Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 81
Текст из файла (страница 81)
3 ' 4 15.64. 1) О; 2) А 'В; 3) ВА ' 4) А 'ВС ', 5) А ' — С. 7 21 -14 -10 ' 15.65. 1) ~~~0 1~: 2) 2 3 '3) 24, 4) — 10 7 5 211 5) 3 0 1, 6) решений нет. В ответах к задачам 7) — 11) числа а, аЬаЬ)~а1 — а 6, с произвольны: 7) 0 ', 8) ~0 9) а Ь' а 6 с 1 10) ~; 11) Ь, 12) Атгт' 13) — сш, 14) Азот' 15) решений нет; 16) Агап 15.70. У к а з а н и е: положить В = Еьы вычисттить АВ и ВА и применить результат задачи 15.67.
15.71. У к а з а н и е: использовать задачу 15.70. 15.72. См. задачу 15.71. 15.73. Скалярные матрицы. 15.74. 1) — Азг, 2) Азо, 3) Азз., 4) Азы 15.76. 1) Косоэрмитова; 2), 9) симметричны; 3), 4) эрмитовы: 5), 10), 11) ортогональные; 6) диагональная; 7) треугольная; 8) кососимметричная; 9) унитарная; 10) матрица перестановки.
Ь . д,2) 6+..д (а Ь с,д — произ- Ь вЂ” 1с д ' — 6+1с И 10 01 вольные вещественные числа); 3), 15.87. Обратная матрица транспонировала к данной. 15.88. Обратная 1 матрица эрмитово сопряжена к данной: 1) Атоз', 2) — Аззо. эт2 15.89. Пусть А = (( ао ((, В = Ь 60 ((, С = АВ = о со 'о. Тогда на главной диагонали С: с„= а„Ь„; на побочной диагонали: стал.т = анЬ,зтт + аь,ллЬт~.ц;ты на т-й побочной диагонали: с; „„, = авЬьгт,„, + аьгттЬттт „. +...
+ а,,т„,Ь, „...„,. Ниже главной диагонали — нули. 15.92. АВ = —.ВА. 15.94. Разложение единственно; А = — (А+ А ) + — (А — А ). 15.95. 1) Ало+ Аго, т 1 т 2 2 2) Е + Аго 3) Аглг + .4гзз 15.100. Разложение единственно: т А = — (А+ А ) + — (А — Ат). 15.104. Эти свойства обеспечивают 2 2 ортогональность матрицы.
15.107. У к а з а н и е: проверить 410 Ошееты и цказан и свойства ортогональных матриц, сформулированные в зада- че 15.104. 15.108. У к а з а н и е: умножение на матрицу перестановки слева равносильно перестановке строк умножае- мой матрицы. 15.109. Диагональные злемснты равны или 1, или — 1. 15.110. Для всех г; ~А;~ = 1. 15.111. !), 2), 3), 6), 13) стохастичны: 4), 7), 8), 9), 12), 14) нильпотентны с показателями нильпотентности, соответственно равными 2, 3, 2, 2, 3, и; 1), 6), 10), 11) периодичны с периодами, соответственно равными 2, 2, 4, 4; 5) периодична при а = 2яр/д, ее период равен 9 при р ф 0 (р — целое, 4 — натуральное число, дробь несократима) и пе- риод 1 при о = О.
15.113. У к а з а н и е: использовать задачи 15.112, 15АО. 15.115. У к а з а н и е: если Аь = О, В = О, то (АВ)ы = О и (А+ В)ь+' = О. 15.116. АВ имеет период й = 1т, где 1, ш -- периоды А, В. 15.117. У к а з а н и е: умножить обе части равенства на Š— А. 15.123. У к а з а н и е: использовать результаты задач 15.121, 15.122.
15.124. Нс всегда. Примеры: Аы ; — 1 не обратима, — Азе) не сгохастична, но матрицы перестановок стохастичны вместе со своими обратными. 15.125. Если матрица ь является матрицей перестановки. 15.127. 2" ач, если А = ~~ а, (г,у = 1, ..., н). У к аз а н и е; задача 15.89.
