Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В вещественном пространстве: (1, --2, 3, 1, — 3, 0)т. 23.1. Ц, 5), 9) — линейно; 2), 3), 4), 6), 7), 8), 10) нет. 23.2. В любом базисе: Ц нулевая матрица; 2) единичная матрица Е; 3) скалярная матрица ЛЕ (Л вЂ” коэффициент гомотетии). Ц Не является; 2), 3) изоморфизм. 23.4. При М = Е. 23.5.
Нет при (о) ~ М ф Е. 23.6. Ц Ортогональное проектирование на прямую Оглеетн и цказаи л 421 1 2 5 — 2 . Указание: исполь— 2 2 ооо; 1) и 2). 23.10. 1) — 1 1 0 [, 201 б ; 4) -)[1 2 — 1 — 1 3) — — 1 2 — 1 — 1 — 1 2 зовать разультаты задач 23.8, 2 3 0 — 6 — 9 3 1 2 3 — 4 2 3 0; 3) 8 12 — 4; 4) — 4 6 — 8 . Указание: 1-15 10 15-5 23-4 то же, что и в задаче 23.9. 23.11. Если исходный базис в бз ортонормированный, а базис в ь состоит из вектора а (в случае прямой) или пары векторов а, Ь (в случае плоскости), то: 23.9. 1) [ 0 1 0 [[, при а(0, 1, 0); 2) — [[ 1 1 1 [[ при а(1, 1, 1): 3) — при 1 1 1 0 — 1 3 0 1 — 1 а(2,. -1., -1), ь(-1, 2., -1); 4) - 3 3 о 2310 1) [ 2 О 1 1 842, [ — 110 г = 1а; 2) проектирование на подпространство г = 1а параллельно подпространству (г, и) = 0; 3) ортогональное проектирование на подпространство (г, и) = 0; 4) проектирование на подпространство (г, и) = 0 параллельно вектору а; 5) ортогональное отражение в подпространстве (г, и) = 0; 6) ортогональное отражение в прямой г = 1а.
23.7. Ц Произведение ортогонального проектирования на плоскость (х, а) = 0 и повороти на я/2 вокруг прямой х = 1а. 2) Произведение проектирования на плоскость (х,и,п) = О,поворота на угол я/2 вокруг прямой х = 1[п, т) и гомотетии с коэффициентом (х, и) [[и, ч)[. 23.8. 1) р(х) = х — ' и; ядро — прямая [г, и[ = 0; [п[~ множество значений — плоскость (г, и) = 0; гй|р = 2; 2) р(х) = а = (х, а); ядро — плоскость (г, а) = 0; множество значений— — [а[т (х, п) прямая [г, а] = 0; гб~р = 1; 3) у(х) = х -- а, ядро — прямая (а, и) [г, а) = О, ътножество значений плоскость (г, п) = 0; гб р = 2; (х, и) 4) ~р(х) = ' а; ядро плоскость (г, и) = 0: множество значений (а, и) — прямая [г, а] = 0; гй у = 1; 5) у(х) = х — 2 (х, п); 6) фх) = [п[2 ' =2(а, х) — хр7) р(х)=х — 2 ' а;8) р(х)=2 ' а — х; а (х, и) (х, и) [а[з (а, и) (а, и) 5) — 8) преобразования являются изоморфизмами; Кег р = (0); ооо 1шу — все пространство; г8 = 3.
23.9. 1) 0 1 0; 2) — 1 1 1 000 3 111 422 Ответи и цказан л при а(0, 1, 0), Ь(0, О, 1); 2) — 1 1 5 при а(1, 1, 0), Ь(0, О, 1); 1 2 3 0 5 1 — 1 5 3) ~2 3 — 1~ приа( — 3, 4, 5);4) ~~1/2 3,14 — 1~~ при а(1, 2, 3). — 1 0 0 1 — 1 4 8 1 ! 1 — 2 — 2 010; 2) — 4-7 4; 3) —, -2 0 0 1 8 4 — 1 ~ — 2 — 2 1 У к а з а н и е: использовать результаты задач 23.8, 5) и 6 . — 100 1 — 12 0 23.13. 1) — 4 1 0; 2) — 4 1 0 .
Указание: использо- 401 22 — 3 сова ~эйно 0 вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1) хэшо саво 0 0 0 1 1 0 0 2) 0 0 ~1; 3) Азвэ н Азве. 23.15. В 1) и 2) Кот|а = С", 0:1-1 0 1ш р = Е'. Если базис в С' образуют первые к базисных векторов базиса пространства ь, то: 1) ейа8 (1, ..., 1, О, ..., 0) (й единиц); 2) ~~ Еь О ~~~э (Еь — единичная матрица порядка й), 23.16. 41а8(1, ...., 1, — 1, ..., — 1); Эз — нзоморфизм (чвсло единиц равно размерности С).
