Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 88
Текст из файла (страница 88)
24.128. К вещественной жордановой форме приводится только матрица 3). 1) йа8 (е, 8), Ц 1 1 — е Ц, Ц 1 1 —. 8 Ц, е = е г"'Уг; 2) йа8((4+ Зг)/5, (4 — Зх)/5), )1 гЦ, Ц1 — гЦ; 3),Уг(3), Ц1 2(, ЦΠ— 1! Отеетьг и цказап и 4) йай (1, 1, — 1), ((О 1 1)), ~(2 2 3+г((, ( 2 2 3 — г) 5) йаб (2, — 1+1, — 1 — г), ~)1 0 — 1)~, ~(2 2 — 5 — г( ))2 2 — 5+г((; 6) йгаб (2, — 4, 1+г, 1 — г), )! — 2 — 1 1 1! )! 1 — 1 1 — 1 /), ,'! 3 г — 1 — г (/, )! 3 г — 1 г )); 7) йае (,Ут(г), ,Ут( — г)), )~1 — 1 — 1 — г/), ))О 1 — г Зг — 3((, /)1 — 1 — 1 г! /! 0 1 г — 3 — Зг' ! .
24.129. 1) йа3 (2г, 0), // 1 г /!, !/ 1 — г / 2) йая (е+г, е — г), !/1 г'!!, !~г 1!!, 3) йая (1+в, 1 — е), /! 1 — 1 !, // 1 1 //, е = сов ( — 2яг,гЗ) + г впг ( — 2ягггЗ); 4),Уз(г), ~~ 1 г ~~, !/ О 1 !~ . 24.130. 1) При т ( и матрица содер- жит единичную подматрицу порядка п . т в правом верхнем углу, остальные ее элементы равны нулю, а при т ) и л с'л — ' сел и 0 1~а СГ Л1а — 1 Сг Лм — 1 л'" матрица нулевая. 2) 0 0 0 0 У~")(Л)гпг У(Л) У'(Л) Уа(Л)г2,' 0 У(Л) У'(Л) ... У~" гг(Л)Дп — 1)! 24.131. 1),У„(Л" ) 0 0 0 0 0 0 Л ф О. Прн Л = 0 д У'(Л) У(л) юякайе при ве клетки г р д , сли п = 2й,н порядков 1г и 1+1, если п =21г+1. Указание: егяи ег, ..., е„жорданова цепочка у(е„тг) = ег (г = 1, ...,п — 1), то относительно у~ она распадается на две цепочки: е„, е„ и ...
и е„ ы е„ в, ... из векторов, номера которых имею г одну четность. 2) У„(Л ) прн Л ~ О. При Л = 0 относительно гГгт образуются т клеток, соответствующих цепочкам векторов, номера которых имеют одинаковые остатки при делении на т. 3),У„(Л ). 24.132. 1) Приводится к диагональному виду. 2) Для каждого характеристического числа имеется по одной жордановой клетке. 24.134. 1) .У„тг(0); 2) .У„(1); 3) сйаб(в, ..., е" г), где в = сов(я/и) + гвгп(хгги); 4) йа3 (О, ..., п); 5) 2г йай(саво, ...
..., соево), где. о = .ггг(п+ 1); 6) У„(0); 7) Жая (п — 1, п — 3,..., 1 — и). 24.135. 1) Лай(Ув(1),,Ув(1)): 2) Лай(,7в(1), Ц; 3) йгай(,Ут(1), 1, 1). Указание; Азвв = (Авве — Е) = О, но ВЗ Аввв = 2, а Ек(А4вв Е) = 1. (Авве — Е)~ Ф О, (Авве — Е)в = О.
