Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 83
Текст из файла (страница 83)
20.5. Размерность Сд С С С 2) ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 а4 Ь4 с4 1 аз Ьз сз 1 Ответы и цказаддия нространсгва равна тп. Базис образуют занумерованные в каком-нибудь порядке магричньде единицы (см, введение к 3 15). Стандартный базис указан во введении к гл. 8. 20.6. Ц Да; размерность равна п(п -. Ц. 2) Да; размерность равна п. 3) Да; размерность равна п(п+ Ц,д2. 4) Да; размерность равна п(п+ Ц/2; 5) Да; размерность равна п(п — Ц,д2. 6) Нет. 20.7. Ц Да; 2) да; 3) да, :4) да; 5) нет; 6) нет; 7) да; 8) нет; 9) нет; 1О) нет; 1Ц нет.
20.8. Ц Размерность равна и + 1; базис: 1, 1,..., 1". 2) Размерность равна (п,д2) + 1;. базис: 1, дг, ..., дг" (1 = (п,д2)). 3) Размерность равна ((и+ Ц,д2); базис; 1, дз, ..., 1г" д (1 = ((и+ Ц,д2)). 4) Размерность равна 2п+ 1; базис: 1, созг, янг, ..., сов пг, зш пй 5) Размерность равна п, + 1; базис: 1, сове, ..., сов пй 6) Размерность равна и; базис: янд, ян2д, ..., вш пб 7) Размерность равна 2п+ 1; базис; е ', е д совг, е д явг, ..., е"д сов п1, е'"д явпб 20.10. Ц ( — 1Ц; 2) (1, — 3); 3) ( — 3, 1д2, — 5) О 1/2 -14дд3 4) (5, — 11, 14, — 2) .
20.11. 7дд2 1 — 3 . 20.12. Ц (О, 1бд3 1 — 1 5); 2) ( — 4, 11, 5); 3) — (7, 9, 4, О) . 20.13. Ц сгг = 10сзд — 7сз' 5 2) сего = сзд — 2свз', 3) сгод — — сшв — сдав — сдав', 4) сгоь = -сдав+ сшт, сгве = сыв + сшг. 20.14. Ц Размерность равна 1; базис: сд. 2) Размерность равна 2; базис: сзд, сгз. 3) Размерность равна 1: базис; сзд. 4) Размерность равна 2; базис: сдгд, сдг ь 5) Размерность равна 3; базис; сше, сшз, сдзя 6) Размерность равна 2; базис; сдгв с,гз. 7) Размерность равна 4; базис: сдав, сдав, сдвд едва.
8) Размерность равна О. 9) Размерность равна 2; базис: севе, сдзт. 20.15. Размерность равна 2; базис: Азя, Азвв. 20.16. Размерность равна 3; базис; (1+1)з, дз, 1. 20.17. Ц ( — 2); 2) (1/4, — 1/4) 3) (1 2~ Ц . 4) (1 1~ 2 Ц . 5) (1 2 1~ О~ Цт 20.18. ( — 1, 2, — 1, Ц . 20.19. (1, 1, — 1, 1, 1, Цт, кт 20.20.
р„(о), —,р'„(а), —,р'„'(о), ..., —,р,"в (и)) . 20.21. (4.,2, — 3)д. 20.22. Ц Размерность равна 1; базис: (3, Цт. 2) Размерность равна 1; базис: (О, 1, Цт. 3) Размерность равна 2; базис: (2, О, — 3)т, (1, 3, О)т; 4) Размерность равна 1; базис: (23, — 18, 3) . 5) Размерность т равна О. 6) Размерность равна О. 7) Размерность равна 3; базис: (1, 2, О~ О 0)т ( 13 О 10 2 0)т (1 О 2 0 2)т 20.23. Ц хд — 2хг+ ха=О; 2) хд+хг=О;3) О=О;4) хд — ха=О, хд — 2хг+ хд = О; 5) хд — хг = О, 2хд — хз = О, 2хд — хд = 0; 6) Зхд — хг — 2хз=О; 7) О=О; 8) хд =хг=хз=х4=0.
