Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 79
Текст из файла (страница 79)
у + 2, у* = — х + 2у — 2, сжатие к прямой х' — у + 2 = 0 с коэффициентом 3. 12.69. Ц уд: х' = — у+ 3, у* = х — 1; д(: х* = — у+ 1, у* = х — 1; 1, 1 2) (д = д~: х* = — (Зт + 4у) + 4, у' = — (4х, — Зу) — 3; 3) (д: х' = 5 5 1 1 1 = -( — х+ ъУЗу) — 2ъ 3, у* = -(лУЗх + у) — 2, д(: х' = — ( — х — лУЗу), 2 2 2 у* = -( — ъ'Зх+ у) + 4; 4) ~д = д(: х* = 2 — х, у* = — у: 5) ~д; 2 х'=х+1,2, у"=у — 0,4, д~: х*=х — 1,2, у*=у+0,4; 6) 1'д: х' = — у — 0,2, у* = х — 0,6, д(: х* = — у+ 0,6, у* = х+ 0,2; 7) )'д: х* = х + (1 — АЗ),12, у* = у + (~3 — 3)/2, д~: х' = = х, (и 3 — 3)/2, у* = у + (1 — АЗ)/2.
12.70. 2) — ~хе — уе с18 — ), 2 [, 2)' 1 / И вЂ” ( ус+ хос18 — ); 3) 1д -- поворот вокруг точки Р (2, Ц на 2 (л 2)' угол х/2; д1 — поворот вокруг точки 1;) (1, 0) на угол т/2. 12.71. Ц х яву/2 — усову/2 = 0; 2) хе сов(р/2) + ус вш(р/2) = О, (2х — хе) в1п(~р/2) — (2у — уе) сов(р/2) = О. 12.72.
3) а (Л сов (~о,12), Л яп (~р/2)), где Л = хе сов (р/2) + уе яп (р/2). 12.73. Ц Скользящая 402 Огпветы и дказаниа симметрия относительно оси Оя, вектор переноса а(1, 0); 2) скользящая симметрия относительно оси д = 1,вектор переноса а(1, 0); 3) симметрия относительно оси д = 1. 12.74.
1) Все преобразования первого рода; 2) преобразование д первого рода, остальные — второго; 3) преобразование ( первого рода, остальные — второго; уд— скользщцая симметрия относительно прямой т~ 3 — у + 2 = О, вектор переноса ( — ~/3, — 3); ду — скользящая симметрия относительно прямой тхГЗ+ у — 2 = О, вектор переноса (- ч'3, 3); 4), 5) 1", д второго рода, уд и д1 — первого; б) все преобразования первого рода; уд— поворот на усоп я/2 вокруг точки Р (1/5, — 2/5); д1" — поворот на угол х/2 вокруг точки с,(1/5, 2/5); 7) все преобразования первого 1 1 рода. 12.75. т* = — (т — у) + 1, у' = — (т+ у) + 1 — ъ 2 поворот хГ2 ч'2 1 на угол х/4 вокруг точки М(1, 1).
12.76. т* = 1+ 2хУ2 — — (я+ у), у'2 1 1'1 11 д' = 1+ г'2+ — (у — я); вектор переноса а ( — — 1, — ), ось хГ2 'х у'2 ъ'2 ) симметрии х+ у (у'2 — 1) = ч 2+ 1. 12.77. 2) (д = д(, центральная симметрия относительно точки А (1, 0); 3) 1д — параллельный перенос на вектор а (б/5, — 2/5), д( параллельный перенос на вектор — а.
12.78. 2) уд — параллельный перенос на век- )'1-- УЗ ./3-3'1 тор,, д( — параллельный перенос на вектор 2 2 < 3 — 3 1+ 31 12.80. 1) Произведение симметрий отно- 2 ' 2 сительно двух осей, угол между которыми равен р/2, проходящих через точку ЛХ; 2) произведение симметрий относительно двух прямых, расстояние между которыми равно ~а~/2, перпендикулярных вектору а; 3) У к а з а н и е: ( = 6д, где д — осевая симмегрия, 6— параллельный перенос (см. задачу 12.72, 3)), 6 разлагаем согласно 12.80, 2).