15.128. 1) 2, 'п~ь; 2) 2,'(а,ь(~, если А = ~! аеь ((. 15.131. Если А = )( Ай ((, В = )( ВВ )(, ьь (г = 1, 2), то для сущес гвования АВ, помимо условий, выте- кающих из определения блочной матрицы, требуется, чтобы ширина А» равнялась высоте В», ширина А~я равнялась вы- ,М Л ~о О Е ш й4В,~В+~~О а ~ОР~' Оа = О РС 15.133. Ц Если А = ~ ~ ~н В = В, то, помимо условий, А» Аш~( В, 21 22 ~~ 2 вытекающих из определения блочной матрицы, требуется, чтобы ширина матрицы А» равнялась высоте В» а ширина Аш равнялась А В+А В высоте Вз. 3) А В = А" В А' В . 15.134.
1) — 3) Коли- чества блоков на диагоналях матриц А, В совпадают, и совпадают порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера. 4) Для того чтобы АВ = ВА, необходимы и достаточны условия Ц и персстановочность диагональных блоков, имеющих одинаковые номера. 15.136. 1) — Ачзз, 2) А4ее, '3) Е; 4) -44всб 5) Алеб Š— А~'~ А ' — А 'ВС ' 6) Аьзь 15 137. 1) О В , ,2) О Ответы и цказап л и В тг,Ь и 15.138. Ц Ь; 2) Ь + , '(Е единичная матрица порядка в, о -- нулевой столбец высоты в, Ь произвольный столбец высоты в). 15.139. Ц Атее', 2) Агаг, 3) Агвг', 4) Атвв, '5) Ава; 6) Авва', 7) Аввв. 15.140. а З Ь = Ь З а = Ьа. 16.3. Да, если матрица нулевая. 16.4.
Ц Базисного минора нет; 2) базисным является любой элемент матрицы; 3)-5) базисные 10~ 01 миноры равны соответственно О 1 ~, 1, 1 О, 6) — 7) базисным будет, например, минор 4 . Ранги: Ц 0; 2) 1; 3) 2; 4) 1; 5) 2; 2 3 6) 2; 7) 2. 16.5. Ц Не существует; 2) любая строка; 3) все строки; 4) первая строка; 5) вторая и третья строки; 6) любые две строки; 7) любая пара разных строк, например 1-я и 2-я (но не 1-я и 4-я). 16.6. Ц Не существует; 2) любой столбец; 3) все столбцы; 4) второй столбец; 5) первый и второй столбцы; 6) любые два столбца; 7) любая пара столбцов, один из которых имеет номер, болыпий чем 3, например первый и четвертый столбцы (но не первый и второй).
16.7. Базисный минор равен определителю матрицы. Все строки, а также все столбцы матрицы базисные. Ранг равен порядку матрицы. 16.14. т8 ~~ А В ~~~~г < т8 А+ т8 В. 1618. Ц1;2)1; 3)1; 4)2; 5)2; 6)1; 7)1; 8)1: 9)1; 10)3; 1Ц2; 12) 1; 13) 3; 14) 2; 15) 2; 16) 2: 17) 2; 18) '2; 19) 3: 20) 4; 2Ц 3; 22) 2; 23) 3; 24) 4; 25) 4; 26) 4; 27) 3: 28), 29) и, если и четно, и и — 1, если и нечетко. 16.19. Ц 1 при е = 4-г; 2 при других е; 2) 2 при всех Л: 3) 1 при о = 1, 2 при других сц 4) 1 при аг = 1, 2 при аг = 0 и ы = — 2, 3 при остальных аг; 5) 2 при Л = 3, 3 при других Л; 1 6) 1 при Л = О, и — 1 при Л = — и (и+ Ц, и при остальных Л; 7) 2 прн е = 0; 1, если е — первообразный корень й-й степени из 1 и й < и:, и при остальных е.
16.20. Ц 1 при Л = 4 и Л = 9, 2 при остальных Л: 2) 1 при Л = 3; 2 при Л = 2, 3 при остальных Л; 3) 2 при Л = хл, 4 при остальных Л. 16.22. 0 < т8 А < 2; оценки точные при и > 2. 16.23. 0 < т8 А < 2(п — в); оценки точные при п < 2в. 16.24.
1 < т8 А < 3; оценки точные при п, вз 3. 16.25. Ц т8АВ < ийп(тбА,т8В). 16.26. Ц 1, если а ф о и Ь ф о; 0 в других случаях. 16.27. Оба равенства выполнены, например, прн А = В = С = О. 16.28. У к а з а н и с; упростить матрипу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов, приняв за базисные — выбранные строки и столбцы. Ранг матрицы, стоящей на их пересечении, не будет меняться, а сама эта матрица превратится в единичную. 16.29.
