Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Сечение представляет собой пару окружностей, лежащих в плоскостях х = хх. 10.73. х2 + у2 = 2; у2 + 322 = 2; 322 — хз = О (~х~ < ч'2). Сечение представляет собой пару эллипсов, лежащих в плоскостях х = ~у'3 2. 10.74. х ~ у ~ Л = О; 2 ~ хэ22 + 1 = О; 2 х уи2 — 1 = О.
Сечение состоит из четырех прямых: х = 1, у = .-Ь(1+ ъ'2), 2 = — 1 — 1и2 и х = 1, у = 4-(1 — й2), 2 = — 1 + 1~~2. 10.75. 2х2+ 22 = 3; 2у2 — 22 = 5, ~у~ < 2 (~2~ < чЗ) (две дуги гиперболы); х2 + у2 = 4, (у( >, '5,12 ((х! < АЗ/2) (две дуги окружности). 10.76. Точки пересечения: ЛХ2 1ч'2, О, — 2), ЛХ2 ( — и 2, О, — 2); радиусы Л = 2. 10.79.
о(х — у) = 8, ф+ у) = а (от+,32 ~ О). 10.80. а(2 — у) = бх, ~3(2+ у) = ох(а + Д2 ф О). 1081. х=1, у=21 — 4, 2=1 — 1; х=1, у=4 — 21, 2=1 — 1. 10.82. Зх+ у — 22 — 2 = О. 10.83. х — 2у — 32 — 6 = О. 10.84. Плоскость х т у + 2 = О; прямые х = ~ — 2, у = ~, 2 = 2 — 2~ и х = 1, 62 у = — 1, 2 = О. Угол т/2. 10.85. Ц т/2; 2) т/3: 3) атосов 62+ 1 10.86. Ц Окружность х2 + у = 1, 2 = О; 2) пара прямых у х х = О, 2 = 0; 3) гипербола 4х2 — 16у2 4 3 = О, 2 = -3/8. У к а з а н и е к з а д а ч а м 11.1-11.11: при вычислениях и доказательствах использовать таблицу, приведенную в начале Э 11.
11.1. Ц Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, 2) конусы н цилиндры; 3) пары не совиавших плоскостей; 4) пары совпавших плоскостей: 5) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы; 6) параболоиды, цилиндры (кроме параболического), пары пересекающихся плоскостей; 7) параболические цилиндры, пары плоскостей (кроме пересекающихся). 11.2. Л = 4 > Е. 11.3. Ц Л = г+ 2; 2) Л < 2; 3) Л = Е > 1. 11.4. Ц «Мнимые эллипсоиды»ч «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых параллельных плоскостей>, Ответпы и указания 395 Л = Е > т; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересекающихся плоскостей» (прямые), Л = Е = г > 1. 11.5.
Л > 3, Л вЂ” Е > 2. 11.6. Ц Л = 4, Е = 0; 2) Л = 3, Х = 1. 11.8. Ц А, ЬтА + а ЬтАЬ + 2аЬ + 1., 2) БтАБ (ЬтА + а)Я ЬтАЬ + 2аЬ + й 11.9. Ц Параболоиды и параболические цилиндры, Л = т + 2; 2) конусы и пары плоскостей (крогае параллельных), Л = г. 11.10. Ц Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары тщоскостей; 2) О, 1 или бесконечно много. 11.11. Ц См, ответ к 11.9, Ц; 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, т = 3; 3) цилиндры (кро»те параболического), пары плоскостей, Л < г+ 1 < 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с— координатный столбец центра.
11.16. Ц Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на рб 2) де1А не изменится. Ааз ~ ЯЬ 11.17. Ц В= „; 2) Т= . 11.18. Указание; ак ' о1 вычислить инварианты Л, г. 11.19. Ц Гиперболический цилиндр; 2) пара параллельных плоскостей; 3) параболический цилиндр; 4) гиперболический цилиндр; 5), 6) гиперболический параболоид; 7) пара пересекающихся плоскостей; 8) параболический цилиндр; 9) конус; 10) параболический цилиндр; 1Ц однополостный гиперболоид; 12) двуполостный гиперболоид; 13) однополостный гиперболоид; 14) «мнимый конус»; 15), 16) «пара мнимых пересекающихся плоскостей»; 17) эллипсоид; 18), 19) эллиптический цилиндр; 20) «мнимый эллиптический цилиндр». 11.20.