20.24. Ц )' ,,3 ); чд = 3(д, 2) 10 — 20 ' чд бьд + 13Сг' — 6 13 Оп»веты и цказан я 418 ~ — 5 Π— 4 ~ — 4 — 1 4 13 3 — 1 6 = 5б4 4бз бг ~г = 1Об' — 205!; 3) -3/2 О 2 ~ 9 — 1 Π— 5 О 0 — 7/2 2 О,,' = 4с,' — 5Я, 3/2 — 8 (з 4) ~~ 4 11/2 + Оьг 6 4з — 4 — 3 3 7 5 — 3 19 13 -3 29 19 -3 2 1 О -287 -192 30 484 (г + 4Сз бз = 136 + Збг 6 = -б, — -бг+2(„ 3, 3 бг = — 8сз -3 -3 ~ 5 6 ', 12 13 19 20 ~' 1 1 -186 -199 ~ 1 — 1 — 1 4 Π— 25 П, 7 ~4 — — б,' — — бг + 2бз 20.25. Π— 18 1 — 10 О -21 0 О 6 0 4 1 — 50 -3 ; бз = — 18сг + ьз 1Оь», ьг = — 2ьг + ьз, 20.27. 3/4 1/4 1/2 ~~ 20.28.
1/4 3/4 1/2 '; О О 7 бз — — 6Сг + 4С», С» = (', — 5(г — Зб». 3, 1, 1, 1, 3, 1 6 = 6+ 6+ бз: 6 = 6+ ~г+ бз 6 = — Я. 20.29. 1) По- 4 4 2 ' 4 4 2 меняются местами 1-я и г-я строки матрицы перехода; 2) поменяются местами 1-й и г-й сголбцы матрицы перехода; 3) матрица перехода, рассматриваемая как квадратная таблица, отразится симметрично относительно своего центра. 20.30. 1) Я~Яг, 2) Я, '.
20.31. Ц е', коллинеарны е„, г = 1, 2, 3; 2) е', и ез коллинеарны, ем ег, ег компланарны: 3) ез и ез коллинеарны, ег, ез, ег компланарны. 20.32. 1) Я = 8 " = Агг, 2) Я = А»з (и = — 2), Я ' = А»з 10 — 1/2 0 О 1 Π— 3/2, О 0 3/2 О О О О 5/2 (и = 2); 3) Я = А4ям Я = А4»з. 20.33. 101/3 О П ~О! О 3/5~~ ! О О 23 О ~.
20.34. 1) 2сюзи()0 — 3 0 5));2)сзззвобоих .,т — 4сг Зсз + 3~4 — З~з — Зььо ьг = — ь', + 7ьг + бьз 3(4 + 5бз -~- 6Ц, .бз = — Я + 19сг + 1Зсз 3~4 + 12сз» 1Зьо~ 6» =4б', +29~г'+ в~а' — зб»+196+206 6 =2бг+6+6+Я 6 = 9 40 9)~ = — 25б' — 287б' — 192бз+308»~ 186~в — 199(е. 20.26. — 3 — 11 — 2 ); 8 37 8) 6 = 9~', + 40~' т 9~з', б = — 36 — 116 — 26, бз = 86 + 37бг + Зб» Опгоеты и цказания 22.2 базисах; 3) 2сггг и ~~ — 1 0 9 0 (~; 4) сгвь и (~ 1 — 4 — 3 10 ~ 215. 1) х=аг — 4Ьг, 2) х=аг — 2аг ~7з; 3) х=у+и, у=-аг — Заг=( — 7, — 9, — 10) ЕР,и=9ЬгЕД;4)х= — 2Ь|еД; 5)х=у+я,у= — 21аг+29аг=(8,8,8,37)ЕР, я = — 9Ь| — 5Ьг = ( — 9, О, — 14, — 32) Е Я.
21.6. 1) х; 1 / 1 11 2) о; 3) — аг = ( — —, — ); 4) 2аг + аг = ( — 1, 4, 2); 5) аг — аг = (2, 4 [, 4'4г) — 6, 6, 1) . 21.7. 1) Размерность суммы равна 2 (сумма совпадает т со всем пространством): базис: а,, аз. Размерность пересечения равна 1 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: Ь,. 2) Разъсерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а,, аг, аз. Размерность пересечения равна 2 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: Ьы Ьг. 3) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространствоъг); базис: аы Ьы Ьг. Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая).
4) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ам аг, Ьь Размерность т пересечения равна 1; базис: (1, О, 1) . 5) Размерность суммы равна 3 (сумъга совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьп Размерность пересечения равна 1; базис; (3, 1, 0), 6) Размерность т суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьп Размерность пересечения равна 1; базис: (40, 45, 43) т 7) Размерность суммы равна 3; базис; аы аг, Ьп Размерность т пересечения равна 1; базис: (2, — 6, 7, — 2) .
8) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьы Ьз. Размерность пересечения равна 0 (суъгма прямая). 9) Размерность суммы равна 3; базис: аы а, аз. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьы Ьг. Сумма совпадает с первым подпространством, пересечение — со вторым. 10) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем лространством); базис: аы аг, аз, Ья. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьы а,.
