Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 80
Текст из файла (страница 80)
14.24. В этой задаче через л„обозиачаепгся определитель порядка и. Ц (1 — ( — Ц")гг2. У к а з а н и е: Ь„= 1 — Ь„ 1 1 1Л 2) ( — Цп(Лп — Л" гп(п + Цг2). 3) ид ) 2+ — + —, +... +— 2 3 ' п)' Указание; Ь„= гггЛ„1 + (и — Ц!. 4) (1 + ( — Ц"),12. У к аз а ни е: А„= 1 — Ьп. 1. 5) О, если п нечетно, и ( — Ц"/2, если четно. У к аз а н не: Ь„= — гамп з. 6) (1 + ( — Ц"),12 Указание: Ь„= Агп з. 7) П (Л, — Ль). Указание; пав>Ь>1 1 ...
1 1 Л, ...Лп Л . Так как р(Л1) = 0 для всех обозначим р(Л) = Лп — 1 Лп — 1 Лп — 1 и-1 1 = 1,...,и, находим р(Л) = С(Л вЂ” Лг)...(Л вЂ” Лп ,), где С = 1х„ 8) П (а, — аь)(Ь1 — Ьь). У к а з а н и е: выполнив деление, предп>1>Ь>1 ставить определитель как произведение двух определителей ВандерМОНда. 9) (2Х1ХЗ... Хп — (Хг — Ц(ХЗ вЂ” Ц... (Хп — Ц) П (Х, — ХЬ). п>Г. Ь>1 У к а з а н и е: дополнить матрицу сверху строкой из нулей, а затем слева столбцом из единиц. 10) 2 С~~гз ~и" з" (оз — Ц"; 1Ц гйп го при р у': Ьг1 и + 1 при д = 2йгг; ( — Цп(и + Ц при р = (2Ь + Цгг (Ь = = О, х1, 3.2,...) У к а з а н и е: решение аналогично решению 10) при 9 = соз р + 1 ейп р.
Если д ~ д.1, то 15„1 вычисляеьг, испшгьзуя фор- зЬ и1р мулу (епе)п = е'пт = соз иуг+гзшп1р. 12) при р ~ 0; и+ 1 при зй:р Ьк уг = О. 13) 2 Саь,г ~ — ) (а — 4Ь~)" = П ~ а — 2Ь сов 14.26. О. 14.27. Умножится на ( — Ц"г" 1111. 14.28. Не изменится. У к аз а н и е; использовать задачу 14.27. 14.29. У к аз а н и е: умножить первый столбец матрицы на 1000, второй — на 100, третий — на 10, и сумму полученных столбцов прибавить к последнеъгу столбцу. 14.30. У к а з а н и е: данное выражение есть разложение по 1-й строке определителя матрицы, полученной из А повторением Ь-й строки на 1-м месте.
Огаееты и цказая л 406 ' аы (Х) ... а~1„(й) агз (Х) ... агв (1) ~ а„1 (г) ... а„„(г) аы (г) ... агв (1) аж (Х) ... агч (1) 14.31. 2) а„1 (г) ... а„„(г) аы (г) ... а1„(Ц аг1 (1) ... аг„(1) У к аз а н и е: применить индукцию по а'„и (г) ... а'„,„(г) 3) 3 8 19 19, 4) 5Е; 5) 2Агг, 6) Аатг, 7) сзг. 15.3. Ц, -3 -8 21 -29 2), 4) справедливы, если матрицы имеют одинаковые размеры; 3), 5) верны всегда. 15.4. Ц Если га = и; 2) да. 15.5. Ц ~~ — 1 ~~; 8 — 12 О 2) 6 — 9 0; 3) 8 14, 4) /) 1 1 /); 5) )) О 3 2 ((; 6) с1гг., 7) Аыз, 2 3 0 8) ! 6 9 12 Ц; 9) сыз, 10) Е; 1Ц Аеее., 12) Аеег, 13) Агзе, 14) Е; 15) Аеиб 16) пАшь.
