Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 78
Текст из файла (страница 78)
22) Азгз, О (1тб, 4тт3, -13ттб); а) «г + бт1г — З«г = 6; б) «г + буг — З«г = 0; в) «г + 6уг — 3«г = — 6; при й < — 14 однополостный гиперболоид; при й = — 14 конус; при й ) — 14 двуполостный гиперболоид; 23) Азгг, 0( — 1, — 1, 1); а) «~+0~ — «г = 1; б) «~+ О~ — «г = О; в) «г + Ог — «г = — 1; при й < 5 одноттолостный гиперболоид; при й = 5 конус; при й ) 5 двуполостный гиперболоид; 24) Агге, О (О, — 2, 2); ттб«г — ьтбт1г — «; при всех й гиперболический параболоид; 25) Азге, 0 (О, — 2, — 1); а) «г — т~~ = 1; б) «г — уг = 0; при й ф — 6 гиперболический цилиндр, при й = — 6 пара пересекающихся плоскостей (~/3 х ьт2)х+ (АЗ ~ тт2)у ~ зт2г+ 2Л ~ Зн2 = О.
12.2. п!. 12.3. 1) и", тй; 2) 2"; 3) т". 12.4. 1) Нет, 2) нет. 12.6. 1) Х вЂ” множество целых чисел, Зт — множество целых неотрицательных чисел, 7'(х) = хг; 2) Х = Зт множество целых чисел, 1(т) = 2х. 12.9. 2) Указание: пусть Х и Зт счетны, Х = тто Зт = у„, Я = г„, ~(х„) = у„(п, = 1,2,...). Положим:р(хг;, ~) = уь, ~о(хгь) = гы Тогда р: Х э 3т 1з Я есть искомое отображение. В общем случае пусть у„— последовательность различных точек из Зт такая, Оглеети и указан и что Х(х„) = у„.
Полаиваем р(хм, ~) = ути р(хзн) = г„и 4о(х) = Х(х), если х ~ х„. 12.11. У к а з а н и е: использовать задачу 12.9. 12.14. 1) Неподвижных точек нет при а = 1 н Ь ~ О. При а = 1, Ь = 0 все точки прямой неподвижны. Если а ф- 1, Ь ф- О, то неподвижная у — Ь точка единственна: х = Ь,4(1 — а). 2) Х ~(у) = . 12.15. Х(х) = а 4 — с (х — а) +с. 12.16.
(Хд)(х) = аст+ ад+5, (дХ)(х) = ахх+Ьс+гХ; х у Хд = дХ при И(о — 1) = Ь(с — 1). 12.17. 1) Эллипс — + —, = 1; аз Ьо 2) нет; 3) (2зп,2х(и+ 1)), п б Я. 12.18. 1) Левая ветвыиперболы ха — у =1; 2) да; 3) 1=1п(у+,/уз+1~ (уЕК, х~ — у =1). 12.19. 1) а) Да; б) нет; 2) точка О (О, 0) имеет один прообраз О (О, 0): точка ЛХ' (х', у') имеет два прообраза М (х, у), где 2 2 х= х — х*+ х* +у", у = х — вкпу — х*+ х' +у* (безу2 з42 рутся оба верхних или оба нижних знака).
12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < Ь, где 0 < Ь вЂ” а < 2х, и их произвольные подмноагсоб(у*/х*) при х' ) О, жества; 3) х = — 1п (х' + у* ), у = к+агсоб(у*/х*) при х' < О, 2 х/2 при х' = О. 12.23. 5(х) = (т; х). 12.24. 1) Г. 12.25. 1) г' = го + Ь(г — го); (г — го, а) 2) г* = — г + 2го; 3) г* = г + а; 4) г' = го + ' а; 5) г* = (г — го, а) (г — го, а) = 2го — г -4- 2 ' а; 6) г* = Лг + (1 — Л)го + (1 — Л) ,' а.
!аР а(о 12.26. Неподвижна точка пересечения медиан треугольника АВС. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда треугольник АВС правильный. 12.27. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом — 1/2; точки К, Ь, ЛХ переходят в середины соответ/а 4оЛ ствующих медиан, точка О неподвижна. 12.36.
аЬагссб 4Л вЂ” 18 — ~, (хЬ 2,~' если 0 < р < х; хаЬ/2, если р = х. 12.37. 1) х* = йх, у* = Ьу4 2) х' = то + Ь(х — хо) у' = уо + Ь(у — уо):, 3) х" = — х + 2хо у* = — у + +2уо,4) х*=х+а,у*=у+3. 12.38. 1) а) ( — 6, 1);б) ( — 3, 5); в) ( — 4, — 2); г) ( — 1, 2); д) (1, — 18); 2) а) 4х — Зу+ 27 = 0; б) Зх+ 4 2у 45 16= 0: в) х — 5у — 6 = 0; г) х — 5у + 28 = 0; д) 18х — 5у — 6 = О. 12.39. 1) а) (2, — 1); б) (О, 0); в) (1, 1): 2) а) Зх+ 4у — 2 = 0; б) 2х+ Зу — 1 = 0; в) х+ у = 0; г) 5х+ 7у — 4 = 0; д) 5х + 7у — 2 = О. 12.40. Ц х* = — 4х+ Зу+ 1, у* = Зх — бу+ 2; 2) х.* = — 4у, у* = 7х — 1; 1 3 . 3 1 „1 3, 1 3) х'= — — х — — у,у'= — х — — у;4) х*= — — х — —,у*= — — у. 22'22'22'2 Огпееты и цказан и 399 12.41.
