Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 75
Текст из файла (страница 75)
1) Окружность радиуса 3 с центром и точке (О, О); 2) окружность радиуса 2 с центром в точке (1, 2); 3) верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в точке (О, О). 7.18. Другая ветвь гиперболы задается параметрическими уравненними х = хв — а сггг, 9 = Уо + 5 за г; обе ветви сРазУ вЂ” УРавнениЯми х = хе х а с51, у = ув + 5 зЫ. 7.19. !) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат; 2) всгвы нперболы, фокус которой находится в начале координат, вершина — в точке ( — 1 гЗ, О), центр— в точке ( — 2/3, О), действительная полуось равна 1/3, мнимая равна 1/уЗ; 3) эллипс, левый фокус когорого находится в начале координат, центр — в точке (1, О), большая полуось равна 2, малая Ответи и указав и 387 х = 0 и у = 0; 6) 2 и 2; тУ2; (-2, 2) и (2, -2); у — х х 2 = 0; х = 0 и у = О.
7.36. Ц Принадлежит гиперболе; 2) внутри (правее) правой ветви; 3) между двумя ветвями; 4) внутри (левее) левой ветви. 7.37. 49. 7.38. Ц вЂ” — — = 1; 2) — —, = 1; 3) хг — = 1 или 25 11 ' 1/4 3 ' 115 хг г хг уг хг уг хг уг 485~6 7760 ' ' 9/64 1/4 ' ' 25 24 ' ' 7 2 =1;4), — =1,5) — — — =1;6) — — — =1; уг тг уг 7) — — —, = 1; 8) хг — — = 1; 9) нет решений. 7.39.
— — = 1. 9 3 ' 4 5 5/4 7.40. Ц Н2; 2) 2; 3) ~/ГО или ъ'ГО/3. 7.41 Ц 3/ъ'5 или ~/41/5; 2) 3/т'5 или 6/5. 7.42. 1/е. 7.43. — — — = 1. 5хг 5уг 4 6 7.44. Два луча прямой х — 4у = О, лежащие правее правой ветви и левее левой ветви гиперболы. 7.45. 4х — Зу — 4 = О. 7.46. Ц 4 точки (:ЬЗ/~/5, х4/т/5); 2) 4 точки (~;/17/5, г 4:4чуЗ/5); 3) (х1, 0) (угол 180'). 7.47. Ц вЂ” — = 1, где г ~г г хг дг 0 < а < ~с~; 2) — — = 1, где а ) ~с1~; 3) — — = 4:1. цг , г(цг 4г) аг йгаг 7.48. Ц 2(х — 4)г — 2(у + 2)г = 1; 2) †. = 1 или (х + 2)г (у 3)г 4 5 ( + 14)' (д — 3)' ( + 2)' у' 'Ь 100 125 2 2 аг+ уг' — = 1; 3) — — = 1.
7.49. Ц 2) —. 7.50. а. 7.51. Ц (р/2, 0), х = — р/2; 2) (--р/4, 0), х = р/4; аб 2 3) (3,'2, 0), х = — 3/2; 4) ( — 3/4, 0), х = 3/4; 5) (О, 1/4), у = — 1/4; б) (О, — ч'3,14), у = у'3/4. 7.52. Ц Внутри параболы; 2) вне параболы; 3) принадлежит параболе. 7.53.
1,~5. 7.54. Ц у = 5х; 2) уг = 24х; 3) уг = 9х. 7.55. Луч прямой д = — 9/4, лежащий внутри параболы. 7.57. х — у — 2 = О. 7.58. Ц (15/2, бъ~З) и (15~2, -бч'3); 2) (2/5, 2) и (2/5, — 2); 3) (5/4, 5/ъ'2) и (5/4, -5/чГ2); 4) (8, 4 Л), 18, — 4игб), (10(3, 10(и'3) и (10(3, — 10( Г~). 7.59.
На отрезке ~0, 2/т/3). 7.60. Ц (д -- Ь)г = 2р(х — а); 2) (у — 5) г = 2р(а — х); 3) (х — а)' = 2р(у — 5); 4) (х — а)' = 2р(5 — у). 7.61. Ц дг = рг+2рх, у ~0; 2) уг = — рг+2рх, р ф О. 7.62. Ц у = 12х — 48; 2) у = 15 — 2х; 3) х = 4у; 4) 4 параболы хбу = х(х 4: 6). 7.63. р. 7.65. ( — 1/4, 1/2). 8.1. Ц х+ у = 4; 2) х — Зу — 12 = 0; 3) х = — 3: 4) Зх — 2у — 16 = 0; 5) х + 2д — 8 = 0; 6) 2 — 2д + 3 = О.