24.136. Характеристический многочлен (Л вЂ” 3) (Л + 2); для Атвг минимальный многочлен (Л вЂ” 3)(Л + 2), жорданова форма йаб (3, 3, — 2); для — Авгв минимальный многочлен (Л вЂ” 3) (Л + 2), жорданова форма йаб (,Ув(3), — 2). 24.137. йаб (,Ув( — 1), 2, 2). Ответы и указагг л 438 1 (1!) ' (2!) ' ...... ((п — 1)!) 0 1 (1!) г (2!) г ... ((и — 2)!) 0 0 1 (1!) ' ... ((и — 3)!) !2 — 1 о 24.138. 1) (1!)-' 1 0 0 0 0 24.141. У 0 0 0 0 3) Агг. к а з а н и е: использовать утверждение 2) задачи 24.139. 24.142. Если Лв — наименьшее по модулю ненулевое собственное значение гр, то 0 ( ев ( !Лв~. Если все собственные значения равны нулю, то годится любое ев ) О. 24.143. У к аз а н и е: если одно из преобразований невырождено, воспользоваться утверждением задачи 23.92.
Если оба вырождены, то использовать утверждение задачи 24.142. В этом случае преобразования р + ег и ф перес гановочны, и имеют одинаковые характеристические многочлены при любови е Е (О, ев). Переходя к пределу при е — г +О, пшгучаем требуемое. 24.144.
У к а з а н и е: применить утверждение задачи 24.141. 24.145. У к а з а н и е: доказать, что р и ф имеюг общий собственный базис. 24.146. У к а з а н в е; применить утверждения задач 24.144 и 24.145. 24.147. Пусть гр(ег) = о. Тогда ег собственный вектор для гг с некоторым собственным значением Л. Векторы ез, ..., е„, такие, что ~р(еь~.г) = еы (Й = 1,..., и — 1), линейно независимы, причем гр(еь) = (Л вЂ” Й+ 1)еы (1 = 1, ..., п). 24.148. Пусть Лв максимальное по модулю собственное значение р гфс Тогда е = !Лв~ 25.1.
1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет. 25.2. Ц а) Да; б) нет; 2) нет; 3) нет; 4)да; 5) да. 25.4. 2) Стандартный базис ортонормирован. 25.5. 1) Нет; 2) нет; 3)нет. 25.6. Р должна быть положительяо определенной (задача 25.30). У к а з а н и е; составить скалярные произведения матриц стандартного базиса.
2ж.а. р„~ = эВГ + ц т. ы.в. г результат задачи 25.13. 25.15. 1) сов рг = хгг211,гб; сов рз = х/35/10; сов~рз — — у'35г'(2хг21); 2) ° '2,г3;;~2/7; 4г;г105. 25.20. 1) 16; 2) 0: 3) — 12; 4) 7; 5) 3. 25.21. сов о = Ъ~ ~и. 25.22. 1) 2, ьг94, 87,г94; 2) ,г22, , 3, О; 3) ,22, 22, -б,гп; 4) , 3, 58, 7!,г'174; 5) 2, хгП1, З,г2хгГ1. 25.23. У к а з а н и е: вычислите е, + е~!~. 25.24. Каждый базис с указанной матрицей Грама получается из одного такого базиса некоторым ортогональным преобразованием плоскости. Обратите внимание, что для того, чтобы сделать рисунок, необходимо выбрать единицу маспггаба.
25.25. 1) 0; ггр 1 — д" 2) 10; 3) 8; 4) 0; 5) пр + р —, где Р = . 25.26. 1) хгг4; г!д ' 1-6 2) хгг3; 3) хггб; 4) х,г3; 5) хгг4; 6) х/2. 25.27. 1) тг2, хг'18! 2) хГ2, ьг179; 3) хГ8, ЛО; 4) 1, тТ8: 5) !хг!~ = (Зп — п))2; Ответы и указан я 439 /1 п~ г,1 71 гв~ ~хг~ = ~х ) + — — ~ ). 25.28. Ц Ы~(1;2) о=2хй ~,1 — д) 2Ф ~,1 — дг)' (й а К); 3) ни при каком а. 25.29. У к а з а н и е: используйте связь матриц Грама двух базисов для случая, когда один из них — ортонормированный. 25.31.