Ц Задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, точки А*, В', С' не лежат на одной прямой); 2) х' = х, у* = 1 (линейное, но не аффинное преобразование); 3) задача имеет бесконечно много решений: х* = рх + (р + 4)у + 2 — 2р, у" = = их+ (д+ 2)у+ 1 — 24, где р и д параметры, принимающие всевозможные действительные значения; 4) задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, причем А — середина отрезка ВС, точки А*, В*, С* лежат на одной прямой, но В* — середина отрезка А*С*). 12.42. Ц (О, 0); 2) неподвижная прямая у = баб 3) нет неподвижных точек; 4) (- 3, 0); 5) неподвижная прямая Зх + Зу — 1 = 0; 6) все точки неподвижны. 12.43.
Ц х+ у = О, у = 0; 2) х + у = 0; х — у = 0; 3) Зх + у — 13 = 0; Зх — у + 7 = 0; 4) нет решений; 5) х + у — 3 = О, 2х — у+ С = 0; 6) х + у + 1 = 0; 2 1 4, 1 3 2 7) х — у+ С = О. 12.45. х* = — х+ — у -~- —, у' = — х+ — у+ —. 5 5 5' 5 5 5 12.46. 1) х* = х+ у — 2, у' = 2х — у+ 3; 2) х* = Зх — 4у — 5, у" = 16 44 33 , 1 41 32 = 4х+ Зу+1. 12.47. Ц х* = — — х+ — у — —, у' = — — х — — у+ —; 5 5 5' 5 5 5' 2) х* = (Аэх + В~у + С~)ДА~хе + Вэуо + С~), у" = (Азх + Взу + + Сз)ДАзхе + Взуе + Сз).
12.48. Ц 34х~ — 42ху+ 13у = 1; 2) 16х~ — 18ху+ 5уз = 1; 3) 15ха — 19ху -~- буз + 2 = 0; 4) 9хт— — 12ху -~- 4у~ + ЗОх — 18у = 0; 5) (Зх — у — Ц(29х — 18у + Ц = 0; 6) (2х — у — Ц(2х — у+ Ц = 2. 12.49. Ц 10хз — 22ху+ 29уз— — 8х + 14у — 2 = 0; 2) 35х~ — 38ху — 9ут — 22х + бу + 7 = 0; 3) 9хз — 12ху + 4уз + 8х — 40у = 0; 4) (2х + Зу — Ц(7у — 4х + Ц = 1; 1 5) (5х+ у — 3)(5х+ у+ Ц = О. 12.50. Ц х' = — — х — ъ'Зд, 2 дз 1 „1, 3 1 у* = — х — — у; 2) х* = — — х — ъ'Зу, д* = — — х+ — д.
12.51. х* = 4 2 ' 2 ' 4 2 = д5(х — у), у* = ~д 5 (4х 15 — у). 12 52. Ц х* = х+ 2, у* = х+ у+ 1; С Сз 2) х* = х+ С, у* = — х+ у+ —. 12.53. Ц х' = хссах — уэ1пх, 2 4 у* = х эш ~д+ у сов ~р; 2) х* = хе -~- (х — хе) соэ р — (у — уе) э1п ~р, д* = де + (х — хо) вш Р + (д — уо) соэ ~р; 3) х* = х, у* = 0; 4) х" = (9х+ Зу — Ц/10, у* = (Зх+ у+ 3)/10; 5) х* = — х, у' = д; 6) х' = (7х — 24у+ 6)/25, у* = ( — 24х — 7у+ 8)/25; 7) х* = х, у" = Лу: 8) х* = (2х — у+ 2)/3, д* = ( — х+ 2у+ 2)/3; 9) х* = (9х — 2у+ 10)/5, у* = ( — 2х + бу — 5)/5.
У к а з а н и е: использовать задачу 12.25. 12.54. Ц: Ц, 2), 5), 6), 7), 8), 9); 2): Ц, 2), 5), 6). 12.55. Ц Сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 3; 2) гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 2; 3) параллельный перенос на вектор а ( — 1, Ц; 4) симметрия относительно оси ординат; 5) симметрия относительно точки СЗ 6) поворот на угол я/2 вокруг точки СЗ 7) симметрия относительно прямой у = х; 8) поворот относительно точки 400 Огаеети и указан я О на угол т/4; 9) симметрия относительно прямой у = (~Г2 — 1) х; 10) гомотетия относительно точки Р(3, — 1) с коэффициентом 3; ( +,3 -,З~ 1Ц поворот на угол я/3 вокруг точки ЛХ 2 ' 2 12) симметрия относительно прямой х — Яу -ь 2 = 0; 13) симметрия относительно точки К ( — 1, 1); 14) сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 1/2; 15) сжатие к прямой х — у + 2 = 0 с коэффициентом 1/3; 16) поворот на угол 2я/3 вокруг начала координат; 17) ортогональное проектирование на прямую у = 1.
