Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 90
Текст из файла (страница 90)
3 -у8 -1 29.20. Лв = х+ (и — 1)у, ев — — (1,1~/и) Ц 1 1 ... 1 /!; Лз = х — у, евтз — — (1/тгР+й) Ц 1...1 — ЙО ... О!!~ (й = 1, ..., и — 1). 1 2 — 2 29.23. Я= — — 2 2 1, А' =йа8(9, 18, 18), В' = йаб(9, — 9, — 9). 3 21 2 4 — 4 2 ~ — 4 4 — 2с; 2 — 2 1~~ 5 4 — 2 29 26 1) 9Аз+27Аг,гдеАз = — 4 5 2, Аз =в — 2 2 8 17 4 1 4 2 — 4, Аз 1 — 4 17 1 2) 2Аз + 20Аз, где А~ 18 = (1/18)Азво; 0 29.8. Я = 1 0 т/42 20 42 299. 1) 2 и!; 2) б 1 А' = йа8 (1, 1, — 1); 6) Я =— уб 2 0 — у'2 3, — 3); 7) Я= — (1 ~ГЗ ъ'2 ( 1 — ъ'3 у/2 ~ ~ъ~2 зЛ 1 ~ з72 0 —.2 ~ тГ2 — ъ''3 1 4 ./Г4 0 0)~ ъ14 0 00~ о о оо~ 0 0 00~ Ц Да; 2) да Огпветы и указания 1 1 О 1 3) 10А1 + 2Аз + Лз, где А1 = (1/18)Адее, Лз = — 0 0 О, Аз = 2 101 4 2-4 1 41 16-32~ — 2 1 — 2 .
29.30. А=А1АзАз,где А1= — 16 17 — 16 Π— 4 — 2 4 — 32 — 16 41 ~~ 17 16 16 113 -104 52 Аз = — ~ 1 6 41 32, Аз = — — 104 113 — 52; 2) А1 16 32 41 9 52 -52 35 30 -1 1 13 2 4 1 37-76 19! 0 2 0 Ат= — 2 10 2 Аз= — -76 322 -76 й -1 0 3 9 4 2 13 18 19 -76 37)~ 1 11 — 2 29.32. Ц Необходима. 29.33. 1) — 4 , .2) (172)Ате, — 2 14 13 1 1 3) — 1 13 1 .
29.40. Только при умножении на 1 3 1 1 Гз или — 1. 29.44. А~ ГА = Г. 29.45. 1) Нет; 2) нет. 29.46. АтА = В В. 29.47. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 29.50. 1) Я =, А' = ~0 — 1 4 — 2х/2 1 1 у'2 0)! 0 — Л2 1 1 — 1 1 О х72 ъ'2 0 -1 1~> 1Л1ЛЗП 1 — 2 0 0 2) Я=Аззе, А'= — 0 1 ЛЗ о Лз 1 ;3)В=— 2 2 0 -1,З 0 2 0 ~ з -Л 1-,гз ~ 2 0 — 2 ~ 0 2-Лз — 2 0 2 0 -2 — ъ'3 2 0 1 0 2 0 — 1 1 0 0 — — 1 О О 1 0 0 1 — 1 ' ' 2х73 ;4) Я= 0 0 1 1 1 А'=— ~/2 ;0 — 2 0 0 ~2 0 0 0 ~о о — 'з ,'О О 1-З ~0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 з -1 Л А' =— 1 2 У к а з а н и е: для нахождения 1 '~2 — 1 Л5 )1 2~,' 3 — 3 ~ — Лз 5 ной.
29.53. 1) Я = Аез, 1' = 5 10 , .2) 10 5 1 14 3 1 Лз — 1 1 ,Д 3 6 ' 2 1 Лз ' 2 инвариантных подпространств воспользоваться задачей 24.89. 29.52. Симметрическая матрица не является неотрицатель- Ответы и цказаа я 1 Н8 1З 4) Я =Аег Ъ'= 5Атг' 5) Я = Аго Ъ'= (12!5)Азз'6) Я=— 3 — 1 8,' 1 4 т2~~ Ъ = — 5 (В задачах 4) и 5) разложение не единственно.) — 5~гЗ 2тг5 — 5тЛ/3 11= 0 О 4 15З О 53 2) фз = Офд ~. 29.63. Все 0 Π— т'5 ! ,Ъ'= — 03 О ЗЛ 29.54 29.58. равны 1. 29.64.
