Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 72
Текст из файла (страница 72)
1.29. Р(хд — хе+ хз, ихд + тдхз иУ~ + тУз ддзд + тхз Уд Уз + уз) 1.30. Ц ЛХ да+и, т+и т+и д пхд дпхз иуд — пЕз изд — тзз д 2) Лд ),, ~. Указание: иси — т и — т и — т пользовать задачу 1.24. 1.31. Ц ( — 3, 16); 2) (9, — 20). хд+хз+ з Уд+Уз+Уз ~д+~з+ з 3 ' 3 ' 3 . 1.33 ° гр = гз + гз— г,, гн, = гв + г4 — г,, гр, = гд + гз -- г„гр, = гз + гз + г4 — 2гр 374 Ответы и йказа22 л т и т 1.34.
ги = г1 + — (гз — г2), гм = г| + гз, гз= и т+и т+и и т (гз — гз~гз + ~гз — гз~г~ -1- ~гз — г2 гз — г1+ г2 1 36 и — т т — и (г1 — гз) + (г2 — гз( + ~гз — г1( 1.37. Точка пересечеяия л2едиан треугольника„ .вне плоско- т1гд +... + т„гв сти треугольника таких точек нет. 1.38. т2 +... + т„ ,(СО):(ОЛХ)= . 1.46. РЛХ~:)ЛХК!=3:2, т1 и2 и1тз т+и )ВЛХ(: (ЛХХ ! = 16: 9. 1.47. 1.48.
У к а з а н и е: исполь- 2 (и — 2) 2 зовать задачу 1.17. 1.49., Я. 1.52. 1: 3. 1.53. 2; 3. ит — и+ 1 21 ЦЗ/ч'2;2) — 21;3)0;4)5;5) — 6. 22 Ц6;2)38 23 ЦЗ;2) — 1; 3) О. 2.4. Ц О; 2) атосов(4/5); 3) 90', 4) атосов(--3/~'ГО); 5) 180'. 2.5. Ц 10; 2) 5; 3) О. 2.6. Ц 22; 2) — 1; 3) О. 2.7. Ц атосов(5/9); 2) 180', 3) 0; 4) 90', 5) атосов( — 1/3).
2.8. Ц 5у'2; 2) 2; 3) 3. 2.9. Ц ( — 28, — 14); 2) — 13; 3) 77. 2.10. Ц ( — 25, — 20, 5); 2) 11; 3) — 28. 2.12. Нет2 2.13. — 3/2. 2.14. Ц 0; 2) — 4; 3) 2. 2.15. Ц !Ь|2+ !с,'2 — 2(Ь,с); 2) — /Ь|2+ /с 2+ 2(ь,с); 3) 1 ( /с/ — (Ь, с) /Ь! — (Ь, с) 2 ' ),!Ь!~-ь /с/~--2(ь,с) ' !Ь|~+ /с 2 — 2(Ь,с) 2.18. Ц ~АВ~ = /Ь!, !ВС/ = !Ь!2+ ~с!2 — 2(Ь, с), !АР! = З~ВС!, !СР/ = 9;Ь|2 + 4!с/2 — 12(Ь, с), соз ~А = ', ~В = (ь, с) ~ь!2 !Ь) ВС! = 180' — х'.А, сов х'.Р =, ', х'.С = 180' — х'Р; 2(с(2 + 3(Ъ|2 — 5(Ь, с) )ВС(. ~СР~ 3 4 5~ 2 и хХГО, осгрый угол 45'. 2.20.
~АВ~ = 6, ~АС~ = 4;ХЗ, )ВС( = 2ъ'3, 2'А = 30', х'В = 90', 2'.С = 60'. 2.21. Длины сторон 1 3 и 5, острый угол агссов(4/5). 2.22. ~'94. 2.23. — (10, — 11, — 2). 2.24. ' а. 2.25. — а. 2.26. Ц ( — 1, — Ц и (2, — 2); (а,Ь) 3 )а(2 2 2) (О, 0) и (1, — Ц; 3) (3, 3) и (О, 0); 4) ( — 2, — 2) и (О, 0). 2.27. Ц (2, — 2, 4) и (О, О, 0); 2) — (1, — 1, 2) и — (1, 5, 2); 2 1 Ответи и указан и 375 3) [О, О, 0) и [4, О, — 2). 2.28. [5, 2). 2.29. [1, 0) или с в 2.30. [1, — 1, 3). 2.31.