У к а з а н и я: 9) найти образы базисных векторов; 10) — 13) перенести начало /1 11 координат в неподвижную точку. 12.56. 1) ~ —, 1+ — ( и ~, и'2 ~/2( 1 1з (О, 1 + чГ2); 2) — — , 1 + †) и (- ч'2, 1); 3) у = х + 1 и чг2 зГ2) 1 1 у = 1 ~- —; 4) у = х + 1+ и 2 и у = 1 -~- —. 12.57. 1) 18 ~р = — 3/4; ч2 ч'2 2) — 5я/12, — к/12, 7т/12, 11х/12, .... 12.58. х + 2у — 6 = О, 2х — у + 1 = О, 2х — у + 7 = О. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. иЗх+у — 3 = О, у = 3/4, игЗх — у — 3 = О, г'Зх+ у — 6 = О, у = 9/4.
У к а з а н и е: использовать поворот вокруг лз точки Р. 12.60. 1) ~(4 — с1)(Из — сз)(азЬз — азЬ1) ~~; 2) 2(б1 бзбз( а1 Ьз с1 а1 Ь1 аз Ьз ~ аз Ьз где Ь= аз Ьз сз, Бз=,, дз=, „бз= аз Ьз сз 12.61. у = 13, 15х+ 7у+14 =О. 12.62. 1) ха+ уз — 20х — бу+84 =0; 2) ха+ уз — 10х = 0; 3) ха + уз + 12з:+ 32у — 108 = О. 12.63. 1) 1д: х* = -7х+ 5у — 2, у' = Зх+ 4у+ 1; д1; х' = 4х+ Зу+ 1, у* = 5х — 7у — 2; 2) 7д: х* = — 4х — бу + 4, у' = х + 4у + 1; д~: х* = 7х — Зд+ 6, у* = 13х — 7у+25.
12.64. 1) х* = Зх — 3, у* = Зу — 3 1 (гомотетмя с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2) х* = — х, 2 1 5 у* = -у — — (гомотетня с центром В (О, — 5) и коэффициентом 2 2 1/2). 12.65. 1) х = Зх — у — 10, у* = х — 3; 2) х* = 7х — 4у — 32, 4 3 2, 3 4 11 у* = — 5х + Зу + 22; 3) х' = — х + — у+ —, у' = — х — — у — —; 5 5 25' 5 5 25' 9 5 5 3, 1 4) х" = — х — — у+33, у = — — х+ — у — 19; 5) х* = — х+8, 2 2 ' 2 2 ' 3 1 1 у* = — х + — д — 1; 6) обратное преобразование не существует; 12 4 Ошеети и указан и 401 1, 1 1 7) х = — (4х+ Зу), у' = — ( — Зх+ 4у); 8) х' = — (4х+ Зу), у* = 25 25 25 1 = — (Зх — 4у); 9) х* = г л(х сов р + у яп лл), у' = г л( — х яп р + 25 + усов р); 10) х' = г '(хсов р+ уяп~р), у* = г ~(хв1п р — усов ~р). 12.66.
Ц х = х сов па — увшпа, у* = тяп па+ у соева; 2) х* = хп , яп яп яп = х сов —, -'; уяп —, у' = — хяп —, + усов —,; 3) х* = х+ пу, у* = у; 3 3' 3 3' 4) х' = 3"х., у' = (3" — 2ь) х+ 2"у. 12.67. Ц х* = Зх+ 4у+ 6, у* = 4х — Зу — 16; 2) т" = (5т — 4у — Ц/3, у* = ( — 4х + 5у — Ц/3; 3) х' = 2у'Зт — 2у — 2~3, у* = 2х + 2лУЗу + 5 — 2~3; 4) х* = = ( — 33х+ 9у+ 55)/26, у' = (18х — 51у — 30)/52. 12.68. В задачах 4), 5), 7), 9), 12), 13), 1' ' = 1; Ц х* = х, у* = у/3, сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 1/3; 2) х' = х/2, у' = у/2, гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 1/2; 3) х* = х+ 1, у" = у — 1, параллельный перенос на вектор а (1, — Ц; 6) х* = у, у* = — х, поворот на угол — т/2 вокруг начала координат; 8) х* = (х + у)/лГ2, у = ( — х + у),1лУ2, поворот на угол —.т/4 вокруг начала координат: 10) х* = (х + 6)/3, у* = (у — 2)/3, гомотетия относительно точки ЛХ (3, — Ц с коэффициентом 1/3; 1Ц х* = (х + луЗу + 1 — АЗ)/2, у* = ( — у'Зх + у — 1 — АЗ)/2, поворот на угол я/3 вокруг точки М ( — (1 + л/3) /2, (1 — АЗ) /2); 14) х* = (14х' — 12у)/15, у* = ( — 12х + 21у)/15, сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 2; 15) х' = 2х —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