23.17. Пусть е,, ..., е„— базис в А4, а векторы е„е„..., е„дополняют его до базиса в ь. Матрица отображения р в паре базисов (е„..., е„), (ем ..., е„) получается из матрицы преобразования р в базисе (ез, ..., е„) вычеркиванием строк с номерами г+ 1, ..., и. 23.22. 1) гбр = ббшС = 41шС, Кег х = (о); 2) В = А . 23.25. У к аз ание: выбрать базис в С, включающий базис надпространства (если оно ненулевое). 23.26. 1) — 2аз, аю 4ась Произведение растяжений с коэффициентами — 2, 1, 4 в направлении соответственно векторов ам аю аз.
2) Зам Заз, 2аз. Гомотетия с коэффициентом 3 в плоскости х = за~ + 1аз и растяжение с коэффициентом 2 в направлении вектора аз. 3) о, (5, О, — 5), (11, 5, — 1) . 4) ам 1аю — 1аз, Произведение растяжений комплексного арифметического прогэрангтва в направлении векторов ам аю аз с коэффициентами 1, г, — 1 соответственно. 5) — ам (1 + 1)аэ, (1 — 1)аз. Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов аы аго аз с коэ~фициентами — 1, 1 + г, 1 — 1 соответственно. 23.27. 1) (О, 6, 18); 2) о: 3) ( — 8, — 11, 3, О, — 1З)т: 4) р(а~) = (2п — 1)ам р(аь) = — аь (к = 2,..., п). В ответах к задачам 23.28, 23.29 и 23.31 приведены координатные столбцы базисных векторов искомых педпространгтв.
23.28. 1) (12, — 5) и (5, 12)т; 2) (1, 1, -1)'. (3, О, 2)' и (1 1, -1)", 3) (1, -1, 1)' и 1 1 0)т (О 1 1)т, 4) (О 1 1 0)т (О 0 1 1)т и (1, 1, 3 3)т (1, -1, — 1, 1)т 5), б) Кег:р = 1о), 1ш р = ь", р — изоморфизм. Оп»веты и цкозан и 423 о о о~ О 1 ОО, 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0-1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 — 1 0 0 1 1 0 0 О О-10~ 0 0 01~ О О 10~ О О 01~ 23.35. 23.36. 23.37 о о о~ 0 — 1 00~ х х 23.38. Изоморфизм определяется равенством: 1) ~р(х) = хд х» 0 х» хд 2) д»(х) = — х, 0 хз 3) ~(х) = 'з ' 'д »др -хд -тз 0 х = (х», хд, хз) .
23.40. 1) Ядро многочлены нулевой стет пени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1; а), б) Адд» (и = т + 1); в) Ае»з (и = т + 1). 2) Аздв (размсров т к (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — 7»; ранг и; А = Авда» 2) ядро (о); множество значений — й; ранг и + 1; А = »1»ай (1, 3, ..., 2п+ 1). 23.42. Ад»д (п=»и+1). 23.43. 1)»1»а6 О, ~ 1 О,, 0 у) 01 Оп (матрица порядка 2п + 1); 2)»4»ай (1, ..., и), »1»ай (1, 1»2,..., Цп). 23.44. 1) Ядро (0); множество значений — подпространство многочленов степени не выше н с нулевым свободным членом; ранг и; А = Аздь 2) М; преобразование инъективно, но не сюръективно.
23.29. Ц (О, 2, О, 1) , (О, — 3, 1, 0) и (О, 1, 0) , (1, О, — 2) ; 2)»»» инъсктивно, Кег»г = (о); (4, 3, — 1, 7), (5, 2, 3, 7), (9, 7, 2, 6); 3) (3, 1, 0), (2, О, -1) и (-2, 1, 7, -3); 4) (2, О, 1, — 1, 0), (О, 1, 2, О, 0), (О, О, 1, О, 1); <р сюръективно; 5) (О, 1, 1) и (-2, -2, -3, 4, 6), (2, 2, 2, 1, -5) ; 6) (1, 1, О, — 3, 6), ( — 2, О, 1, 5, 10)т; ~р сюръективно.
23.30. Здесь С, С», Сд, Сев любые действительные числа. 1) (О, О, 1»10, 1»»5) + С» (10, О, — 7, 6) +Се (О, 5, — 1, — 7); 2) (7»2, О, — 1/2, О, 0) + С» (19, 2, — 5, О, 0) + Сд (41, О, — 11, 2, 0) + Сз (1, О, — 2, О, 1); 3) (О, О, 1) + С (1, -2, -3); 4) (О, 1, О, 0) + С (2, 2, 1, -1) 23 31. 1) (1, 1, О, О, 0) , (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, — 1, 0) , (О, О, 1, О, 1); 2) (1, 1, — 1, -1), (О., 2, 1, 0), (7, 23, О, — 11) ; 3) (О, 3, †1 ., О, О, 0) , (О, 1, О, †1 ., О, 0) , (О, 4, О, О, о~ О, — 1), (1,0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1,0) .