Оси симметрии могут быть выбраны не единственным образом. См. также задачу 12.77, 1). 12.81. 1) (1, 0), (О, 1); 2) (1, 0), (О, 1); 3), 4) любая пара ненулевых взаимно ортогональных векторов; 5) (2, 1+ ъ'5), (2, 1 — чгб); б) (1, 0), (О, 1); 7) (1, 1)., ( — 1, 1): 8) (1, 2), (-2, 1); 9) (1, 3), (-3, Ц; 10) (1, ~/3), (-ч'3, 1). 12.82. 1) д — тождественное преобразование, 6г — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, 6з сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 2) д — симметрия относительно оси абцисс, 6| — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, 6в — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 3) д симметрия относительно оси ординат, 6~ и 6з — сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом 3; 4) д — поворот на угол х/4 вокруг Ответы и указал л начала координат, Ьл и Ьэ сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом л'2; 5) д -- поворот на угол — атосов (2/у'5) вокруг начала координат, Ьл -- сжатие к прямой (1 — л75) х + 2у = 0 с коэффициентом (~ 5+ 1) /2, Ьэ сжатие к прямой (1+ лГ5) х+ 2у = 0 с коэффициентом (л'5 — 1) /2; 6) д — поворот на угол — х/2 вокруг точки ЛХ ( — 2/13, 8/13), 6|в сжатие к прямой у = 8/13 с коэффициентом 3; Ьэ — сжатие к прямой х = — 2713 с коэффициентом 4; 7) д — поворот на угол — агссоз (3/5) вокруг начала координат, 6, — сжатие к прямой х 4 7у = О с коэффициентом 15, Ьэ — сжатие к прямой 7х — у = 0 с коэффициентом 5; 8) д = длдш где дэ — поворот на угол — атосов 13/лУГО) вокруг начала координат, дл — симметрия относитольно прямой у = х; Ьл — сжатие к прямой у = х с коэффициентом ЗАТО, Ьз — сжатие к прямой у = — х с коэффициентом 2г'ГО; 9) д поворот на угол — Зя/4 вокруг начала координат, 1лл — сжатие к прямой 2х + у = 0 с коэффициентом 5~~2, Ьз сжатие к прямой х — 2у+ 5 = 0 с коэффициентом 10лГ2; 10) д поворот вокруг точки М ( — 1/9, — 2/~'3) на угол — х/3, Ьл — сжатие к прямой у = — 2/АЗ с коэффициентом 6, Ьэ — сжатие к прямой х = —.1/9 с коэффициентом 2.
12.83. 6 гомотетия относительно начала координат с коэффициентом й; Ц 6 = 5, д поворот вокруг начала координат на угол агсвш (3/5); 2) 6 = 5, д — симметрия относительно прямой х = Зу;, 3) 6 = г, д— поворот вокруг начала координат на угол сл; 4) 6 = г, д — симметрия относительно прямой хэлп(зл/2) = усов(~р/2). 12.85. Всюду ив произвольное ненулевое число: Ц Лл —— 7, а (2, — Ц; Лэ = 5, о (О, Ц; 2) Лд = 1, о(1, — Ц:, Ла = 4, ел(1, 2); 3) Лл = 3, ел(2, Ц; Лэ = — 3, о (1, 2); все ненулевые векторы собственные, Л = 2; 6) Лл = 1, о ( — 1, Ц; Лз = О, о (1, Ц; 7) собственных векторов нет; 8) Л = 3, о(1, 2). 12.89.
Ц Произведение поворота на угол д вокруг начала координат и гомотетии с центром (О, 0) и коэффициентом и; 2) произведение поворота на угол лв, гомотетии с коэффициентом г, если а = г(сов ла + л вш х), и параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ь, или произведение параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ьа ~, гомотетии с коэффициентом г и поворота на угол у. 13.1.
Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) нет; 10) да; 1Ц да; 12) да. 13.2. Ц Нет; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да; 8) да; 9) да. 13 3. Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) да. 13.4. Ц Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да. 13.7. 6 элементов. 13.9. Обе группы содержатся в группе самосовмещений квадрата: циклическая группа вращений квадрата и нециклическая гру~ша, состоящая из симметрий относительно средних линий квадрата, поворота на 180' и тождественного преобразования. 13.10.
Ц х1; 2) хп; 3) сов(2хй(п) + 1ейп(2х6/и), где 6 ( п и 404 Ответы и указац и взаимно просто с и: 4) повороты на углы (2хЙ/и), где Й < и и взаимно просто с и. 13.11. Ц пХ, где п любое целое число; 2) тЯ, где ш целое число, кратное и; 3) Е7еи где щ делитель и; 4) Сви где т — делитель п. 13.13.