а, ~, 1= 1,..., и. 29.65. Умножились на ~о~. 29.71. 1) аз = ог = аз = 3; 2) аг — — ог = 3, аз = 0; 3) а> — — Л4, аг = аз — — 0; 4) а! = 9, аг — — 6, оз = 5; 5) оз = 30.1. Р— Е. 0 + 21 1 1) Р= 1 3 30.2. 5 Р = — 3 — 61 7 2) г 41 2 7 — 2 — 41 1 — 2 7 — г 4г' г 3 т — 2 г, 41 — 2 — 2 — 41 — 2 2 2 41 3 — 1 — 41 2 1 10 30.3. у = т— (и, а) — 2 ' о, (о)г Я=Š— 2 . 30.4.
)а(г 9 — 21 — 6 21 9 6г; 3) — б -61 --7 1) Матрица Ц из ответа к 30.2, 2). 1 — г — 1+г" г 1 1+1 — 1 — г1 — 1 Оз 1 2) 11 3 — 2 — 2 — 2 — 21 — 2 3 — 2 — 2 — 21 — 2 — 2 3 — 2 — 2г + 2г -2 + 21 — 2 + 21 1 30.7. 1) З 2+ Зг 9+ ~~ 1 — 2г — 2— !' 4) Я=— 1 5 30.6 Ц Агз' 2) Азоз' г 1 29 — 13г 2г 1 2) 3) 1) А' 3) Да. 30.12. Зг — 2с Зг ~/6(3 — г) 0 — 31 Зт'2(1 + 1) 0 О 2 — 121 0 1 1 0 О 0 ~/2 0~,' о о 1 1т'2 — 1 — г 0 г — гъг2 0 0 — 1 Я 1 ъ'2 3) А' Азиб 1 — 2г' — 1 3+ 4г -3 — 81 6+ 101 о„г = 1, о„= )е!. АГ 'Аг, где Г„ 3 0 0 0 1 1+г 01 — г' 2 3 6г 13 — 2г 2г 10 2 — 2г ~ — 2 41 ~. 30 11.
1) 5 1 — 5г +г ~' — г~, Я=Агее, 2) А'=— 1 ~' ' 3 АтА Я = 2Р 1 3 Π— 0 — 1 2 0 2 — 2г — 2 3 6г 3 6 — 21; 3) — бг 2г 3 Ответы и цказан л 450 4и'2 -31 Зг Зту2 4г — 41, 3) А' = йа8(1+ г, 1, 1 — 1), Я = (1/З)Агог. 5.2 О 30.23. Да. У к а з а н и с: использовать результат задачи 30.14. 30.24. У к а з а н и е: использовать задачи 30.11, 2) и 30.39. 30.33. У к а з а н и е: использовать задачу 30.29. 30.34. Ц Матрица Г А — эрмитова; 2) ГА ~ = А Г. 30.35. У к аз а н не: рассмотреть переход к данному ортонормированному базису от ортонормированного базиса из собственных векторов.
30.36. Ц Я = 3' 1 ~, А' = Йа8 ( — 2, 8); 2) 8 = А' = йа8 (О, 5); 3) Я =— — 1 чЗ+г ' за — г 1 , А' = йа8 (1, 6): ъ'3(1 — г) .,УЗ вЂ” г~~3 , нет. 2) — 2г 1 — г 0 3, А' = йа8(0, 1, 4). 30.43. Ц В 2(1 -~- г) — г лько если ~о~ = 1. 30.44. Ц Я = (1/у'2)Аом 4) о= 1 тг'Г22 общем случае То 1 з/7 г А' = йа8 (соз а + 1яп а, соз а — 1яи а); 2) Я = —, А = тЯ г ъ'7 — г 2, А = йа8 (1, г, — 1) .
2 2 2 =(1,15)йа8(З+4г, 3 — 41); 3) Я= — — 2г г г'. — 2г 31.1. Линейная функция в Е.„линейное отображение в 11 (или в С, если Св комплексное). 31.2. Если е' — еЯ н м, м' — координатные строки линейной функции в базисах е и е', то и' = мЯ. 31.3. гн = 7(е,), г = 1, ..., п, 31.4.
(О, ..., 0). 31.5. Ц Нет; 2) только для нулевой функции; 3) только при а = О. 31.6. Для ненулевой функции всегда, для нулевой только при о = О. 31.7. Для ненулевой функции З„для нулевой (0). 31.8. Ц, 4) Да; 2), 3) нет. 31.9. Ц (1, 1, О); 4) (1, 2, -3). 31.10. Ц (4, 4, 4); 2) (2, 4, 6); 3) (9,6,3);4) (-2,0,2). 31.11. Ц ' (ощ аг, аз),где амог,аз— (а, х) (а! координаты а. 2) Нет. 31.12. Ц ( — аг, аг), где оы ог — координаты а; 2) нет. 31.13. Ц (агро — азА, азА — а~до, огА —. Аог) где 30.13. АтАААт.