15.6. Ц Ширина А равна высоте В; 2) высота А равне ширине В; 3) ширина А равна высоте В, высота А порядку матрицы. 14.32. Если обозначить бе1 (А — ЛЕ) = ( — Л)" + + аг( — Л)в +... + а„1( — Л) + а„, то а, есть сумма всех диагональных миноров порядка в в матрице А; в частности., а1 есть след А, а„— определитель А. У к а з а н и е: если обозначить р (1) = йе1(А + 1Е), 4ь (1) то ав ь = —, ь . При вычислении производных от функ- И йь ~=-о ции р (1) использовать результат задачи 14.31. 14.33. Ц, 2), вообще говоря, неверны, 3), 4) верны. 14.34.
У к а з а н и е: согласно задаче 14.30 и формуле разложения определителя по строке: АС = йа8(беСА, ..., г1егА), откуда получаем бе1С при г1егА ф О. Матрица В получается из С умножением 1-й строки на ( — Ц' и ~-го столбца на ( — Ц1 (для всех г, у). 14.35. У к а з а н и е: использовать формулу г1ебА = деФА. 14.41. ( — 2)"аг. Указание: из (и + й)-го столбца матрицы Н~г вычесть удвоенный й-й столбец (й = 1, ..., и) и применить результат задачи 14.40. 14.42. О.
У к а з а н и е; строки матрицы ~~ Аз А ~~ являются линейными комбинациями строк ~~ А Аг ~~ (с коэффициентами из строк матрицы Аг). 14.43. Ц Указ а ни е: сгроки матрицы ~ ВС В ~~~ являются линейными комбинациями строк ~~ С Е ~~~. Поэтому АВ ш А — ВСО бес = Нес .
Далее применить результат задачи 14.40. 2) Не всегда. 14.44. с1егА (оегВ)". 15.1. Матрицы должны иметь одинаковые размеры. 15.2. Ц О; 2) — 11 — 16 Ошоети и цказан л 407 равна ширине В. 15.7. Ширина АВ равна ширине В, высота АВ равна высоте А. 15.8. В имеет размеры п х р, АВС имеет размеры т х д.
15.9. Тождества справедливы, если выполнимы 8 употребляемые в них операции. 15.10. 1) Не существует; 2) 16 ~' 111) 3) ~( 8 16 (: 4) )~ ~~— 1200 1300 /. 15.11. 1) 2в 1 '; 2) 0 0 0 ", оооГ 0001 0000 0000 0000 ; 4) О прн и ) 1; 5) Алз; 6) Аы, 7) Аот, 8) Аооз; 0 Л„ 1 9) Е; 10) О. 15.12. 1) — 4 3, 2) '; 3) 2 /; Л, О 3, 4) / 1 2 3 4 !~' 5) Ао' 6) Аыз:, 7) Аззо' 8) — Аозт.
15.13. Тож- дества 2) — 4) справедливы, если выполнимы употребляемые в них операции; 1) справедливо всегда. 15.14. Р получается из Е перестановкой зтй и Ь-й строк. 15.17. А, В квадратные матрицы одного порядка. 15.18. 1) 2Аз; 2) О. 15.20. Ц Азб 2) — Ат1о. 15.22. 1) Е; 2) О; 3) 0; 4) — Е; 5) Аззт. 15.23. 1) 0; 2) Аззз. 15.24. Тождества 1) — 3) справедливы, если ъзатрицы А и В перестановочны, 4) всегда.
15.26. Ь-я строка АВ равна произведению Ь-й строки А на матрицу В. 15.28. Ь-я строка матрицы АВ равна линейной комбинации строк матрицы В с коэффициентами из Ь-й строки А. 15.29. У к а з а н и с: зцдача 15.26. 15.30. 1) При перестановке двух столбцов матрицы В соответствующие столбцы АВ также переставляются; 2) если 6-й столбец матрицы В умножить на число Л, то Ь-й столбец АВ также умножится на Л: 3) если к ьчму столбпу В прибавить узй столбец, то с матрицей АВ произойдет такое же элементарное преобразование.