У к а з а н и е; использовап результат задачи 25.29. 25.33. У к а з а н и е: использовать неравенство Коши — Буняковского. 25.35. Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да. У к а з а н и е: утвердительные ответы можно обосновать, написав соответствующие матрицы. ~~~3500 Ц!) 5 9 0 0 ~~0035 ~~0059 25.38. Е г. 25.39 2 0 2/3 ~ 2) 0 0 3 — 1 ' 25'37. 0 273 0 0 0 -1 2 2/3 0 2/5 Г ~.Указание:помимобазисае вве ит п д е какой-нибудь ортонормированный базис и используйте матрицы перехода от него к базисам е и е*. (См. также задачу 25.3Ц. 25.41.
2) Нет. У к а з а н и е: выразите С через матрицы, состоящие из координатных столбцов векторов соответствующих систем в некотором ортонормироваином базисе. 25.43. хы ..., хь, 25.44. У к а з а н и е: используйте результат задачи 25.43. 25.45. 2), 4), 5), 6), 7), 10) 1Ц, 12), 13), 14) -- да, остальные — нет. 24.46.
Ц Да; 2) да; 3) в общем случае, нет: 4) да; 5) да; поворот вокруг побочной диагонали можно осуществить так: переписать все строки и все столбцы в обратном порядке, а затем транспонировать (а, — г в„утг „,эг), 6) Только если число Равно 1 или — 1. 7) Нет. 25.47. Ц Йет; 2) да; 3) да; 4) только при ~о~ = 1; 5) да. 25.48. Все пары, которые получаются из Е, — Авг умножением обеих матриц на одну и ту же ортогональную матрицу. 25.49. Ортогональная матрица должна отличаться от антисимметричной матрицы на слагаемое вида — Е.
Существуют при и = 2 и 4, а при п = 3 — нет. 2 25.50. Ц Нет; 2) да. 25.51. Да. Рассмотрим ортонормированный базис е и вектор, имеющий в этом базисе компоненты, равные элементам строки. Дополним этот вектор до ортонормированного базиса е'. Если Я вЂ” матрица перехода от е к е', то Ят — искомая 1~0 матрица. 25.52. Произведение матрицы 0-~ —, где Я вЂ” произвольная ортогональная матрица третьего порядка, на одну из твких матриц, например, Аггз. 25.53.
Ц Нет. 25.54. Диагональные матрицы с элементами +1 или — 1 на диагонали. 25.55. Остальные элементы строк и столбцов, пересекающих подматрицу, равны нулю. 25.56. ~~чги. 25.57. У к а з а н и е: если А — - ортогональная 1 А~ — А матрица, то матрица — — ~~ — А — также ортогональная. Проъ72 Г верьте это. 25.58. 2) Необходимо и достаточно, чтобы линейные оболочки обеих систем совпадали. У к а з а н и е: воспользуй- Ошееты и цкозан л 440 3 — 15 91" 3 — 6 — 3 2 — 1 3 2 — 3~~~ 291 — 4з' //Π— 2 1/!;2)а) ~ .1 ~;б)//3 1 2!);3)а) б) //8 1 0 — 9!/, !/ — 7 0 1 12/!; 4) а) б) // — 3 1 — 3 0 !/, /! 1 цы векторов базиса в 0 2 1 (~ .
26.14. Координатные столбт Е-~ составляют матрицу Ц (( 3 2 1 ! 1 3 — 12 ~~1 — 5 — 611 2 — 1 3 5 ' ~!5 1 — 4 3 2 1 — 1 — 1 1 ~ О 1 1 4 т 1 — 1 1 1 — 2,,; 7) 1 — 5 0 0 3 ;т 3) 'т 1 — 5 1 — 1 1 1 2) 123 1 321 1 231 — 1 6) 5) ;т ,'2 — 3 5 7~ 2 — 3 — 11 — 15 26.15. Система уравнений имеет матрицу: 3 — 2100 ;3) 4 — 3010 О 2 31' 3 4001 1 — 6 — 7 0 0 — 2 — 3 1 .4) Ат, Ц 1 4 — 5)~ 0 1 — 2)!' а) !) — 321);б) т 5) а) А~ье' б) Ат 26 16 Ц б) ~~0 — 1 020 б )211 — 1 — 202 ' ))010 )а) О,б) ~~ 2 ~1 — 1 0 Ца)!о -83 2 ..;3) )~ 2) а) 4) а) б) ))3 3 8)); 2) а) ((5 2 О/); б) тесь результатом задачи 25.55.