8.2. Ц ~ аг уг 388 Опгветы и указан и г (а — аНхо — с ) Ь вЂ” ЩЬо — гЗ) — 3) хуо + ухо = 2Ь; 4) (у — ВНуо — р) = р(х+ хо — 2о). 8.3. 1) агАг + ЬгВг = Сг; 2) аАг — ЬВ =С СФО; 3) аАг — ЬгВ 4) 4АВИ = Сг С ф 0 5) рВг = 2АС 8.4.
аф~ > Ьо~. 8.5. 1) (6, -3); 2) (5, 3); 3) (-4, 3/4); 4) (1, -2). 8.6. 1) 2х — у х 12 = 0; 2) х + 2у х Зд'Г4 = 0:, 3) 2т + у х 12 = 0; х — 2у х Зу'Г4 = О. 8.7. 1) 4х — Зу х 16 = 0; 2) х = х5; 3) нет решений. 8.8. Ц х — 2д+ 10 = 0; 2) х = 0; 3) нет решений. 8.9. 1) ( — 2/3, — 2/3), 1/15; 2), — — и —, —, 0; 3) (2., — 1), 1; 4) (2, — Ц и (-.2, 1), 19,113; 5) (9, 24), 112/5. У к аз а н и е: рассмотЗъ'2 х 1 реть касательные, параллельные данной прямой. 8.10.
1) ъ'34 хг,1дг 16хг 9уг хг уг 2) АЗ. 8.11. 1) — + — ' = 1 или + = 1; 2) — + — = 1. 25 25 225 100 20 5 г г 9хг уг дг 8.12. 1) — — — = 1 или — — = 1; 2) хг — — = 1. 8 8 128 64 ' 4 хг дг 8.13. — — — = 1. 8.14. 1) у = 2хг + —; 2) уг = 4х. 8.15. 4 прямые 9 27 2' х х у х ° г2/3. 8.16. х+ у — 2 = 0 или х — у — 2 = О. 8.18. 2) аЬ. 8.21.
х х у гб 3 = О. 8.22. 1) х = — 3, х х огЗу — 2огЗ = 0 или х = 3, х + у'Зу + 2дгЗ = 0; 2) у = — 1, 4-ху'3 + у — 2~ 7 = 0 или у = 1, ххъ~З+ у+ 2ъ 7 = О. 8.23. 1) — о + — о > 1 (точка лежит аг Ьг г г хо уо вне эллипса); 2) 0 ~ — — — ( 1 (точка лежит между ветвями аг Ьг гиперболы, но не на асимптотах); 3) уог > 2рхо (точка лежит вне параболы).
8.24. 1) 2х х Зу+ 12 = 0; 2) 10х+ Зтг7у — 48 = 0 и 10х + 51н 7у — 384 = 0; 3) Зх + Зу'2у + 36 = 0 (точка лежит на эллипсе); 4) точка лежит внутри эллипса, .решений нет. 8.25. 1) х г; 2 = 0 и 5х + 8у — 6 = 0; 2) 5х х бд — 8 = 0; 3) т, — ъ'Зу — 1 = 0 (точка лежит на гиперболе); 4) точка лежит правее ветви гиперболы, решений нет; 5) 17х — 30у — 16 = 0 (точка лежит на асиьштоте); 6) точка совпадает с центром гиперболы, решений нет. 8.26. 1) точка лежит внутри параболы, решений нет: 2) 2х — у+ 2 = 0 (точка лежит на параболе); 3) х —. у 4 4 = 0 и 4х — у+ 1 = 0; площадь треугольника равна 37,5. 8.28. 1) 4 касательные х х 4у х 10 = 0; 2) 4 касагельные х х у х 1 = 0; 3) 2 касательные х 4: ьгбу + 3 = 0; 4) 2 касательные х 4- ъ'2у + 1 = 0; 5) 4 касательные х ~: ог2у+ 1 = О, х х огббу + 3 = 0; 6) 4 касательные х х у:Е 3 = 0; 7) 2 касательные Ответы и указан л 389 х х бу -> 8 = О.
