Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 82
Текст из файла (страница 82)
18.5. Однородная система уравнений всегда совместна. 18.6. Ц Столбцы матрицы системы линейно независимы. 2) Столбцы матрицы системы линейно зависимы. 18.7. Ц с|4, '2) А>го~ 3) -440|| 4) сзт~ 5) А|во| 6) А|ы| 7) А|за., 8) сто| 9) Апо, '10) А4>з| 1Ц Аыз. 18.8. В ответпах указана фунд ментальная матрица, а пра ее отсутствии — нулевой столбец. Ц сзв при Л = 2; А|2| при Л = 3; о пРи остальных Л; 2) сгв пРи Л = — 2; А|22 пРи Л = 3; о пРи остальных Л; 3) А|го пРи Л = 0; о пРи Л ~ 0; 4) А|го пРи о = 1; стт при о у'. -1; 5) свз при Л = 6; А|го при Л = 0; о при остальных Л; 6) стт при а> = 0; А|го при а> = 1; сгтт при а> = — 2; о при остальных а>. 18.9. В ответах указаны фундаментальные матрицы данной и сопряженной систпем уравнений, а при их опюутствии — пулевые стао.вбЦы. Ц о, с|оо; 2) св, А|г4; 3) о, сзг, 4) сто|, сто|; 5) о, о; 6) с|от, с|аз:, 7) с|о4, А4||, '8) о, А|ыб 9) о, А|об 10) с|тв, с|тд| 1Ц '4|аз с1в1| 12) сгвг, сгвг.
18 10. Да, если основная матрица сисгемы квадратная. 18.11. Да, если, например, матрица системы симметрическая. 18.13. ФС, где >1еь С ф- О. 18.14. Ц А|за| А|го| А|о4. У к а з а н и е: все фундаментальные матрицы получаются из одной с помощью элементарных преобразований столбцов. 18.15. Ц А|ге и все матрицы, которые получаются из нес пере- 1 становками строки ~ — 1 — 1 >>>>; 2) с|дт и — с|от, '3) А|в|, '4) Азов и 2 все матрицы, которые получаются из нее перестановками строки >> — 1 — 1 — 1 >>. 18.16. А'у = о, где А' = АЯ, с фундаментальной матрицей Ф' = Я | Ф.
18.17. Ц х| — х — хз — — 0; 2) т| — хг — хз — — О, 5х| — хг+ х,| = 0; 3) х| — хг = О, 2х| — хз = О, 2х| — х4 = 0; 4) х| — хз = О, х| — 2хг + х4 = 0; 5) 2х| — хг + 13х4 + хз = О, хз — 5х4+ хз = О. 18.18. Системы с матрицами вида СА, где столбцы С линейно независимы. 18.19. Системы с матрицами вида СА, где столбцы С линейно независимы, а Ат — фундаментальная матрица системы Фтх = о. 19.1. В ответах через 6, Ответы и указан и 6п Ьг, ... обозначены произвольные постоянные (параметры).
1) х' = 2+ 36, у = 26; 2) хз = 1 — Ьз — 26г — 36з, хг = Ьз, хз = Ьг, хл = Ьз, .3) х = у = 6, з = 4 — 36; 4) х = Ьг 4 Ьг, у = — 1 — 6з + Ьг, з = -2 э- Ьз ъ'2 + 26г, 5) х = 14+ 6, у = — 9 — 26, з = Ь: 6) хз = 1 —. Ьо, хг = — Ьг, хз = 1+ 6, + 26г, хв = — 1+ 26, + 36г, 7) хз = — 2 — Ь, хг = Ь, хз = 2 + 6, хв = 1; 8) хг = — 1 — 56, хг = 66, хз = — 1 — 56, хз = 1 + 76; 9) х~ — — 6 — 6| — Ьг — Ьз., хг — — 8 — 6) — Ьг — Ьз хз = Ьп хл = Ьг, хз = Ьз, '10) х~ = 2 + 46г — 116г — 146з, хг = 1 — 226о + 326г + 236з, хз = — 1 + ЗЬп хл = — 1 + 156г, хз = — 1+ 156з.
