Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 85
Текст из файла (страница 85)
1 1 — 1 1 — 5 3 — 1 1; 4) 5 — 3 3 1+1 е 1 — 1 1 , ыз, ы); 5) бйа8(2, 2, 36 — 25 — 3 < 23 — 16 — 2 ~' — 3 — 15 9! 1 5 5 ~ 5 25 -31 ~' 1 5 1 -42 -18 -20 48 2) 15 7 7 17 3) > 4 — 2 : 3) ! 4 1 . Указание; базисе из направляющих 23.65. 1) 2 5, 2) сначала записать матрицу в 1 — 1 1 Ое векторов данных прямых. 23.66. 1) — — 3 3 0 2 3 4 0 0 0 2 1 1+ъУЗ вЂ” 1+ъУЗ 4 3 3;3) — 1 1 2;4) — 1 — ч'3 1 — 1 — ~/3 и — 2 — 21 — 103 — 1 — хУзх/3 — 1 1 2) 1 1 — чгЗ вЂ” 1 — ч'3 1+ з 1 -1+Я;5) -1+Л -1 — чЗ У к а з а н и е: сначала записагь ма 00 — 1 1 2 — 21)~ — 10 0 и — 1 22<. 01 0 — 2 — 12)~ грину преобразования в базис~, составленном нз базисов данных подпространств. 23.67.
1) Аааз, 2) А4аеб 3) Ае1з (и = т + 1); 4) Аааа (и = т); 5) Авве (и = тп). О А П 23.68. 1) Та же матрица, что и в ответе к 23.43, 1); 2) — 1 — 1...— 1 1 — 1...— 1 02...— 1 0 — 1 1 ... 1 0 0 — 2 ... 1 3) Аею где А= В = 000...— и 0 0 ... п 23.69. 1) Поменяются местами 1-й и Оий столбцы; 2) поменяются Ответи и цказаи и местами й-я и 1-я строки; 3) 1-й столбец умножится на Л, укя строка разделится на 86 4) к 1-му столбцу прибавляется у-й, к 1-й строке прибавляется й-я. 23.70. 1) Поменяются местами две строки и два столбца с номерами 1 и у; 2) 1-я строка умножится на Л, 1-й столбец разделится на Л; 3) к 1-му столбцу прибавится у-й, из укй строки вычтется 1-я; 4) произойдут аналогичные перестановки столбцов и строк матрицы; 5) матрица заменится на центрально симъ1етричную исходной.
У к а з а н и е: при решении задач 23.69 — 23.71 можно использовать формулы (3), (4) из введения к 3 23 и задачи 15.27 — 15.30. 23.73. гб у. У к а з а н и е: использовать задачу 23.72 или 23.71 и метод Гаусса. 23.74. 1) ббай (1. 0) в базисах (1, 0), ( — 1, 1) и (1, 1), (О, 1): 2) Е в базисах (1, 0), (О, 1) и (1, 3) ., (3, 10); 3) сйаб(1, 1, 0) в базисах (1, О, 0), (О, 1, 0); (1, 1, — 1) и (О, — 1, — 1), (1, О, 1), (О, О, 1);4) бйа8(1,0,0) в базисах (1, О, 0), (1, 1, 0), (1, — 1, — 1) и (У, — 1, 2), (О, 1, 0), (О, О, 1); 5) Аьго в базисах: (1, О, О, О, 0), (О, 1, О, О, 0), (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, -1, 0), (О, О, 1, О, 1) (1, 1), (2, — 2) ; 6) Аме в базисах: (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, 1, Ц и (-2, -2, -3, 4, 6), (-2, -2, -2, -1, 5), (О, 1, О, О, 0), (О, О, О, 1, 0), (О, О, О., О, 1) .
23.77. ЛЕ, где Л вЂ” произвольное число. 23.78. 1) рр существует при и = й, ~6у существует при т = й 23.79. Пусть р: У7.ь — у Ец ф Л.„— ~ Е„„Х: Е,, — у Еи 1) и. = 1, т = й; 2) в = и, 1 = т, = й; 3) 1 = й = и, 1 = т; 4) й = и, 1 = т. 23.80. Еслибы: Š— уГиМ=~р(Е), то р=кр, где ~р: Š— уМ и — 1 4 — 2 1: М вЂ” > Š— естественное вложение. 23.82. 1) 2 — 1 — 1 — 1 0 1 — 3 8 — 5 ~ 2 8 — 5 2) 0 5 — 4 '; 3) 4 5 — 4 . Указание: пусть А, В, С— — 25 — 3 313 — 8 матрицы, составленные из координатных столбцов векторов а„ Ь„с, (1 = 1, 2, 3), Х, 1' — матрицы преобразований ~р и в данном базисе. Тогда ХА = В, 1'В = С, УХА = 1 В = С, т.е.