Ц У к а з а н и е: пусть а -- образующий элемент в С, Н вЂ” подгруппа в С и т -- наименьшее натуральное число такое, что Ь = а"" Е Н. Тогда Ь вЂ” образующий элемент в Н. 13.15. У к а з а н и е; найти элемент, обратный к и, среди положительных степеней а. 13.16. Ц В„состоит из 2п преобразований: и поворотов и и осевых симметрий. 2) У к а з а н и е: показать, что если а — поворот, а Ь вЂ” осевая симметрия, то Ь' аЬ вЂ” также поворот. -1 13.18. Ц У к а з а н и е: воспользоваться тем, что число элементов циклической подгруппы с образующим элементом а равно порядку этого элемента. 13.19. Пусть а — поворот треугольника на 2к/3 вокруг его центра, Ь симметрия относительно одной из высот.
Тогда С=(ца,а =а ~,Ь,аЬ,а 'Ь), Н=(г,Ь), Ь 'аЬ=а . Левые смежные классы по Н: Н, аН = (а,аЬ), а ~Н = (а ',а ~Ь). Правые сиежные классы по ЕХ: Н, ЕЕа = (а, Ьа = а' 'Ь), ЕЕа ' = (а ', аЬ). 13.20. У к а з а н и е: пусть а — - параллельный перенос, а Ь вЂ” ортогональное преобразование с единственной неподвижной точкой. Доказать, что Ь ~аЬ вЂ” параллельный перенос. 13.22.
Ц К; 2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1; 3) группа положительных вещественных чисел; 4) группа комплексных чисел, по модулю рав- пых 1; 5) группа Я„классов вычетов (гп -1 пЯ), ти 6 Я с операцией сложения: (гп + пЯ) + (Й + пх, ) = (т + Й + пЯ); 6) группа всех поворотов вокруг фиксированной точки.
13.23. Ц и.'. 13.24. Ц ц 2) 132,3)04) 1432 и 3214 . 1325. и!/2. 13.27. Ц Я, три подгруппы второго порядка с образующими эле- 1'1 2 3'1 (1 2 3'1 /1 2 3'1 """' "" (, 2 1 3,) (, 1 3 2 / (х 3 2 1/ п'дгРУпп' "'"'"" " /1231 рядка с образующим элементом ( 2 3 1 (, вся группа Нз, 2) помимо (г) и всей группы Ям подгруппа четных перестановок А~ (порядка 12) и нециклическая группа Г, состоящая из четырех элементов: 2143 ' 3412 ' 4321 14.3. Ц 10, четная; 2) 13, нечетная; 3) 3, нечетная; 4) 7, нечетная; 5) 36, четная; 6) 12, четная; 7), 8) и(п — Ц/2, четная при п = 4Й или 'и = 4Й+ 1 и нечеткая в остальных случаях; 9) п(а+ Ц/2, четпая при и = 4Й или и = 4Й + 3 и нечетная в остальных случаях.
14.4. Ц 0:, 2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 1:, 6) .-1487600. 14.5. ю 14.6. г. 14 7. Ц -1; 2) — 2; 3) — 27; 4) -27; 5) — 7; 6) 0; 7) — 1: 8) 4; 9) 0; 10) — 2(кз + уз); 1Ц (и — с)(Ь вЂ” с)(Ь вЂ” а); 12) О. 14.8. — Згт/3. 14.9. гэсоэм. 14.10. Ц 3, 3, 2: 2) 3, 3, -2; 3) О, О, 6. 14.11. Ц 24; 2) 120. 14.13. 1, 0 или — 1. 14.21. Ц 1; 2) 1; 3) 1; 4) 0; 5) --1; Ответы и указания 405 6) 1; 7) — 18; 8) 1; 9) 1; 10) — 5; 1Ц вЂ” 7; 12) — 1; 13) 0; 14) 0; 15) 1.
14.22. Ц вЂ” 2; 2) — 10; 3) 0; 4) 48: 5) О. 14.23. Ц пЪ; 2) Л1... Л,б 3) 1; 4) 3"; 5) 1; 6) ( — ЦпГ" '11 Лг... Лп, 7) ( — Цп"; 8) ( — Ц "тг: 9) 1 — и; 10) пь, 1Ц ( — Цп(1 — 2п); 12) ( — 2)п 1(5п — 2); 13) ( — Ц" 1 14) ( — 2)п з(1 — п) 15) ( — ЦпГп гйапп 1(п -1- Цгг2 16) п+ 1; 17) О, если п нечетно, ( — Цпгз((п — Ц01)з, если п четно; 18) ( — 3").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