30.14. У к а з а н и е: перенести на унитарные пространства результат задачи 29.37. 30.15. У к а з а н и е: использовать результат задачи 30.14, Ц. 30.16. У к а з а н и е: использовать результаты задач 24.139 и 30.9. 30.17. У к а з а н и е: использовать результат задачи 30.15. 30.18. У к а з а н и е; использовать результаты задач 30.16 и 30.17.
30.20. Обратное неверно. 30.21. У к а з а н и е: если ог — нормальное, то С содержит базис из собственных векторов и в силу 30.15 инвариантно относительно Зг*. 30.22. Ц А' = йа8 (2+ г, 2 — 1), о = Аоз, .2) А' = йа8 (О, — 5г, 51), Опсеегаы и цказаи и оы и, оз и Ды,Зг, с3з — координаты векторов а, Ь; 2) нет. 31.14. Ц, 2) Нет; 3) (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на с-м месте); 4) (1, ..., Ц. 31.15. Еи. 31.16. С. 31.19. Ц (З,с3,0, 16/15, 0); 2) (1, 1с3,1сс5, 177). 31.20.
(1, О,, 0) 31 21. Ц (1 зо, зо)' 2) (1 0 .. 0). 3123. б = ЗРд — Зсгг + сгз. 3125. сс (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на (1 + Ц-м месте) при й ( и; (О, ..., 0) при й ) и. 31.26. Ц (гсо, ..., гси), где гй = 0 при с < й и гс, = с(с -- Ц... ... (г — к)со' ~ при 1 ) к; 2) к! (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на (й+ Цм месте). 3129. 7(х) = 3~~~+ 5сг+4сз. 3131.
Ц (О, О, — 2); 1 2) (5, — 5, — 2); 3) (3, 3, 3); 4) (О, 7, 2). 31.32. бо = срг, бс = — (сгз — сгс), 2 1 1 сс"(р) бг = сгс — 2сгг+ ~рз, или 5 = — срАюг. 31.33. Ц бь(р) = —, 2 и й" (й = О, ..., и) или бь(р) = аы если р(с) = ао + аа1 + ... + а„з". 2) г'ь(р) = (й = О, ..., и). 31.34. С помощью мат- 1 ~Ф(Р) И с1сь с=со рицы (Я~) ~ ° 31 35 ° Ц с( = гсс уг = гг — гс уз = гз — Уг + 11' 1 2) СтРоки матРицы Асзз — — Асзо.
31 36 — (З вЂ” 2)(1 — 3), (З вЂ” Ц(3 — З), 2 1 1. 1ь (с Ц(с 2) 31 37 Рс(1) = П, г = 1,..., и+1. Координаты 2 ' ' ' ' ьФ;Зс — Зь' миогочлена Р(1) Равны Р(с,), ..., Р(З„.сс) 31.38. 1, З вЂ” 2, (З 2)г/2 1 Р(с) =Р(со)+Р (со)(с — зо)+ + —,РОО(1о)(с — Зо)и.
31.41. Базис состоит из функций гс (Х) = хо, где Х = ~~ хО ~ 6 Ясс»и. Функции гс соответствует матрица Сс = Ем. 31.42. Базис состает из 1 1 функций 7',(Х) = $г Сг Х, с = О, 1, 2, 3, где Со = — оо, Сс = — оы 1 1 Сг = --ссг, Сз = -оз. 31.43. У к а з а н и е: использовать зада- 2 ' ' 2 чу 31.30. 31.44. бйгаЛ' = и — 1 при Г ~ 0 и Л' = х.„при Г = О. 31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис.