матрица х преобразования фу удовлетворяет матричному уравнению ЯА = С. В базисе аы аз, аз. Г = А ЯА = А 1С, АТ = С. В базисе Ьм Ьз, Ьз. Яа = В 'хВ. 23.83. 1), 2) 0; 25 — 10 -6 0 18! 40 — 15,4) — 5 — 6 ,'5) 0 1 ~.Указание:~Р— уу=5ь О Е 23.85. 1) Матрица порядка и + 1;, где Š— единичная матрица порядка и — й + 1 при й < и, 0 при й > и; 2) матрица 0 — 1 порядка 2и, + 1: ( — 1)' бйаб (О, В, 2ьВ, ..., иьВ), где В = Опсветы и указаэсия 427 пРи 1 = 2з -- 1, В = пРи 1г = 2з (1 = 1, 2,..., з = ((1 + Цсс2)).
1 0 23.86. Ц (тР) (аз+ ас1+... + апГ) = ас1+ 2аг10 + ... + тса 1ч; 2) (Рт) (во+ а,1+... +а„1") = ао + 2ас1 + ... + (и + Ца„й'; 3) ,'Р, т) = г; 4) у к а з а н и е: доказывать по индукции на основе результата задачи 3). 23.91. Ср. 15.59. 23.100. 2) Пус гь отображение г, имеет в некоторой паре базисов матрицу Е,, (матричную единицу). Базис в Е (Р, Д) состоит из всех отображений е,", йпп ИР., Я) = тп. 23.101.
Ц, 2), 4), 5) — нет; 3), 6) — да. 23.103. Ц, 2), 3), 5) при Н ~ 1 нет; 4), 6) — да. 23.104. У к а з а н и е: если грани отражателя совместить с координатными плоскостями, то направляющий вектор луча подвергнется последовательным отражениям с матрицами 41аб (1, 1, — Ц, 41ай(1, — 1, Ц, Йай( — 1, 1, Ц, В отпветах к задачам на отыскание собсспвенпых значений и собственных векторов для каждого собственного значения Л указывается либо множество Х соотпветсгпвуюших собглпвенных оетпоров, либо базис собстпвеппого подпрострапспсва, а в случае диагопализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбоов векторов .этого базиса, 24.1.
У к аз а н не; рассматриваемое множество содержится в собственном подпро- А В странстве. 24.3. и — г. 24.4. 1 О, где А = 41аб(Лс, ..., Ль), а Лы ..., Ль — собственные значения. 24.13. У к а за н не; многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень. 24.14. 2) Пусть с1е1(А — ЛЕ) = (Л1 — Л)... (˄— Л); тогда ая = 2 Л„... Л;,„, где Оь...,ц) (1с, ..., гг) пробегает упорядоченные 1-элементные подмножества множества (1, 2, ..., п) (й = 1, ..., и,); 1г А = Лэ + ... + Л„; сает А = Лс ...
Л„. 24.15. Бсе нулевые векторы. 24.16. Собственное значение Л (кратности и), собственные векторы оес о ф О. 24.17. Лы..., Л„. 24.18. Искомый базисе = (еы..., е„), где (еы ..,, сь) базис в ь', (сгэс, ..., с„) базис в х.з. Ц йсай (Ег, О); 2) йай(Еь, — Е„ь) в базисе е. 24.19. Ц Л = 1, х+2У = 0; Л = — 1, х+Зу=О; йай( — 1,Ц в базисе ( — 2, Цт ( — 3, Цт 2) Л=1, х+у=О;Л=0,4х+5у=О;йай(1, 0) вбазнсе (1, — Ц, ( — 5, 4) .
