Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 86
Текст из файла (страница 86)
У к а з а н и е: использовать задачу 24.25. 24.27. Лопе. У к а з а н и е: диагонализируемость матриц А и В влечет диагонализируемость А З В. 24.29. Преобразование с матрицей,7„(0). 24.30. 1) йа8 ( — 4, 4) в базисе (8, — 1), (О, 1); 2) йа8 (О, 1) в базисе (О, 1), (1, 1); 3) йа8 ( — 1, — 2) в базисе (2, — 1), (1, — 1); 4) йа8(4, 9) в базисе (2, 1), ( — 1, 2); 5) йа8 (О, 25/12) Ответы и цказан я 429 в базисе (3, 4), (4, — 3); 6) Л = 1., (1, 0); 7) йа8(2, 0) в базисе (1, Ц, (1, -Ц; 8) Л вЂ” О, (1, Ц; 9) йац(169, 0) в базисе (5, 12), ( — 12, 5):, 10) Л = — 2, (1, 2); 1Ц йа8( — 2, 1, 4) в базисе (1, О, — Ц, (О, 1, 0), (3, 4, 3); 12) йа8(1, 1, — Ц в базисе (1, О, 0), (О, 1, Ц, (О, -1, Ц; 13) йа8(1, -1, — 2) в базисе (2, 1, Ц, (1, О, Ц , (1, — 1, Ц ; 14) йа8 (1, 2, 3) в базисе (О, 1, Ц , (1, 1, Ц , (1, О, Ц ; 15) йа8 (О, -1, 2) в базисе (1., О, Ц , (О, 1, — 2), (3, — 2, Ц ; 16) йа8 ( — 2, 9, — 4) в базисе (1, О, — Ц , (2, 1, 2), (5, — 4, 5); 17) йа8(1, 2, 10) в базисе (2, 1, — 2), (1, О, Ц, ( — 1, 4, Ц; 18) йа8(14, О, 0) в базисе (2, 1, — 3), ( — 1, 2, 0), (6, 3, 5); 19) йац(3, 3, 2) в базисе (1, — 1, 0), (1, О, Ц, (1, 2, 4); 20) йа8(1, 2, 2) в базисе (1, 1, Ц, (1, О, — 3), (О, 1, 3); 2Ц йа8(7, 7, — 7) в базисе (1, — 2, 0), (О, 3, Ц, (2, 1, — 3); 22) Л = О, (1., О, 0); Л = — 1, (О, 1, 0):, 23) йа8(3., — 1, — Ц в базисе (1, 1, 2), (1, — 1, 0), (1, О, — Ц; 24) Л = — 3, (2, О, Ц; Л = 2, (О, — 1, Ц; 25) Л = О, (2, — 1, 0); 26) йа8(0, 1, Ц в базисе (1, 1, — Ц, (2, 1, 0), (3, О, 2); 27) Л = О, (1, 1, 0), ( — 1, 3, 2); 28) Л = — 1, (2, — 1, 0), (1, — 2, Ц; 29) йа8( — 1, 1, Ц в базисе (3, 5, 6), (2, 1, 0), (1, О, — Ц ; 30) Л = — 1, ( — 2, 1, Ц ; ЗЦ йа8 (1, 1., — 1, — Ц в базисе (1, О, О, Ц , (О, 1, 1, 0), (О, — 1., 1, 0), ( — 1, О, О, Ц ; 32) йа8 (1, — 1, 1, — Ц в базисе (1, 1, О, 0), ( — 1, 1, О, 0), (О, О, 1, Ц , (О, О, -1, Ц : 33) йа8 (4, 9, 9, -Ц в базисе (2, 1, О, 0), (1, -2, О, 0), (О, О, 1, Ц , (8, 4, -5, 5); 34) йа8 (О, О, О, 4) в базисе (1, 1, О, 0), (О, 1, 1, 0), (О, О, 1, Ц , (1, -1, 1, — Ц ; 35) Л = О, (1, О, О, Ц , (О, 1, 1, 0); Л = 2, (1, — 1, 1, — Ц ; 36) йа8 (1, 3, 5, — 4) в базисе (1, О, — 1, Ц , (1, 1, О, — Ц , (1, 1, — 1, 0), (О, 1, 1, — Ц ; 37) йа8 ( — 1, 1, 1, — 2) в базисе ( — 2, 1, 1, Ц , (1, — 1, О, 0), (1, О, — 1, 0), (1, О, О, — Ц;38)йа8(2, '2, 2, — 2),Аыв;39) Л=О, (1, 1, 1, Ц '40)Л=1 (1,0, 1,0), (1, — 3,0,0), (1, 1, — 1, — Ц .