1Ц Размерность суммы равна 4 (суъгма совпадает со всем пространством); базис:а„ аг,аз, Ьг. Размерность пересечения равна 2; т базис: Ьг + Ъг, и Ь, — Ь. с координатными столбцами ~~ 2 2 0 3 ~~ ,т и ~~ 3 5 — 1 4 ~~ . 21.8. Размерность суъгмы равна 5; базис: Агвг, Агеы .4гог, Аго,г, Агап Размерность пересечения равна 2; базис: Агвг, Агъв. 21.9. Размерность сумлгы равна 3; базис: 1+ 21+ гг, 1 1 гг, 1 + 1+ 1г. Размерность пересечения равна 1; базис: 2+ 31 + тг + тг.
21.14. 2) Если ь", М, Л вЂ” одномерные пространства, натянутые на три компланарных, но не коллинеарных вектора, то Р ~ Я. 22.1. Ц (4 — 81); 2) ( — 2+31, 9+51); 3) — (4+г, — 18г, 1 — 101) .т 1 . . .т 1+ 5г — 6+1 , т 11+ 13 8 14 . 22.3. 1) ( — 1 — 81, — 3+ 61) 420 Огпеетм и цказан и 2) (2, — 101, 4 — 61) . 22.4. Ц свэ = ( — 1 + г)сзе', 2-'-91 — 3+ 41 2) сае = — сзе + сзе~ 3) с~аз = — 2сгз~ + с~ею 5 5 22.5. Ц Размерность равна 1; базис; сь.
2) Размерность равна 2: базис: см, сээ. 3) Размерность равна 1; базис: сее. 4) Размерность равна 1; базис: с~з4. 5) Размерность равна 2; базис: смю сэта. 6) Размерность равна 3; базис: сюе, сюю сгэе. 22.6. Ц (1+ 31); 2) (1+21, 2 — 1): 3) (1, 2); 4) (1+Ц -31); 5) (1, -г, 2) 6) (1-~-1, — 1, О, 2) . 22.7. Ц Размерность равна О. 2) Разт мерность равна 1; базис: (1+ 31, — 2) . 3) Размерность равна 1; базис: (1, 1, Ц .
4) Размерность равна 2; базис: (1 — 1, — 1, 0) т т (2 + 1, О, — Цт. 5) Размерность равна 2; базис: ( — 1, ~, 1, 0) (1 + 1, 1, О, — Цт. 22.8. Ц (3 — 31)хг — 2хз = 0; 2) 0 = 0; 3) х~ — хт = О, х~ — хз = О, (1 — 1)х~ — хз = 0; 4) (13 — 41)х~ + + 37хз — (11 + 451)хз = 0: 5) (1 — 71)х~ + ( — 11 + 71)хз + 10хз = О, ( — 19 + 131)х~ + (9 — Зг)хэ + 10хз = О. 22.9. Ц ~~ 4+ 1 ~~; 1 -1 — 61 -29 — 181 ~ 1+ 61, 29+ 181 6= б(+ бз',3) — 2 — 1 3+101 — 1+51;б,=(2 -г)б',— 1+ 21 1 — 81 1 — 41 — (1 + 21)~э + (1 — 1)ьз, ьэ = — (2 + 1)~( + (3 + 101)~~ + ( — 1 + 51)ьэ, ез = (1+ 21)~', + (1 — 81)~~ + (1 — 41)~з. 22.10.
Ц х = 1свб 2) о; 3 3, т 3) — (2--91)см = — (9+ 2г, 4 — 181) . 22.11. Ц Размерность суммы 5 5 равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аю Ьь Размерность пересечения равна 1; базис; (О, 4, 3 — 1) . 2) Размер.т ность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аю Ь|. Размерность пересечения равна 1; базис: (9+ 101, 2 — 161, — 10 — Зг) .
3) 1'азмерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем лространством); базис: аы аю н~, Ьл. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьм Ью 22.12. 2) Базис образуют векторы (1, 0), (1, 0), (О, Ц, (О, 1) . Вектор сзт имеет в этом базисе т . т т .т координатный столбец ( — 3, 2, О, — Ц . 22.13. Ц Комплексное т пространство (и + Ц-мерно; базис: 1, 1, ..., 1". Вещественное пространство (2п + 2)-мерно; базис 1, 1, 1, 11, ..., 1", 11". 2) В т комплексном пространстве: (1 — 21, 3 + г, — 3) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