19.3. Не более чем на 1. 19.4. хв = О, хг = О, ..., х„= О, 0 = 1. 19.5. Ранги основной и расширенной матриц равны и. 19.6. В ответах указаны частное решение и фундаментальнал матРиЦа, а если Решение единственно -- Решение. 1) сшз, сшб 1 2) азов, сзог 3) решений нет; 4) сво, сшэ, 5) — свв сыг'., 6) стт, Азгз, 5 7) решений нет; 8) — см, с~от, 9) — Зсзвп сшв; 10) сэо; 11) — с~от, сгол' 12) спо, 13) сов, спП 14) — спв Азов, '15) сшз, 4зы; 16) сшг, Агзз' 17) сгвз, Агзт., 18) сшв, А~зв, .19) сзвз, Азы, 20) сзвл, А,з,, 21) сыв, Агзв, '22) с~во, Апз, '23) решений нет; 24) сзвт, сгвв, '25) спп с~во', 26) спв, 27) решений нет: 28) сгш, Аззэ', 29) сшт, Агзэ', 30) сшт, 1 1 сгвп 31) сгвз; Алп', 32) сгго, Авгг:, 33) — сгвз, Авш; 34) — — сгвв, Азов, '35) решений нет; 36) — сгло, Агво', 37) сгзз, Авп~ 38) сгын Атг, 39) сгзв, Ашт, 40) сгвг, Аыв, '41) сгзв, Аэто, '42) сгзп Алоэ~ 1 * 1 1 1 43) — — сгвз, Азвэ', 44) — — сгзв, Алп~ 45) — савв Алгв~ 46) сгзв 2 ' ' 3 ' 3 ' ' 4 Алш, 47) сгзо, сгво,' 48) сгш, сгзв, 49) сгтг, сии, 50) — сгво, А,по.
19.7. В ответах указаньс,эначение параметра, при котором система совместна, частное решение и фундаментальное решение однородиой системы при этом значении параметра. 1) Л = 15, спг, спз, '2) Л = 9, свэ, спл', 3) Л = 7, стт, спв, '4) Л = 12, свэ, стт. 19.8. Линейные комбинации с суъвмой коэффициентов, равной 1. 19.9. Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной О. 19.10. (1, 1,..., 1).
19.11. (О, О,...,О, 1). 19.12. 1) Ак = оа; 2) Ак = а+ Ь; 3) Ак = па+ ВЬ. 19.16. У к а з а н и е: теорема сводится к задачам 18.12, 19.14. 19.17. Ксли система уравнений содержит т уравнений с и неизвестными, и ранг основной матрицы равен г, то: 1) и = г; 2) т = г (у к а з а н и е: применить теорему Фредгольма); 3) и, ) г; 4) т = и = г. 19.18. 1) Несовместна; 2) совместна; 3) несовместна.
19.19. Ц Система уравнений совместна при о = О, о = 1. При о = 0 фундаментальная матрица сш~., при о = 1 фундаментальная матрица та же, частное решение стн 2) Система уравнений совместна при о = О, о = 1. При о = 0 фундаментальная матрица А,вз, .при о = 1 фундаментальная Ответы и указаиил ных уравнений агхг +...
+ апх„= а, Ь,хг +... + Ьвх„= Ь, аг ... а„а Ьг ... Ьа Ь йгхл +... + 6вх„= 6 есть г8 = 1. Указание 6,...6„6 сравнить каждое из данных уравнений с системой, полученной объединением всех уравнений. 19.23. У к а з а н и е аналогично указанию в 19.22. 19.24. Системы эквивалентны. 19.25. 1) Эквивалентны; 2) эквивалентны; 3) не эквивалентны. 19.26. Системы эквивалентны. 19.32. У к а з а н и е: система уравнений для вычисления коэффициентов имеет основную матрицу с определителем ).