31.46. Асы (сю т сг), сс, сг — произвольные числа. 31.47. с1пп й = и — сйшЛ. 31.48. (сг, сг, сз) Ат о, сы сг, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций саы сгг, бм определенных в задачах 31.23 и 31.32. 32.1. Ц ~~ 1 ~~, хс, .2) 0 О, хс, 3) 1 х, 2хс — 2хсхг — 5хг; 0 1 — 3 4) ~ 1 0 7, 2хсхг — бхгхз+ 14хгхз+хг; 5) единичнаЯ матРица, ,'-37 1 и и и и — 1 2,'хг; 6) Аоос, 2,'хсхи; Б 7) Аозз при а = 6= 1, 2,'хг+2 2,' х,хс» с. с=1 Ответы и указания 452 0 — 9 9 9 9( х1У2 хгул + хгуг)' 32.2. Ц ~ — 3 (~, —.Зхлул; 2) ~1 2 2 3) ~ 2 5 6, х1У1+ 2х1уг+ 2хгУ1+ 2хлУз + 2хзУ1+ 5х2Уг + бхгУЗ + ~2 6 7 2 — 3 0 — 3 — 3 О, 2хзу1 — Зх1уг — Зхгул — Зхгуг,' 0 0 0 + бхзуг + 7хзуз' 4) и — 1 (сгуз„, -~тз 1уз).
32.3. Ц 5х, — 4х,хг + 8хг, , 1 2) — 4хг + 10х х — 4хг; 3) 4хг + 4хлхг + 8х1хз — Зхг + 4хз', 4) 4х хг -~ 2хлхз+ Зхг+ 4х2тз', 5) х~~+хг+хз+х4+ 2(хлхг+хлхз+ 4 х х — х х — хгх,1 — хзх4); 6) 2(х х1х2 г х х2хз х2х4+ хз+ 2 4) 7) 2(х — х1хз + хг х2х4+ хз — хзх4 + х4 х4хз + хз — х 'е + 2 2 + 22). 8) 2 ~ х;х1„1. 32.4. Ц Ь(х, У) = (к(х+ У) к(х) "(У) 22 л=1 Ь(х, у) + Ь(у, х) Ь(х~ у) Ь(у~ х) 2) Ь+(х, у) 2 ( Ь (х, у) 2 32.5. Ц Поменяются местами 1-я и у-я строки, а также 1-й и утй столбцы; 2) 1-я строка и у-й столбец умножатся на Л (при этом элемент диагонали, стоящий на их пересечении, умножится на Л ); 3) к 1-й строке прибавится утя, умноженная на Л, а также к 1-му столбцу прибавится у-й, умноженный на Л (при этом элеллент диагонали, стоящий на их пересечении, преобразуется по формуле В'„= Ьи + 2ЛЬО + ЛЗЬ ); 4) матрица отразится симметрично относительно побочной диагонали.
32.6. Ортогональная матрица. 32.7. Ц 13х1 — 46хлхг + 41хг: 2) х1 -~- 2хг; 3) х,',; 4) 8х', — 18х',хг — 8х',хз + Зхг — бх',х', — 4хз; 5) 7х', — 11х!г — 2х~з + Зхлхг — бхлх~з + 11хгх!з, 6) 20хл + 8хг + Збх~з, 7) (и — Цх',г + (п — 2) х' г +... + х'„г + (2п — 3)х' х,' + (2п — 5)х',х' + + (2п — 5)хгхз + ... + хлх'„+ ... + х'„, лх„'. 32.8. Ц х1 + хг, 13) х1 +хг +хз +х4,4,4,0,4;14) х1 +хг +хз +х4 — хз — хе ', 3, О, 3, — 3. 32.9. Пусть п — размерность линейного пространства. Положительно определенными являются формы: Ц при и = 2, 9) при п = 3, 13) при п = 4. Отрицательно определенными являются формы: 5) при и = 2, 16) при и = 3.
Неотрицательными являются формы: Ц при п > 2, 4) п > 2, 10), 1Ц при п > 3, 9) при п ) 3; 13) при и > 4. Неположительными являются формы: 5) при п ) 2, 6) при Ответы и указан и п > 2, 16) при п > 3. 32.10. 1) хг,у~1 + х'у'; 2) х',у',; 3) хгу, '+ х!„Уг, 4) хгу1 — хгуг', 5) хгу1 — хгуг — хзуз', 6) хгу1 + хгуг + хзуз, '7) не приводится (форма несимметрична). 32.12. 1) х', + хг, при Л > 1/3, х' при Л = 1/3, х' — т' при Л < 1/3; 2) х', + х~ при (Л( < 8, х' при )Л~ = 8, х', — х~г при /Л) > 8; 3) х', — тг +х~з при Л > — 6, х', — х!г рг рг /2 рг рг рг ~2 пРи Л = — 6, х1 — хг — хз пРи Л < — 6; 4) х1 + хг — хз + х4 при Л ) 7/4, х1 + хг — хз при Л = 7/4, х1 + х~г -- х~з — х~4 при Л<7/4;5) х1 +хг — хз пРиЛ=З,х1 +хг — хз — х4 пРи Л ~ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