26.3. Ц Е; 5) 1о). 26.6. Нет. 26.7. Ц~ — — — — .2)т /) — 1010)~ .3)т — 1 2 1 2 ', 1 т 2 3 3 3 тГ2 ' 3 1 т 4) т= ~~ — 15 7 3 ~~ . 26.8. Ц Координатные столбцы векторов базиса в С~. — базисные столбцы матрицы Ат. 2) г тц = о, где Р— фундаментальная матрица системы Аб = о. 26.9. Ц Координатные столбцы векторов базиса в Š— фундаментальная система решений системы Атц = о.
2) Атц = о. 26.11. Ц Координаты векторов базиса в Š— базисные столбцы матрицы Г' ~Ат, иначе — фундаментальная система решений системы из и. 2. 2) гтГО = о, где Š— фундаментальная матрица системы А5 = о. 26.12. Ц Координатные столбцы векторов базиса в Е составляют матрицу Г" ~г, где г — фундаментальная матрица системы Атб = о, иначе — фундаментальная система решений системыизп.2.2) А ГО=о. 26.13. Ца) ~~3 1 2~;б) ~1 — 3 0~ Огоееты и цказан и 110 )'01 1 — 1 ~ 0101 б); 4) а) 1 ~; б) ~ . 26.18. 1) Пространство скалярных матриц. 2) Пространство нижних треугольных матриц с нулями на диагонали. 26.19.
11одпространство многочленов нечетной степени. 26.22. 1) о, т; 2) 26 23»~ А(АтА) — ъАт» «и (Е А(АтА — ъ 1т» 26.24. »' = (Š— Ат(ААт) 'А)», »" = Ат(ААт) ~А» 26 25» А(АтГА) — гАтГ«»«(Е А(АтГА) — ~АтГ)» 26.26. «'=(Š— Г 'Ат(АГ 'Ат)' 'А)», »"=Г 'А (АГ 'А ) 'А». 26.27. 1)»'=))2 1 1((,»л=)~1 — 1 — 1((;2)»'=(( — 3 2 — 2! = ))4 1 -5 ); 3)» = ()4 2 2 4!)', »" = )(1 1 5 -4( 4)»'=( 1 — 2 3 — 1~(, »л=~)1 1 Π— 1~~;5)»'= ~5 О 3 4( »" = ( 1 О 1 -2 ~~; 6)»' = ,'! 3 3 — 2 1 ~(, »в = ~~ -1 1 1 2 ( 7)»'=))5 3 — 3 — 5((, »"=()1 1 1 1((;8)»'=), :— 6 3 2 — 1) )( — 1 — 2 1 2(); 9)»' = — — аы»л = » — »'; 10) 79 1 1 1 6 ! = — — а~+ — аз, » = » — »; 11)» = — — аы» 10 11 5 26.28. 1)»' = )! — 1 0 1 (), »" = ,'! 2 2 2 (); 2)»' = (( 4 4 4 () »~~= )Π— 2 2((: 3)» =)(2 1 0 — 1 — 2((, » =((3 3 3 3 3( 4)»'= )3 1 — 1 2)),»л=((4 — б 10 2));5)»'=)( — 3 3 1 1( »в=)(1 1 1 — 1(;б)»'=)(2 — 6 4 — 2)(, »в=)(6 1 — 1 1( 26.29.
1) )) — 3 — 2 — 1 ((; 2) () 4 6 2 )); 3) !! — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 ( 4) ~~ — 17 — ПО~~; 5) ~~ — 4202~~; 6) ~~ — 4 — 75 — 3( 26.30. 1) 15г" + 1+ 1; 2) — 151' — 81+ 4. 26.31. 1) 8ДЗз . 5); 21+ 1 2) 8/(5~ 7). 26.34. 7~ (1) = ') а,РЯ, где а, = ) 7 ЯР,Я Н». 26.39. У к а з а н и с: выразим ~е', ~е с помощью ортонормированного базиса ам...,аь в подпространстве ь' и получим ~ ~е';~ =~ ~ (а,е,) . т=1 ~=1~=! 26.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