3) Л = 1, Зх — 2у = 0: Л = 2, х — у = 0; сйаб (1, 2) в базисе (2, 3), (1, Ц . 24.20. ЦЛ=1,прямаях=с=О;Л=О,плоскостьу=О; 41ай (О, 1, 0) в данном базисе. 2) Л = 1, прямая х = у = г = 0; Л = О, плоскость х+ у -~ г = 0; йсай(1, О, 0) в базисе (1, 1, Ц, (1, — 1, 0), (1, О, — Ц . 3) Л = 1, плоскость х 4 у+ г = 0; Л = О, прямая т = = у = г; ойаб(1, 1, 0) в базисе (1, --1., 0), (1, О, — Ц, (1, 1, Ц . Огвееты и указан и 4) Л = 1, плоскость — х+ у+ 2г = 0; Л = О, прямая — 2х = 2у = -; йа8(1, 1, 0) в базисе (1, — 1, 1), (1, — 3, 2), ( — 1, 1, 2).
5) Л = 1, плоскость х = 0; Л = О, прямая 2х = 2у = — с; йа8 (1, 1, 0) в базисе (О., 1, 0), (О, О, 1), (1, 1, — 2) . 6) Л = 1, плоскость х = у; Л = О, прямая — 2х = Зу = бгб йа8 (1, 1, 0) в базисе (1, 1, 0), (О, О, 1)т, ( — 3, 2, Ц . 7) Л = 1, прямая — 20х = 15у = 12гб Л = О, плоскость 2х + Зу — х = 0; йа8 (1, О, 0) в базисе ( — 3, 4, 5), (1, О, 2), (О, 1, 3) . 8) Л=1,прямая 2х=у=2г; Л=О,плоскость 2х+ Зу — 4х = 0; йа8 (1, О, 0) в базисе (1, 2, 1), ( — 3, 2, 0) ., (2, О, 1) .
9) Л = 1, плоскость х = 0; Л = — 1, прямая у = г = 0; йа8 ( — 1, 1, 1) в базисе (1, О, 0) ., (О, 1, 0), (О, О, 1) . 10) Л = 1, прямая х = 2у = —, Л = — 1, плоскость 2х ! у + 2с = 0; йа8 (1, — 1, — 1) в базисе (2, 1, 2), ( — 1, 2, 0), (1, О, — 1) . 11) Л = 1, плоскость х+ у+ х = 0; Л = — 1, прямая х = у = гб йа8 (1, 1, — 1) в базисе (1, — 1, 0), (1, О, — 1), (1, 1, 1) . 12) Л = 1, плоскость х = 0; Л = — 1, прямая 2х = у = — х; йа8(1, 1, — 1) в базисе (О, 1, 0), (О, О, 1), (1, 2, — 2) . 13) Л = 1, прямая 2х = у = 2з; Л = -1, плоскость х+у=О; йа8(1, — 1, -1) в базисе (1, 2, 1), (--1, 1, 0), (О, О, 1) . 24.21.
1) При а = 2Ьк: Л = 1, все ненулевые векторы т собственные; при а = (2Ь т 1)т: Л = 1, Х = (аез)о 7- 'О) и Л = — 1, Х = (ое~+Зез! (а)+ )3! ~ 0); при о ~ Ьт; Л = 1, Х = (ае(о ф О) (Ь— целое); 2) Л=1, Х=(ае~/офО);3) Л=1, Х=(а(1, 1, 1) /афО); 4) Л = 1, Х = (а (1, 1, — 1) /о ф О) и Л = О, Х = (а ( — 3, 1, 0) + + В (О, О, 1) ! /о! + ф/ ф 0):, 5) Л = 1, Х = (о (2, 2., — 1) /а ф 0) и Л= —.1, Х=(о(1, — 1, О) +В(3, О, — 1) а!+ В!7':0); 6)Л=2,Х=(о(1, 1, 1) /офО)иЛ=1,Х=(о(0, 1, 0) +В(2, О, 1) ! /о! + ф/ ф 0); 7) Л = 1., Х = (а (1, 1, — 1) о у': 0); 8) Л = 1, Х = (о( — 1, 1, 1) !а ф О). 24.22.
1) Л = О, собственное подпространство Ь|х~ +... + Ь„х.„= 0; если а~5| +... + а„Ь„ф О, то егце Л = адЬ| + ... + а„Ь„, Х = (о (ад, ..., а„) !а ф. 0). 2) а~5~+...+о„Ь„ф 0; 3) а) да; б) нет. 24.23. Преобразование с матрнцей йа8(ЛЕь ы,У т~(Л), рЕ„,„), где уф Л. 24.26. 1) Лз,..., Л~; 2) Л~, ..., Л„', 3) Л ~, ..., Л,, !. Указание: доказатть что при Л 7': 0 с1с!(А — ЛЕ) = ( — 1)" с!етА с!сс(А ~ — Л 'Е). 4) р(Л!),..., р(Л„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
