда ввиду ьфг ~х~~/х"~ < 1 получаем (а11~ ( 2 , '(а ь~,что противоречит условию.
лгз 19.34. Будем искать прямую Ах+ Вр+ С = О, содержашую три данные точки. Рассматриваем равенства Аал + ВЬг + С = О, Ааг + ВЬг + С = О, Ааз+ ВЬз+ С = О как систему уравнений относительно неизвестных А, В, С с матри- цей коэффициентов ал Ьг 1 ЛХ= аг Ьг 1 аз Ьз 1 Любое нетривиальное решение систегаы удовлетворяет условию А + + В ~ О, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице.
Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим три данные точки. Условие гй ЛХ = 3 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений нетривиальных решений не имела, т. е. оно необходимо и достаточно для того, чтобы три данные точки не лежали на одной прямой. 19.35. 1) Будем искать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки, в виде Ах + Вр + С = О. Рассмотрим систему уравнений для определения А, В, С: Аал+ ВЬг+ С = О, Ааг + ВЬг + С = О. аг Ьл 1 Ее матрица есть Ь 1 — — ЛХ. Каждое нетривиальное решение аг Ьг 1 системы удовлетворяет условию Аг + Вг ф О, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице.
Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим две данные точки. Если точки (аы Ьл) и (аг, Ьг) различны, то гй ЛХ = 2 и система уравнений имеет одно линейно независимое решение, т. е. существует единственная прямая, содержащая данные точки. Реигения 363 2) Для того чтобы три точки с координатами (л, у), (аы Ьг), (аг, Ьг) лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (сьь ре- шение задачи 19.34) условие л у 1~ а1 Ьг 1'=О.
агЬг1 Это и есть искомое уравнение. Заметим, что ешги данные точки раз- личны, то хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от О,т. е.полученное уравнение действительно определяет прямую. 19.42. 1) Будем искать всевозможные плоскости, содержащие три данные точки. Эта задача приводит к системе уравнений Аа1+ВЬг+ Ссг+Р=О, Ааг + ВЬг + Ссг + Р = О, Ааз + ВЬз + Ссз + Р = 0 относительно неизвестных А, В, С, Р. Так как последний коэффици- ент в каждом уравнении равен единице, то каждое нетривиальное ре- шение системы уравнений удовлетворяет условию А + В + С у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
