Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Собственные функции сем, с ф О. 24.49. Л = — иг, Х = (сяпиЬ~ с ~ 01, и любое натуральное число. 24.50. А = В = С = Е. 24.51. 2) Л = 1, собственные векторы— многочлены степени меньше т; Л = О, собственные векторы — многочлены, делящиеся на рв(1). 24.52. 1) с11а8 (1, О, О, 0) в базисе 1, 1, 12, гг. 2) йа8 (1, 1, О, 0) в базисе 1, 1 гг + 1 гг З 1. 3) йга8 (1 1, 1, 0) в базисе 1, 1 — 1, (1 — 1)2, (й — 1)г. 24.53. Л = 1, собственные векторы — ненулевые симметрические матрицы; Л = — 1, собственные векторы — ненулевые кососимметрические матрицы.
т Формула А = — (А + Ат) + — (А — Ат) дает искомое разложение. 2 2 24.54. Л = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; Л = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы. Ошееты и цкаааиил 433 матрицы Е, Ац>е, б) бйаб (О, О, 2, — 2) в базисе Е, Аан Аю А$ 10 Π— 1 — 11 1 1 в) гБая(0, О, — 21, 21) в базисе 1 ' 1 24.58. Ц г11ая (1, 1, — 1, — Ц в базисе Е, Ааь -Аю Азе, 2) Л = 1, собственные матрицы Е, Аюе.
24.59. Л = 1; собственные функции: Ц 1, у, у~; 2) 1, 2х+ у, (2х+ р)~. У к а з а н и е; можно использовать результат задачи 23.50. 24.60. Ц Л = О, собственный вектор х"; 2) Л = О, собственный вектор у"; 3) йая (и, и — 2, ..., — и) в базисе х", х" гу,..., у" ~х, у". У к а з а н и е: можно использовать задачу 23.51. 24.61. Ц Л = 1, собственные векторы — константы; Л = О, собственные векторы х, хр, хз.
2) йая (1, 1, 1, 1, — 1, — Ц в базисе 1, х 1- у, ху, хз -~; уз, х — у, хз — уз. 3) Л = 1, собственные векторы 1, х, хз, уз; Л = — 1, собственные векторы у, ху. 24.62. Ц ббай (2, — 2, 0) в базисе х+ хз, х — хз, 3 — 5хз; 2) Лая (2/3, 4/3, — 8/15) в базисе бх+ 1, х, Зхз — 1. 24.63. Ц йая(к/2, — к/2) в базисе сбп х + сов х, зш х — сое х; 2) г11а8 (я/2, я/4, я/4) в базисе 1, соз2х, з1п2х. 24.64. Л = О, собственные векторы — гармонические многочлены, т.е. решения уравнения Лапласа Ьр = О. При и = 0 это многочлены нулевой степени, а при и > 1 существуют два линейно независимых однородных гармонических многочлена степени и; ~вдО ~в/2~ 1)ьг зь и-зь„зь 'тг ( 1)ьс зь-;г и †зь -~„зьзл ь=-о ь=а У к а з а н и е: и + 1еь = (х + гу)".
24.65. Преобразования с ,'10 11~ АВ ПАОЛ и',01 '" 01. 24.72. Ц ОС '2) ВС матрица А порядка Л. 24.75. Любое подпространство инвариантно. 24.76. Вся плоскость и нулевое подпространство. 24.77. Прямая х =1а и плоскость (х, а) = О. 24.78. Кслн матрица преобразования диагональна в базисе ем..., е„, то ненулевые инвариантные подпространства натянуты на всевозможные системы векторов е;,,..., ем, Число инвариантных подпространств равно 2гч 24.79.
Пусть Е является прямой суммой собственных подпространств преобразования Е = Е~ Ю ... Ю Е,. Тогда любое инвариантное подпространство М имеет вид М = М~ ~Э ... В М„где М, — некоторое подпространство в ь, (1 = 1, ..., а), 24.80. Подпространства (о) и линейные оболочки векторов ем ..., еь для каждого й = 1,..., и. 24.81. М~ + Мз, где М, — произвольное подпространство в 1 = 1, 2. 24.82. 2) У к а з а н и е: использовать задачи 24.2 и 24.26, 4).