(х+ у+ г)(х — у+ г) = (2х — у+ 2г)з. 11.21. Ц При й > 7/4 двуполостный гиперболоид, при к = 7т4 конус, при й < 7/4 однополостный гиперболоид; 2) при й < 0 двуполостный гиперболоид, при й = 0 гиперболический цилиндр, при й > 0 однополостный гиперболоид; 3) при й > 6 «мнимый эллипсоид», при 1 = 6 «мнимый конус»э при к < 6 эллипсоид; 4) при и' > 8 эллипсоид, при й = 8 эллиптический цилиндр, при 1 < 8 однополостный гиперболоид; 5) при й ф 3 гиперболический параболоид, при к = 3 гиперболический цилиндр; 6) при й > 1 однополостный гиперболоид, прн к = 1 конус, при 1 < 1 двуполостный гиперболоид. 11.22.
В ответах к задачам этого номера перечисл ются: матрица из координатных стполбцов базисных векторов почтпи канонического базиса (в тех случалх, когда имеет с.нысл делать замену базиси лишь в какой-нибудь из координатных плоскостей, в отпвете приведена соотпвстствующ л матрица второго порядка), координаты начала О канонической системы координат, почтпи каноническое уравнение данной поверхности, записапаое в координатах (, и, (, тип дант»ой поверх»»ости, Для полного решения задачи, т. е.
нахозкдения канонической систпемы координат и канонического уравнения поверхности, в некоторых случаях необходимо оыполюить еще одно или несколько т»еслохсттых преобразований уров»юлия и системы координат. Подробно о переходе от почти канонического уравнен, я к канони- 396 Ответы и указан л ческому сказас*о во введении к 3 11. См. также решении задач 16) и 24). 1) Азсз, 0(0, О, 0); бг + 2з1г + 10~э = 1; эллипсоид; 2) Азсл, О(0, О, 0); сг+ буг — 6ьг = 0; конус; 3) Аззгд О(0, О, 0); чсЗс~ = ь'; сгараболический цилиндр; 4) Азпб О (О, О, 0); с~ + з1~ + 2ъ'Зь = 0; эллиптический параболоид; 5) Аео, О (О, 2, — 1); Сг — 4з1г + Ь'г = 0; конус; 6) Аед, 0 (1, — 1, 0); йт1г -с- Ьс = 1; эллиптический цилиндр; 7) Асс, 0 ( — 1, О, — 1); 5~ + з1~ — ь~ = 1; однополостный гиперболоид; 8) Аво, 0 ~0, — 5, 0); б~+ бз1~ + ь~ = 60; эллипсоид; 9) Авс, 0(1, 2, — 4); 5 — 9з1г — ь'г = 1; двуполостный гиперболоид; 10) Авс, О ( — 1, — 1, — 1); Сг + 4з1~ + с,'г = 4; эллипсоид; 11) Азз, О (3, 3, — 7); 2Сс + бс1~ = 5ч; эллипти сеский параболоид; 12) Авс, О (О, 2, — 3); 2ег + Ьг = — 8с1эс2; эллиптический параболоид; 13) Авз, О (2/13, — З,с13, 0); зсс13с1г = 2(; параболический цилиндр; 14) Авл, О ( — 10, О, 1); Сг — Ос1г — Ьг = — 90; однополостный гиперболоид; 15) Аео, О (1, — 3, 0); 95~ з- 40г = 36ч; эллиптический параболоид; 16) Авз, 0 (1, — 2, 0); — с~ + 2ч~ = чс2з1; гиперболический параболоид; 17) Азсз 0 ( — 26/15, — 1сс3, 0); 55~ = — ьс2~; параболический цилиндр; 18) Асзг,'.
0 (3, 4, 2); 25с~ — ч~ = 15з1; гиперболический параболоид; 19) Аез, О (О, 2, 0); Зсг — 7уг — ьг = 21, двуполостный гиперболоид; 20) Аег, 0 (1 с О, 5); 5~ — 16с1~ + 9чг = 1; однополостный гиперболоид; 21) Авс, 0 ( — 1, — 1, — 1); сс + йг — 9ьс = 0; конус; 22) Аво, О (1, — 2, — 1); 45~ — с1~ = 4ь'; гиперболический параболоид; 23) Азгз, 0 (1, — 3, 0); 2з1~ = 7с; параболический цилиндр; 24) Азгз, 0(1, — 1, О); 145~+ ьсбз1 = О; параболический цилиндр.