15.31. 2) У к а з а н и е: для столбцаиздвухэломентовпреобразоваа а+6 ~ а+Ь Ь 6 ння следую1цие: 6 6 ~ 6 ~ + 61 ) 15.32. а,ы если А = )! а,у„.)!. 15.33. Ц Матрица у которой все строки нулевые, кроме г-й., на месте которой располагается у-я строка А; 2) матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме у-го, на месте которого располагается 1-й столбец А. 15.34. У к а з а н и е: в качестве б, О взять всевозможные столбцы единичной матрицы.
15.36. 1) Умножить А справа на столбец )! 1 0 0 ... 0 )); 2) умножить А слева на строку ! 1 0 ... 0 )(. 15.37, 15.38. Матрица Л получается из Е таким же элементарным а Ь преобразованием. 15.40. Указ ание: если А = ® 0 то Ошееты и цказаи я 408 А = (а + 16) гА. 15.43. Утверждение Ц для прямоугольных матриц, вообще говоря, не верно. Пример: Азоз А!го = Е а их! -!-... ~- а!„х„= О, (а, Ь вЂ” произвольные числа). 15.44. а,гх! +... + а.„х„= 1, а гхг+ ..+а х =О, е , .где е, — утй столбец Е 0 Л„' 'о 3) л о~~ 1 9) — Агог' 10) Агго 9 1 Ц 2 9 — 5 — 5 3 15.45. 4) Аг4' 5) Атт; 6) Агз, 7) Агзз -1/2 0 ~ о 1~' 2) Ь 1/300 100 5) 0 1 0 ; 6) 0 1 0 ; 7) 0 01 — 201 ~ 1 — 1 1 — и 9) ~ 0 1, 10) О 1 ., 1Ц Агоо 15.48.
вообще говоря, неверно. 15.51. Приведен ,О(), 3) 3 4) 1 0 0 0 — 1 0 0 0 1 8) Утверждение 6), один из возмож- 10' 1 1 1 0 ОИ 0 1 2 !. ОО1~~ 1 — 1 2 0 О 1 ' О 100 100 010 . 110 011 001 1 0 0 — 2 1 1 0 1 ных отвегов. Ц вЂ” 20 10 01 01 31 10 3) 15.52. ЦЕ А ';В А гВ;2).Е А ',В ВА !. 15.53. ЦСовершаем со строками матрицы ~~ А Е (~!з (т.е. со строками А и Е) элементарные преобразования, переводящие А в Е. После преобразований на месте ъгатрицы А окажется Е, а на месте Е матрица А .
2) Со столбцами матрицы Е совершаем алев ! А 0 ментарные преобразования, переводящие А в Е. В результате ОО1 О~ 000 — 1 — 100 0~' 010 О, на месте Е окажется матрица А '. 15.54. Ц 2 — 3 1 0 1 — 2 0 2 0 6 6 3 — 3 0 0 0 0 2 1 т 6) Аззо; 7) — Аззо, 8) Аз!о; 9) Аоот., 10) Аогз; 1Ц Аоы; 12) Аош; 7 1 — 1 0...0 0 1 — 1...0 000...1 или, в матричной форме, АХ = 111 122 234 1 8) — Агоз 9 1 2 0)~~ 010~; 001 1000 001~; О 1 О,,' Оптаеты и цказая и 409 13) Аозт.
15.55. А ' = — (А + Е). 15.62. 1) Совершаем со строками матрицы (( А В ))ш элементарные преобразования, переводящие матрипу А в Е. После этих преобразований на месте матрицы А окажется Е, а на месте  — матрица А ~В. 2) Совер- 4 и шаем со столбцами матрицы элементарные преобразования, переводящие В в Е. В результате на месте А окажется матри- 1 1 ца АВ . 15.63. Ц Аоо', 2). 3) — -4гоз', 4) — Агоз', 5) Аозт', 6) Ащт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