24.83. 2) У к а з а н н е: использовать задачи 24.26, Ц и 23.98. 24.85. У к а з а н и е: использовать задачу 24.84. 24.86. Очевидные инвариантные подпространства: (о) и все про- Оплееты и цказан и 434 и 020 0,' — 200 0 002 — 2 002 2~ 1 0 1 0 0 ! 0 1 1 0 — 1 0 0 1 0 — 1 450 А'= — 540; 2) 000 А' = —,2 ъ'2 — 1 1 0 0 1 1 0 А =(О „Π— лУ2 — 1 0 0 1 0 0 0 0 0 лУ2 — 1 0 0 1 О, 1 у'2 ъ'2 — 1 1 0 0 1 А' 3) Я -3 -3 -1 0), 3 2 10~~ 4 3 1 О~' О 01~,' — 9 0 0 0 0 0 0 0 — 9 0 1 0 1 002 0 — 102 4) Я= О 2!О 0 201 5) странство.
Другие инварнантные надпространства; 1) одномерные с базисными векторами (2, — 1) и (1, — 1); 2) одномерное с т т базисным вектором ( — 1, 2); 3) одномерные подпространства т с базисными векторалли ал = (О, 1, 1), аз = (1, — 1, — 1), т аз = (1, — 1, — 2), двумерные: линейные оболочки пар векторов ао ал, 1 < л < й < 3; 4) одномерное инвариантное подпространт ство Р с базисным векторолз (3, 5, 6), двумерное инвариантное надпространство й с базисом (2, 1, 0), (1, О, — Ц; все подт т пространства М пространства Я; всевозможные суллллы М + Р. 5), 6) Собственные нодиространства М, Л с базисами из векторов ел + е„лен 1 < ! < )(и+ 1)/2) и ел — е„.
ллы 1 < л < )и/2); все надпространства Р, Ц пространств М, Л; всевозможные суммы Р+ Я. 7) Собственные надпространства М, Л' с базисами ез +... + е„и ел — ез,..., ел — е„; все надпространства Р пространства ЛГ; все суммы Р+М. 24.87. (и — 1)-мерные инвариантные надпространства определяются уравнениями: 1) хл — 2хз + хз = 0 и хл — хз + хз = 0; 2) (2сл+ ЗЗ)хл — охз + Зхз = 0 (~сл~ + ф( ф 0): 3) х| — хз + 2хз = 0: 4) хл — хз = 0; 5) хл + 2хз 4: (ха + 2хл) = 0; 6) хл + хз х (хз 4 хл) = 0; 7) 2хл+хз+Зхз+хл — ха=О; 8) хл+хз+...+х„=О.
У к а з а н и е: использовать результаты задачи 24.84 или 24.85, 2). 24 88. 2) Базис в л.: (1, — 1, — 1, 0), (О, О, О, 1) 2489. 1) Указание:еслиеы ...,ел базиса Ел (и=1,...,и), то ел, ..., е„— искомый базис. 24.90. Линейные оболочки пар векторов: 1) (! 1 0 2 (/, )! 0 1 2 )); 2) )! 1 0 1 0 )), ~! 0 1 0 1 )~ и )! 1 0 --1 0 ~(, )~ 0 1 0 --1 ((; 3) )~ 1 — лГ2 1 0 )), ,'! лГ2 — 1 0 1 1 ъ'2 1 0 )(, ( — л'2 — 1 0 1 $4) все пространство; 10 2~ 5) )! — 1110!), ))0001/). 24.99. 1) Я= 01 2 2 2 — 1),' Отпееть» и указа»»ил О," 24.101. Искомый базис задав матрнцей Я. 0 ~~ 1 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 1 А' = 010~~ 000~ 150~~;2) 001 141~~ 000,' 1 1 0 0 . 4) Матрица к — 1 0 0 — 25 0 0 5 1,Я= 0 0 5 — 1 1, Я= — 1 Решение нс единственно. Ц 1 1 0 — 1 о= — 1 20;3) 0 0 — 3 1 0 0 — 2 1 1 треугольному виду над полем действительных чисел не приводится.