19.33. хз— Вандермонда И'(аг, ..., автл) (ель задачу 14.28, 8) аг Ьг 1 — 6хг + 11х — 5. 19.34. 1) г8 аг Ьг 1 = 3; 2) г8 аз Ьз 1 а1 Ьг 1 агЬг1 азЬз1 азЬг1 х +у г + Ьг аз+ Ьгг аз г+ Ьзг х у 1 ал Ьг 1 агЬг1 аз Ьз 1 х у 1 19.35. аг Ьл 1 = О. 19.36. аг Ьг 1 Аг Аг Аз А4 Вг в Вз В4 '~ Аг Вг 19.37. 1) г8 ~ Аг Вг ,'Аз Вз Аг Вг Сг (г8 Аг Вг Сг, 2) г8 Аз Вз Сз 1 матрица та же, частное решение — слег. 3) Система уравнений 18 совместна при и = О, о = 1, о = 2.
При о = 0 фуцдаментальная матрица Амг, при о = 1, о = 2 фундаментальные матрицы те же; частное решение при о = 1 равно сгэз, при о = 2 частное решение равно слгю 19.20. Система совместна, если: 1) все Л, различны, или 2) при некотором 1 выцолиено Л, = гг. В случае 1) решение Л,-д единственно: хл = П ', 6 = 1, ..., п. В случае 2) в качестве ,. „л,— л„' частного решения можно взять столбец, у которого все компоненты, кроме г-й, равны О, а х, = 1. Для описания фундаментальной системы решений заметим, что базисными неизвестными являются те неизвестныс, которым соответствуют всевозможные различные столбцы коэффициентов. Поэтому 6-е решение из фундаментальной системы решений имеет 6-е свободное неизвестное, равное 1, базисное неизвестное, которому соответствует такой же столбец коэффициентов, равное — 1, а остальные компоненты й-го решения фундаментальной системы равны О.
19.21. У к а з а н и е; представить решение однородной системы уравнений как разность двух решений неоднородной системы. 19.22. 3) Необходимое и достаточное условие попарной эквивалентности нетривиаль- Оидееты и указан л 416 < гй~ Ад Вд Аг Вг Аз Вз А4 В4 19.38. 1) Прямые пересекаю гся в единст- венной точке прямые пересекаются в единственной точке. ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 а4 64 с4 1 = 4; 2) гб 19.39.
1) гй 19.40. 1) Все точки лежат в одной плоскости; 2) данные точки не а +у +2 дд2 4 62 + д,2 22 + 62 + с2 3 г а2 4- 62 + с" х у з 1 ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 лежат в одной плоскости. 19.41. а42 + Ь42 + с42 а4 Ь4 с4 1 Ьд сд 1 Ьг сг 1 ад ДД2 ад Ьд сд 1 19.42. 1) гй аг Ьг сг 1 = 3; 2) гк аз 6з сз 1 ) 3, а Ь с 1 прямой; 2) точки не ле- 1 сд 1 =О. Указание: С2 сз 1 19.43.
1) Все точки лежат на одной х у ад Ьд жат на одной прямой. 19.44. аг Ьг аз Ьз см. решение задачи 19.35. 19.45. 1) т=Л=1; 2) т=Л=2; Ад Вд Сд Ад Вд Сд Р, г, 3) ° =1,Л=2,;,,е,=г, А В С Л-г, А В С Р ' 2 2 2 2 2 2 2 з 1946. 1) т=Л=1; 2) т=Л=З; 3) т=Л=2:,4) т=1, Л=2; А, Вд Сд А, В, С, Р, ~,' 5) т=2,Л=З,гдст=гй Аг Вг Сг,Л=ги Аг Вг Сг Рг~п Аз Вз Сз Аз Вз Сз Рз ~~ 19.47. 1) Плоскости образуют призму; 2) плоскости имеют одну общуюпрямую. 1948. 1) т=Л=З;2) т=2,Л=З;3) т=2,Л=2; А, В, С Аг Вг Сг Аз Вз Сз А4 В4 С4 аются; 2) прямые пер А, В, Сд Рд Аг Вг Сг Рг Аз Вз Сз Рз ~ А4 В4 С4 Р4 ~~ 4) т = 3, Л = 4, где т = гй 19.49.
Ц Прямые скрошив есекаются. 20.1. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 20.3. Ц Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна п — 1. 3) Да; размерность равна и — 1. 4) Нет. 20.4. 1) Да: размерность равна 1. 2) Да; размерность равна 2. 3) Нет. 4) При о = О' и при о = 90' данное множество является линейным подпространством размерности 1, при 0' < о < 90' не является линейным подпространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