х = а. 1 + ,гЗ 2 ' 2 ' ' (а(з У к а з а н и е: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1) Множество концов векторов, удовлетворяюгцих уравнению [х,а) = р, является прямой линией [все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки 0 на прямую является конец вектора хе = — а. 2) Мнор а(2 жество концов векторов, удовлетворяющих уравнению [х, а) = р, является плоскостью [все векгоры отложены из некоторой точки О).
Нормальным вектором этой плоскости является вектор а. = р Проекцией точки 0 на плоскость является конец вектора хе = а. (а(з 2.33. 1) Радиус-вектор точки пересечения двух прямых [см. задачу 2.32). 2) Радиус-вектор общей точки трех плоскостей [см, задачу 1 2.32). 2.34. Два решения: х [1, — 2, — 3). 2.35. Два решения: уТ4 1 1 4 — [О, 1, 1) и [5, — 3, — 8).
2.36. Угол при вершине агссов —. у'2 7ъ'2 5 (тз — пз( 2.37. 4. 2.39. Острый угол атосов т4 + п4 — 2тз из соз 2а г те+ из — гппЛ 2 40 90' 2 41. 1) ~ ]; 2) гт: 'и; тп тп 3) агссйп ] . 2.44. (АСг(з = а + Ьз -~- сз + гп +и — тп кг29 + 2аЬсозэ + 2Ьс сов о+ 2ас сов 6. 2.47. агссоз [1/18). 2.48. а. 3 2.49. (ЕЛХ(: (Мг ( = (СХ(: '(ХР( = 3: 1. 2.50. 6тГЗ. 3.1. 1) [11, 19, — 7); 2) [О, О, 0); 3) [О, О, — 15).
3.2. 1) 2 (Ь, а]; 9 2) [а, Ь] + 4 [Ь, с] + — [с, а]. 3.4. Л вЂ” ='-АЗ. 3.5. Ц [ег, ез] — ез, 2 [ез,ез] = ег, [ез, е,] = ез, .2) [ег,ез] = — ез [ез,ез] = — ег, [ез,е,] = -ез, (е~( (ез( (ез( ез( (ез(.(ег( 3) [еы ез] = ' ез, [ез, ез] = ' еы [ез, ег] = ез. (ез( ' (е~( (ез 3.6. Либо все векторы а, Ь, с нулевые, либо они образуют ортонормированный базис [тройка векторов а, Ь, с правая). 3.7.
Задача 1 2.34: единственное решение [ — 1, 2, 3); задача 2.35: единственэ~Г4 1 5 5 нос решение — [О, 1, 1). 3.8. 1) — т'3; 2) 5 ь/3/14, —, 5 г/3/14. ,/2 ' ' 2 й2 Опгееты и рхазалг л 376 соз а — соз 1г соз 7 3.9. 18. 3.14. соз й =, где й — двугранный угол, яплг'яп 7 образованный плоскими углами й, 7. Остальные углы выражаются аналогичными формулами.
У к а з а н н е; при вычислениях исполь- [а, Ь) зовать формулу задачи 3.13, 3). 3.15. х = ' . У к аз а н не: [а[г вектор х искать в ниде Л [а, Ь). 3.16. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению [х, а[ = Ь, является прямой линией [все векторы отложены из некоторой точки О). Направляющим вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки О на прямую является конец вектора хе = [а, Ь[~[а[г. 3.17.
Й = 4:Г/ Г[, Г = [а[[Ьс1+ [Ь[[с,а] -~- [с[[аЬ); 1) знак+ соответствуетпраной тройке а, Ь, с, знак — соответствует левой тройке; 2) знак + соответствует левой тройке а, Ь, с, знак — соответствует правой тройке. 3.18. — (1, 2, 0). 3.19. 1) 0; 2) — 23; 3) 0; 4) 6. 3.20. 1) Да; 1 иГ5 2) нет. 3.21. Л = 3, Л = — 4. 3.22. Ц [[а,Ь,с)[/2; 2) [(а,Ь,с) /6.