г. У к а з а н и е; в данном случае базисный минор АВ есть произведение базисных миноров матриц А и В. 16.30. т8А = т8В = г. 16.31. Ц У к а з а н и е; строка матрицы Ь состоит из коэффициентов разложения строк Ответи и указан л 412 1 жденная матрица порядка г = гб А. 16.32. 1) 4 8 1 0 2) 3 ~(2 — 3 0)(, 6 ((1 — 3/2 0(/;3) — 4 0 1 2 0 1 ((1 0)(; О О-1~ 1 — 4 О,,' 1 О! 1 — 2! 0 1 — 1 — 4! 2461 1231 2 З~ 4 7~ — 1 — 2,' 2 о 1 — 4 О~ (О 4' ,О 01~,4) о~ 1 10-П5 ~ О х 01 7~(; 5) о 2 3 — 1,,~ 2 1'з 1 1~~~ 0 1 1 1230~ 0001~ 16.33. У к а з а н и е; представить соответствующую упрощенную матрипу как сумму г матриц ранга 1. 16.34.
1) — 5) верны 10 00 не всегда, при- ерь| обеспечивают я су"ами 0 0 + 0 1, '101 001 'О + ОО '6) представить данную матрицу как произведение матрицы нз двух строк на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгого 0 1 неравенства: г8 0 0 ~ ) О. 16.40. У к а з а н и е: строки матрицы ~~ А В ~~З являются линейными комбинациями строк ~~ Е В ~~П. 16.41. У к а з а н и е: с помощью элементарных преобразований задачу свести к задаче 16.37. 16.42. 0 = СА 1В. 17 1. 1) х~ = --7, хз = 24; 2) х = — 1, у = 1; 3) хз = 2, хз = — 1, хз —— 1; 4) х = 1, у = 2, з = — 1; 5) хз = 1, хз — — 3, хз — — О, хз = 1; 6) х = 4, у = 3, з = 2, Х = 1; 7) х1 = — 5, хз = 4, хз = 3, хз = — 2, хз = 1; 8)из=1,хг=2,аз=3,ха= — З,хз= — 2,хе= — 1. 172.
1)сзе', 1 2) сзю 3) сдз, 4) сэ4', 5) сее', 6) — сэз, '7) о. 17.4. С компонентами решений происходят те же элементарные преобразования. У к а з а н и е: использовать матричную запись системы уравнений и выражение элементарных преобразований через умножение матриц. 17.5. Основная матрица системы приводится к единичной, 1 в правой части оказывается решение.
17.6. Ц сзз, 2) сз, 100 матрицы А по строкам ЛХ. 2) Всякую матрипу А можно представить как произведение матрицы ЛХ, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = ЛХК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам ЛХ. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КЛХ = К'ЛХ' выполнены равенства К' = Ко' ', ЛХ = ЯЛХ, где о' — невыро- Ответы и указан я 1 3) сг4; 4) сзз; 5) сз|; 6) свз; 7) — -сзв; 8) — сзг; 9) с>т4; 10) с|т|; 1 1Ц вЂ” с|в4| 12) с>вз:, 13) с|та| 14) с|те| 15) с|тт' 16) сгчв' 17) сгзв; 18) с249 19) сгво| 20) сгы, 2Ц сгзт| 22) сгзв, '23) сгто 18.1.
В ответах через 6, 6|, 62, ... обозначены произвольные постоянные (т>араметры). Ц х = 6, у = 6; 2) х> = 61 — 26г, тг = 6>, хз = 62; 3) х1 = — 61 — 62 — 62 — 64, х2 = 61, хз = 62, х4 = 62, хз = 64; 4) х=у=6, = — 6; 5) х=у=з=6; 6) х=з=6, у= — 26; 7) х| — — 6| + 1062, хг —— 6| + 762, хз —— 6|, х4 — — 262', 8) х| — — О, хг = х4 = 6, хз = .
6; 9) х| = — 26| — 36г, х2 = 6|, хз = 6г, х4 = 0; 10) х| = 6|, хг = 62, хз = 6з, х| = 6| + 62 + 6з, хв = 361 + 262 + 6з| 1Ц, 12) х| = 6|, тг = 6| + 62, хз = 6г, х4 = -261, хз = — 62. 18.3. 6 = и — г, где п — число столбцов ь>атрицы, т ее ранг; 6 = О, если столбцы матрицы линейно независимы. 18.4. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