8.32. Ц бх + 17у — 10 = 0 и бх + 17у — 46 = 0; 2) 24х + 41у — 22 = 0 и 24х + 41у — 94 = 0; 3) решений нет (данная кривая является гиперболой, а данная прямая ее асимптотой). 8.33. Ц х + Зу — 12 = 0 и Зх+ у — 12 = 0; 2) 13х+ 15у+ 12 = 0 (точка лежит на кривой):, 3) решений нет (данная кривая является эллипсом, а данная точка лежит внутри этого эллипса). 9.1.
Ц Эллипс с 21 Хг Уг / 1 11 окружность радиуса — ) + = 1; О' ~ — —, — ~,Ег (1, 0), 3) 4/9 4/9 ' ~, 2' 6)' Хг Уг, /1 1~ Ег (О, Ц; 2) гипербола — — — = 1; О' 1 —, — ), Е1 (1., 0), Ег (О, Ц; 3) эллипс Хг+ =1; О'~ — —, -), Ег(0, Ц, Ег( — 1, 0); 4) парабола Уг = — Х; О' ~ —, — 1, Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 5) пара параллельных прямых у = 16/9, у = — 1; Уг = (25/18)г; О' (О, 7/18), Е1 (1, 0), Ег (О, Ц; 6) пара мнимых прямых (х+ 2) + (у — 3)г = О, пересекшощихся в вещественной точке О' ( — 1, 3); 7) мнимый эллипс Хг + 2Уг = — 1, О' ( — 1., 3), Ег (1, 0), Ег (О, Ц; 8) гипеРбола х — + — = 1, О' (1/4, — 3/2)., Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 9) пара сов- 4 25 павших прямых х = 3/5; Уг = 0; О' (3/5, 0), Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 10) пара пересекающихся прямых 3~5 (х — Ц = х2 (Зу + Ц; Хг 1.г 1/5 1/4 — = 0; О'(1, — 1/3), Е1 (1, 0), Ег (О, Ц.
9.2. Обозначим Сг пг К = — + — — Е. Ц Кривая является эллипсом тогда и только то- А В гда, когда А, В, К не равны нулю и все одного знака; центр в точке ( — С/А, —.О/В). При А = В окружность радиуса ° /К/А, оба фокуса совпадают с центром. При ~А~ < ~В~ большая полуось равна Х/К/А, / С К К И малая равна х/К/В; фокусы в точках А ~(А В' В) Прн ~А~ > В болыпая полуось равна ~/К/В, малая равна х/К/АА; ( С О К К1 фокусы в точках — —, — — х — — — . 2) Кривая являет- 1 А В )(В А) ся гиперболой тогда и только тогда, когда А, В, К не равны нулю и АВ ( 0: центр в точке ( — С/А, — О/В). При АК > 0 действительная полуось равна х/К/А, мнимая равна „( — К/В; / С К К И фокусы в точках — —:Š— — —, — — .
При ВК > 0 действи- А ~(А В' В) тельная полуось равна,/К7В, мнимая равна;/ — К/АА; фокусы 390 Опзееты и указан л / с в Гк к') в точках — —, — — х — — — . 9.3. Начало канонической 1, А В ))В А) системы координат везде совпадает с началом исходной системы. Ха Уе / 3 1 1 / 1 3 Ц Эллипс + — =1; Е~~, — ~., Ез), ); 121 11 ~,ЛО ЛО,/' 1,ЛО ЛО) 2) гипербола — = 1; Е, ~ —, — — ~, Ез ~ —, — ); 819 8/9 ~ ъ'2 ч'2,/ ~, э'2 ъ'2 3) гипербола — — — = 1; Е~ —, —, Еэ — —, — ', 4) эллипс Хг Уз ('3 4~) ~'4 3 ) ЗД 1!9 ',5' 5~' 15' 51' + = 1: Е~ —., — —, Еэ ~ —, —; 5) парабола У~ = ч'2Х; Е~ ( — 1/ъ'2, — 1/ъ'2), Ез (1/ъ'2, — 1/.~/2); 6) пара параллельных прямых Зт — у х ~/ГО = 0; У~ = 1; Е~ (1/ч'ГО, 3/~/ГО), Ез (--3/чГ11, 1,1ЯО); 7) пара совпавших прямых 9х — 2у = 0; У~ = 0; Е~ (2/ь'85, 9/~/855), Еэ ( — 9/ъ'855., 2/ъ'855); 8) пара пересекающихся прямых У~ (э'5 21 ( 2 ъ'51 (уг5 ~ А/2) х — 2у = 0; Х вЂ” = 0; Е~ —, —, Ез 118 1,3 3) ~ 3 3) Х У~ 9.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