У к а з а н и е: применить задачу 24.100. Можно использовать результаты задачи 24.87. 24.102. 2) Если й», ..., й, — порядки диагональных блоков, то йш» ь, = Ь» + ... + й (у' = 1, ..., г). 24.104. Ц Л = О, собственные векторы — константы; 2) Л = О, а1 (а ~ 0); 3) Ль = — 1л, асов и» (а ф 0), 1 = О, 1,..., и; 4) Ль = — й~, Ьет И (Ь ф 0), й = О, 1, ..., и. 24.105.
Многочлен степени не вылив и. 24.107. См. ответ к задаче 24.81, где Е» — подпространство много- членов степени не выше»и — 1, Ез — подпространство многочленов, делящихся на ре(1). У к а з а н и е: преобразование является проектированием на ь» параллельно ьз. 24.109. См, ответ к задаче 24.81, где ь» — подпространство симметрических матриц, ьз — подпространство кососнмметрических матриц. 24.110.
У к а з а н н е: есть множество матриц, у которых все столбцы, кроме 1-го, нулевые. 24.112. 2) Л, + Лм 1 <» < у < и. 24.114. При а = хй (Ь вЂ” целое) преобразования Ц, 2) тождественные, Л = 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные. При о = — + хй имеется 2 собственное значение Л = 1 с собственной л»атрицей Е для Ц и Азе для 2) н собственное значение Л = — 1 с собственными матрицами ~~а~ + ~Ь~ ~ О, для обоих преобразований. При а ~ хй/2 собственное значение Л = 1 с собственной матряцей Е для Ц и Азе для 2), а также собственные значения Л = ест'»* с собственными 1 Ы матрицам»л .
1 соответственно щ»я обоих преобразований. 24.115. Например, ейа8 (Л, ..., Л,,Уь-,„ь»(Л), д, ..., »»), т,— » и — ь при Л ~-. д. Число клеток равно и», сумма их порядков равна й. 24.116. Ц (1 — 1)(1-»- 9); 2) (Ь вЂ” 2)з; 3) Я вЂ” 3 — »»2); 4) ф — 2»); 5) (Ь вЂ” »)з; 6) 1(Ь вЂ” 2); 7) Ьз; 8) Ьз. 24.117. Ц 1 — Л, если А = ЛК; 2) (1 —. Л)", если А = 7„(Л).
24.118. Ц 1. 24.124. Пусть А = ейа8 (,7з(0), 0). Собственное подпространство (Л = 0) двумерно, т и к вектору 1» = ~~ 0 0 1 ~( не существует присоединенного, так как система Ах = 1» несовместна. 24.125. Ц Л» = О, )) 3 1 )) 436 Опи~етн и цказан и и Лг = 7, Ц 1 — 2 ) ; 2) Лг = 1, Ц 2 — 1 Ц и Лг = 2, Ц 1 — 1 ) 3) Л = О, Ц 1 0 Ц , Ц 0 1 Ц (все пространство — корневое); 4) Л = О, Ц 1 0 0 ! , Ц 0 1 0 Ц , Ц 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 5) Лг = О, Ц 1 1 — 1 Ц и Лг = 2, Ц 1 2 0 Ц , Ц 3 0 2 ! (собствент ные пространства совпадают с корневыми); 6) Л = О, Ц 1 0 0 ! Ц 0 1 0 (, ! 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 7) Лг = — 1, т т ЦО 1 — 2Ц, ЦЗ 0 2Ц и Лг = О, ЦЗ 3 — 4Ц; 8) Лг = — 1; Ц2 0 1! иЛг=2, Ц1 1 ОЦ,ЦО 0 1Ц .