3.23. 1) 1/3; 2) 1/л7300. 3.24. 10~'2. 3.25. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а, Ь) = р, является плоскостью (все векторы отложены из некоторой точки О). Эта плоскость параллельна векторам а и Ь. Проекцией точки О на р плоскость является конец вектора хе = [а, Ь1; этот вектор [[а Ь)[г является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32. 3.26. У к а з а н и я: 2) использовать формулу двойного векторного произведения [задача 3.13, 2)); 3) и 4) использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) г1 = [х, у), при вычислении смешанных произведений использовать формулу задачи [аг, аз) [аз, ал[ [аы аг[ (ам аг, аз) [аы аг, аз) ' [аы аг, аз) 330. Ьг —, — —, —, Ьг — —, — —, —, Ьз 3.31.
х = ' ' ' . 3.32. а. 3.34. 2: 1 или р[Ь, с) + 9[с, а) + з[а, Ь) 3 2 1 1: 2 (два решения). 3.35. 5г. 3.36. — Я или — о. 3.37. 2л72а. 15 15 4.1. 1) аг — — — а', + 2аг, 3.39. аг = За' — 7а~~', 2) а', = — 7аг — 2аг, а!г — — — Зал — аг, '3) ел [ — 7, — 3), ег( — 2, — 1). 4.2. 1) ал = ал — аз+аз, аг = ал — 2аг+Заз, аз = аг -- Заг + 6аз, 2) ал = Зал — Заг + аз, аг = За~ — 5аг + 2аз, Ответы и указан я 377 4.8 а!~ — — а1 — 2аг + аз, 3) е1 (3, 3, 1), ег ( — 3, — 5, — 2), ез (1, 2, 1).
4.3. 1) х = 2х' + у' — 1, у = Зх'+ д'+ 3; 2) х'= — х+у — 4, у'=Зх — 2у+9; 3) О( — 4, 9), е1( — 1, 3), ег(1, — 2). 4.4. 1) х=4х'+5у'+Зг'+1, у=2х'+Зу'+22'+1, г = х' + 2у' + 3' + 2; 2) х' = х — у — г + 2, у' = — у + 23 — 3, 3'= — х+Зу — 23+2;3) О(2, — 3, 2),е1(1, О, — Ц,ег( — 1, — 1, 1 1 7, 3 2 11 3), ез (-1, 2, -2).
4.5. 1) х' = -х + -у — -„, у' = — -х + -у + — ; 5 5 5' 5 5 5' 2) О --, —, е1 —, --, ег —, —, 3) О'(5, 2), е',(2, 3), ег ( — 1, 1). 4.6. 1) х' = х — д + г + 6, у' = — х + у — 22 — 8, 3' = х -'- 3 + 3; 2) О (6, -8, 3), е1 (1, -1, 1), ег ( -1, 1, 0), ез (1, -2, 1); 3) О' ( -1, 3, -2), е', (1, -1, -1), е', (1, О, — 1), ез (1 1 0) 4 7 а1 = — 7а~1 — 17а~~, аг = 5а1 + 12аг. 3, 1,, 19 а1= — — а + — а, +4а, аз= — а — — а, — 18а, 2 ' 2 ' з' ' 2 ' 2 ' з' 1,, 7 2,, 2 аз =5а', — 9а,'. 4.9. х= — х'+2у'+-,у= — -х' — 2у' — —. 4.10. х= 3 9' 3 9 = 4х' + Зу' + 62', у = — 8х' — Зд' — 132' — 1, - = 13х' + 4у' + 232' + 1.
1, 2, 2 2, 2, 1 1 4.11. х = — х' — — д'+ —, у = — х' -' — у' + —. 4.12. х = — х' — у' + 1, 3 3' 3'' 3 3 3 3 2 2, 2, 2 1,, 1 у = -х' + у'. 4.13. х = --х' — -д' + —, у = --х' + у' + —. 7 3 3 3' 3 ' 3 3,, 13 4.14. х = х + — у, у = — Зх — — у + 3. 4.15. х = — х — у + 2, 5 ' 5 3, 2, 3 2, 2, 2 у = — х'+ у'+ 1. 4.16.
х = — — х'+ — у'+ —, у = — — х' — — у'+ —. 5 5 5' 5 5 5 4.17. х = — х' — 2у' + 2, у = — 2х' — у' + 2. 4.18. х = = — 2х' — 2у' — г'+ 2, у = у'+ 3', г = 3'. 4.19. х = 2х'+ д'+ -г' — 1, 1 2, 1, 1, 1 у = д'+ -г', 3 = — х' — у'+ 1. 4.20. х = -х' — -у' — -2'+ —, 3 3 3 3 3' 1, 2, 1, 1 1, 1, 1, 1 у = — — х'+ — у' — — 3'+ —, = — — х' — — у' — — 3'+ —. 4.21.