2334. о„ Ответы и указан и 23.45. 1), 3) Отображения инъективны, но не сюрьективны и не обратимы. 2) Обратное отображение — дифференпирование. 23.46. Четные многочлены. 23.47. 1) г11аб (А, А). Базис ядра !~30 03! 1 0 0 1 ц 1 О, О 1 ~; базис обРаза 2 0 ~ О 2, 2) Аззо. Базис ядра ~,'— 243 000 О О 0 2 4 3 зг сюръективно. 23.48. 1) Ядро состоит из матриц, у которых первые и — 1 столбцов нулевые; зг сюрьективно. 2) ~~ .Е 0„0 о ~~ матрица размеров пг(и — 1) х ти.
3) ог — умножение Е„ ~~ — матрипу размеров и х (и — 1). 23.49. Ядро о т натянуто на вектор (1, — 2, 1, — 2); множество значений веще- а Ь ственные матрицы вида г8 Зг = 3: А = Азов. 23.50. Азов. с а 23.51. 1) Ядро — многочлены вида аот", множество значений состоит из многочленов без у" (а„= 0); 2) ядро — многочлены вида а„у"', множество значений состоит из многочленов без а" (ао = 0); 3) при нечетном п преобразование является изоморфизмом, при и = 2т его ядро состоит из многочленов вида а,„в™у, множество значений — из многочленов, не содержащих члена т у . Матрицы 1) справа на ,'~010...
О (~002...0 ~оООО...и (~оооо... о 23.53. 1) П 0 0 ...00 и 0 ... 0 0 п0...000и — 2...00, 2) 0 и — 1... 00;3) 0 0 ... — и+2 0 0 0 ...10 0 0 ... 0-и~ ?о = дипел. 2) а) Пусть аы ...., а„образуют бази 000 ~~-3 1 О б) 0 2 1; 4) а) Аггз, б) ~/ 0 — 3 0 . 23.58. 1) а) А~,и, 002 0 0 2 б) Азог; в) А17г; г) Азов) д) Азов., е) Азго. 2) Во всех задачах: матрица В. У к а з а н и е: использовать 2 — 2+ За 2а 23.59.
1) Ь Ь, 3) 2 — 3+ ЗЬ 2а — 3 4+Зс 2с езультат задачи 23.54. (а, Ь, с произвольные числа). 2), 4) не существует. 23.60. 1) Зг сюръективно; йщКегог = 1; Зг(а) = (4, — 1): 2) зг инъективно; таЗг = 2; Зг(а) = (11, 10, — 6); ри с в линейной оболочке векторов аы ..., аы Тогда а,, зы ..., аь должны быть такими же линейными комбинациями векторов аы ..., аг, как Ьг+„..., Ьо — векторов Ь,, ..., Ь.„. Условие 1) и г = йщ с.. 23.54. 1) ВА '; 2) В; 3) Е. 23.55. 1) ВА 2), 3) А В.
23.56 1) Апб 2) АзБ 3) Азг'4) Аом 23.57. 1) а) Агог, — 1 — 12,' б) 63аб (1, 2, 2); 2) а) Агзо., б) йа8 (О, 1, 1); 3) а) — 5 — 1 2 ~; — 7 — 3 6 Оглееты и указап л 425 3) у сюръективно: йюКегд = 2; 2) у(а) = ( — 4, .— 6, 0); 4) р не единственно, ранг может равняться двум или трем, размерность ядра 1 или О соответственно. Во втором случае д ияьективно. У(а) = ( — 10, -10, -13, 10, 28) . 23.61. 1) (1+ г)Е; 2) Аагб 2 1 1 2 0 ~ 3) "4се ~ 4) Азез 23 62 1) ~ !0 2 ., 2) ~/ — 1 0 405 10 0 4) 12 7 , 5) 0 0 0 ; 6) 0 2 0 504 00 — 2 1 0 0 — 9 ; 3) — 1 1 0 — 1 0 0 7) 3 — 3 2 8) --2 5 --3 ~~; 9) А4ег, 10) А4еа. 23.63. — 3 5-3~ о 2) ~ ~1 1, 3) 63а8( — 1, 1+ г, 1 — 1); 4) 61а8(1 )' б) и 8( О ' ~' Π— ' (. 23.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