24.126. Указывается жорданова форма и соответствующий ей базис. 1),Уг(0), ( 1 1 ( Ц 1 О Ц; 2) Аг(О), ~ 3 — 3 Ц, Ц О 1 Ц; 3) Уг(О), Ц 2 6 Ц, Ц О вЂ” 1 ~ 4) йа8 (,Уг(0), 0), Ц 2 2 -2 Ц , Ц -1 0 0 Ц , Ц 3 0 2 / ; 5) Уг(0), Ц 2 1 0 Ц Ц 1 2 1 Ц Ц 0 1 1 Ц ' 6) Уг(0) Ц 2 1 1 / Ц 1 0 -1 Ц , Ц 0 0 1 Ц ; 7) йа8 ( Уг(0), Уг(0)), ! 1 0 0 1 ! Ц 1 0 0 0 Ц , Ц 0 1 1 0 Ц , Ц 0 1 0 0 Ц ; 8) йа8 (,Уг(0), 0), Ц 1 1 1 1 Ц, ) 1 1 О О Ц, Ц 1 О О О Ц', ~ 1 О О 1 ~; 9) .У,(О), Ц 16 16 16 16 Ц , Ц 8 8 0 0 Ц , Ц 3 1 1 — 1 Ц , ! 1 0 0 0 / 24.127.
1) Хд( — 3), Ц 1 — 2 Ц: Ц О, — 1У2 Ц; 2) йа8 (О, 169), Ц12 5 / Ц12 5! ' 3) Уг(-2) ЦЗ 6Ц ' Ц1 1 ! ' 4) Уг(5) Ц вЂ” 2 — 6Ц, ЦО 1Ц; 5) йа8(2, 2, 0), Ц2 1 ОЦ, ЦЗ 0 2! Ц1 1 — 1Ц; 6) йа8(Уг( — 1), — 1), Ц1 — 2 1 !, ! — 1 0 О/ Ц 2 — 1 0 Ц; 7) йа8 (1,,Уг(Ц), Ц 5 1 О Ц, Ц 1 — 3 4 Ц, Ц 1 0 0 / 8) йа8(0, Хд(0)), Ц 0 1 0 Ц, Ц 16 — 4 — 8 Ц, Ц 1 0 0 Ц; 9) йа8(0, Уг(1)),~1 11Ц Ц01 — 1Ц,Ц101Ц;10)йа8(Уг( — 3),2), Ц5 О -10 Ц', Ц-17 И О Ц', ЦО 1 — 1Цт; П),т,(2), Ц1 2 ~ ~', Ц110~ ЦО -1ОЦ 12) Уг(Ц Ц2 -1-1Ц )-110( Ц вЂ” 1 0 2Ц, 13) йа8 (Уг(1), — 1), Ц2 2 2Ц, ЦО 0 1/ Ц 2 0 1 !; 14) йа8 (2, 2, 2, — 2), Ц 1 1 1 — 1 Ц, Ц 1 1 — 1 1 / Ц1 — 1 1 1~/,// — 1 1 1 1Ц;15)йа8(О,,Уг(0),2), /О 1 1 О/ Ц02 — 2-4Ц, Ц1010Ц, Ц1021Ц; 16) йа8(Уг(1), 1), Ц О 2 О О Ц, Ц -2 3 -1 1 Ц', Ц О О 1 О Ц, Ц 1 -1 О О ~ 17) йа8(,Уг(1), 1, 1), Ц вЂ” 1 — 1 1 1 Ц, Ц 0 1 0 0 Ц, / 1 0 1 0 / Ц 0 7 0 — 1 Ц; 18) йа8 (Уг(1),,Уг( — 1)), Ц 2 — 1 2 — 1 / Ц 0 1 2 0 Ц, Ц 2 — 1 — 2 1 Ц, Ц 1 — 1 1 0 Ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