х = 2х'+ 3 3 3 3' 3 3 3 3 + 2у' + г', у = х' + 2у' + г', 3 = — т' — у' — г' + 1. 4.22. х = — г' + 1, у = у' + 2' — 1, г = — х' — у' — 32' + 2. 4.23. а21 + агг — — 1, а212+ аггг = 1, аиа1г+ аггагг = О. 4.24. 1) а121+ а221+ азг, = 1, ауг+ агг+ азг = 1 агз+ агз+ азз = 1 а11агг+ аггагг+ аз,азг = О, 2 2 2 2 2 2 апагз + аггагз + азгазз = О, аггагз + аггагз + азгазз = О; ап а12 а13 2) а21 агг агз ) О. 4.25.
Ц х = х' соз х — у' 3193 ег + хв, а31 азг азз 378 Огаяеты и указан л у = х'сбп 22+ у' соя р+ уо; 2) х' = (х — хо) соя р+ (у — уо) я1п Зз, У' = (У вЂ” Уо) соЯ Яз — (х — хо) сбп д; 3) О ( — хосоаоз — Уос4поз, 3, 3 хоя1п~р — уосояд). 4 26. Ц х = — х' — — у'+ 1, у = — х'+ — у'+ 3; 2 2 ' 2 2 1, 1, 1, 1 2) х = — — х' — — у'+ 1, у = — х,' — — у'+ 3; 3) х = — у + 1, у = й2 Л ' Л' Л = х'+ 3; 4) х = — х'+ 1, у = -у'+ 3. 427. Ц х = х' соя р+ у' гЗп р+ + Охо, У = х'ЯшР— У'соЯР+ Уо' 2) х' = (х — хо) соЯР+ (У вЂ” Уо) с4п1а, у' = (х — хо) с4п 'р — (у — уо) соя р; 3) О ( — хасая р — уос4п'р 3 , 4 , 48 4 , 3 , 36 — хоя1п~р+уо сезар). 4.28. х= — — х' — — у'+ —, у = — х' — — у'+ —.
5 5 25'' 5 5 25 1, 1, 1, 1, 1, 1 4.29. х = -х' — — у' — -2' — 1, у = -х' + — у' — -2' 4 3, 2 „г2 2 ' 2 оГ2 2 1, 1 1, 2, 2, 2 — х' + — 2' + 5. 4.30. х = — х' — — у' — — з' + иг2 иг2 3 3 3 3' 2, 1, 2, 2 2, 2, 1, 2 у = — — х + — у — — з + —, з = — — х — — у'+ — 2'+ —. 3 3 3 3' 3 3 3 3 5.1. Ц аз и аз не коллинеарны: 2) аз и аз коллинеарны, а1 и г2 — г1 не коллинеарны; 3) аы а2, гя — г1 коллинеарны. (аы аз) ~ ~(пы пз)~ Р— (го> и) 5.2. Ц ахссоя ' ; 2) агссоя ' .
5.3. го + ' а. 5.4. Ц го + ' и; 2) го + 2 , ' и. 5.5. Ц ~п~з ~п~з ~п~ 2) ' '. 5.6. Ц (1, й); 2) ( — В, А). 5.7. Ц 22 — Зу+5 = 0; )а х у — 1 2 2) х = 41, у = 1 + 31, т е. — =; 3) —. 5.8. Ц х — 2у + 11 = О: 4 3 ' 3 х+3 у — 4 2) =; 3) х = -3; 4) у = 4; 5) х = -3+ 1, у = 4 — 75 2 3 5.9. Ц х — 4у + 7 = 0; 2) 2х — у + 2 = 0; 3) х = 21 4) у = — 3.
5.10. Ц Пересекаются в точке (5/7, — 3,17); 2) совпадают; 3) паралои льны; 4) пересекаются н точке (5, — 1). 5.11. Ц а ф -е2; 2) а = — 2; 3)а=2. 5.12. а=1,а= — 1,а= — 2. 5.14. у= —,у= — +1,у= — 1, 2' 2 у = 5. 5.15. ( — 4, 3); 5х+ 2у — 13 = О; х — 5у+ 19 = О; 4х+ 7у — 5 = О. 5.16. 43х + 2у — 67 = О. У к а з а н и е: искомая прямая — вторая диагональ параллелограмма со сторонами на данных прямых и с центром в точке А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