11.23. Ответы к задачам этого номера содержат:матрицу из координатньсх столбцов базисных векгаоров почти канонической системы координат,координаты начала О канонической системы координат, почти канонические уравнении поверхссостей при заданных зссачепиях парамегпра 15 описание вида данных поверхностей при всевозможных значениях параметра. См. также замечание к ответам задачи 11.22. 1) Аззз, О( — 2, — 3, 0); 2С~+ 4з1~+ 7Ч~ = 28; при й < 77 эллипсоид, при й = 77 точка О, при й > 77 пустое множество; 2) Аззз, 0 ( — 2, — 1, 2); 5г + 2г1г + 10~э = 10; при й < 9 эллипсоид, при й = 9 точка О, при 1 ) 9 пустое множество; 3) Аззл, 0 ( — 2, О, 1) а) бг ~ бзгг бс"г — 6 б) бг ) бз1г бс г — О в) бг ( бс1г при й < 5 однополостный гиперболоид, при 1с = 5 конус, при 1с ) 5 двуполостный гиперболоид; 4) Азий О ( — 2, 2, 0); Сг + з1г + 4ьг = 4; при 1с < 8 эллипсоид, при 1с = 8 точка О, цри й ) 8 пустое множество; 5) Азпб 0 (1, — 1, 0); а) 45г + 4с1г + с,г = 4; б) 5 = с1 = с, = 0; при к < 8 эллипсоид, при й = 8 точка О, при й > 8 пустое множество; 6) Агго', О (1, — 1, 2); ь'~ = 5; при й < 36 пара параллельных плоскостей т — у + 2г — 6 х чг36 — й = О, при й = 36 плоскость х — у+ 2г — 6 = О, при й > 36 пустое множество; 7) Азго, 0 (2, О, 2); ьг = — 2~~25; при всех й параболический цилиндр; 8) Азгс, О (О, О, 0); чс65~ = -чс5з1; при всех й параболический цилиндр; 9) Азсв, Огаеетьт и указан л 397 О (1, 1, 2); а) «г + уг = 1; б) « = и = 0;при й < 18 прямой круговой цилиндр, при й = 18 прямая х = у = 3 — г, при й > 18 пустое множество; 10) Азпб 0 ( — 1, — 1, 2); «г + т)~ = 2~ 3«; при всех й параболоид вРащениЯ; 11) Азгг, .О ( — 2, 1, 1): а) «г + 3«г = 1; б) « = « = 0; пРи й < 9 эллиптический цилиндр, при й = 9 прямая у = г = х+ 3, при й ) 9 пустое множество; 12) Азгг, О( — 1, 5, 5); «г + 3«г = — бзтЗтй при всех й эллиптический параболоид; 13) Азгг, .О (10тд, 5тд, 8ттд); а) «г + дуг 9«г 9.
6) «г + т19г 9«г О. в) «г + дуг 9«г д. при й < — 3 двуполостный гиперболоид; при й = — 3 конус; при й ) — 3 однополостный гипсРболоид; 14) Агггб О (2, — 2~ 3, 3); а) 5«г + Ог — 5«г = 0 б) 5«г + уг — 5«г = 5 в) 5«г + уг — 5«г = — 5. при й > — 75 однополостный гиперболоид; при й = — 75 конус; при й < — 75 двуполостный гиперболоид; 15) Азгэ', 0 (О, 1, 0); а) «~+т1~ — «~ = 1 б) «~-~-0~ — «г =0 в) «г+цг — «~ = — 1 при й < 2 однополостный гиперболоид; при й = — 2 конус; при й > 2 двуполостный гиперболоид; 16) Агге, .0 (1, — 1, 2); а) «г + у~ — «~ = 1; б) «г т уг — «г = 0; в) «г + т1г — «г = — 1;при й < — 36 однополостный гиперболоид; при й = — 36 конус; при й > — 36 двуполостный гиперболоид; 17) Азге, 0 (8ттд, — 4/9, — 10тд); а) 9«г — О~ = 0; б) 9«г — Ог = 9; при й ~ 0 гиперболический цилиндр, при й = 0 пара пересекающихся плоскостей х + 2у = 0 и 2у + г + 2 = 0; 18) Азге, О (2тд, — 1тд, — 16ттд); т~г — 9«г = 6«; при всех й гиперболический параболоид; 19) Азгт, 0 ( — 1т7, — 1т'14, 3/14): 14«г = 5зтЗтй при всех й параболический цилиндр; 20) Азга, О ( — 8/7, 27т14, Зт14); 14«г = 2у'5п; при всех й параболический цилиндр; 21) Агзз, О ( — 1/7, — 1/14, Зт14); а) «г = О, б) «г = 1; при й < 1 пара параллельных плоскостей 2х+ у — Зг + 1 х чТ вЂ” й = 0; при й = 1 плоскость 2х + у — Зг+ 1 = 0; при й > 1 пустое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