24.31. Цйа8(1, — 1) в базисе (1, — 1), ( — 1, Ц; 2) йа8 (е, яз), е = ез '~з, в базисе (1, — с), ( — е, Ц; 3) йа8 (О, 21) в базисе (1, — Ц, ( — ъ, Ц; 4) йа8(-1, Ц в базисе (е, - Ц, (я, Ц; 5) йа8(1 — 1, 1+1) в базисе (1, Ц, ( — 1, Ц; 6) йа8 (е', е '") в базисе (1, — 1), ( — 1, Ц; 7) йа8 (е+ г, е — 1) в базисе (1, 1), (1, Ц; 8) йа8 (2+ у'3, 2 — НЗ) в базисе (~3 — 1, 1 — 1), (1+ 1, 1 —;ГЗ); 9) йа8 (О, 31, — 31) в базисе (2, 2, — Ц, (5, 31 — 4, 2+ 61), (5, — 4 — Зг, 430 Ответы и указания 2 — 6!); 10) йа8(1, 1, — г) в базисе (О, 1, Ц, (2, 2., 3+!), (2, 2, 3 -- !); 1Ц с1!а8 (-1, 1 + 1, 1 — !) в базисе (1, 1, — Ц, (1+ 1, 1, — !), (1 — а, 1, !); 12) йай(2, 3+ 1, 3 — !) в базисе (2, 1, Ц, (4, 3, 2 — !), (4, 3, 2+1); МЗ) 6!а8(2, — 1+а, — 1 — !) в базисе (1, О, — Ц, (2, 2, — 5 — !), (2, 2, — 5+!); 14) 6!ай(1, ю, ыт), ы = е~ Оз, в базисе Азез! 15) с!!а8 (АЗ., — хуЗ, гу'3) в базисе (1+ тгЗ, 1, Ц, (1 — ъ'3, 1, Ц, (О, 1, — Ц: 16) йай(1+а, 1+!, 2+!) в базисе (1, О, 0), (О, 2, Ц ., (1+1, 1, Ц; 17) йа8(4, 1, 0) в базисе (1 + 1, 31, Ц , (1, О, ! — Ц , (1 + 1, — 1, Ц ; 18) йа8 (г, †, !., †!) в базисе Ачзе! 19) 4!ай (2, — 4, — 1 + !., — 1 — г) в базисе (1, 1, 1, Ц, (1, — 1, 1, — Ц, (1, 1, — 1, — !), (1, — г, — 1, !); 20) йа8 (1+1, — 1+ 1, 1+ 1, — 1+!) в базисе йа8 (Аде, Аю); 2Ц с!!а8 (2, 2, — 2, 2!) в базисе Азии 24.32.
Ц Л = — 3, ( — 1, 2); 2) Л = 5, (1, 3); 3) Л = 3, (2, О, -Ц ; Л = 2, (О, -1, Ц ; 4) Л = О, (2, 1, — Ц ; Л = — 1, (3, 3, — 4); 5) Л = — 1, (2, О, Ц ; Л = 1, (1, 1, Ц ; 6) Л = О, (1, 1, — Ц , (3, О, 2); 7) Л = О, (1, О, О, Ц , (О, 1, 1, 0); 8) Л = 1, (2, — 1, 2, -Ц; Л = -1, (2, — 1, -2, Ц ; 9) Л = 1, (1, 1, О, О, 0), (О, О, О, 1, Ц ; Л = -1, (О, 1, 1, О, 0) .
24.33. Ц Л1 = в, Ла = вэ; а) нет; б) 4!а8 (в, ет) в базисе (1, 1 — е)~., (1, 1 — еа) (е = е~"г~в). 2) Л| з —— е+"о; а)( — Ц"Е при о = пп (п — целое), в любом базисе; при остальных о преобразование не диагонализируемо; б) 6!ай (е', е ' ), Аэе 3) Л1 = 1, Лз = ы, Лз = юз; а) нет; б) йай (1, ыз, ы), Азез (ы = ет "Уз). 4) Л1 з = 3; а), б) нет. 5) Л1 = О, Лз з = 1гтУЗ; а) нет; б) 6!ай (О, г;ГЗ, — !А~3), Авва.
6) Л1д = 1; а), б) нет. 7) Л1 з = (1 х у'5)/2, Лз 4 = 1; а), б) нет. 8) Лье=1, Лз4= — 1;а) нет:,б) йа8(1, г, — 1, — !),А4вв. 9) Лгт =1+1, Лз 4 = 1 — 1; а) нет:, б) 6!ай (1+ 1, 1+ г., 1 — г, 1 — !), А4зз. 10) Л1 а = г, Лз 4 = — й а), б) нет. 24.34. Пусть ем ..., е„-- стандартный базис, т = ((п + Ц/2), г = (п/2). Ц 6!а8 (Е, — Е„) в базисе из векторов еь + е„ьч1 (Й = 1, ..., т) и еь — е„ь 1 (Й = 1, ..., т).
2) йай (ЗЕ, — Е ) в базисе примера Ц. 3) йа8 (2п — 1, — 1, ... ..., — Ц в базисе из векторов е1 +... + е„, е1 — еь (Й = 2, ..., п). 4) 4!ай (х + (и — Цу, х — у, ..., х — у) в базисе примера 3). и — 1 5) Л = О, базисный собственный вектор 2 ( — Ц'С;, е,е~, .преоб8=0 разование не диагонализируемо. 6) йа8 (и — 1, п — 3, ..., 1 — и), компонентами й-го базисного вектора являются коэффициенты многочлена (1+ !)" (1 — !)", расположенного цо возрастающим 7г пп степенЯм й 7) йай 2 соз, ..., 2 сов у! в базисе из .+1 ' +1/ Опгеети и цказан и ~ х„тг проверить, что ~ "т' = А Хн-~-1 Выразить + через хп , где А -- некоторая матрица.
х„ Ь и А. Для вы висления А" привести виду. 24.42. 1), 2) Л = О, собственные матрипу А к диагональному векторы — константы; 3) собственному значению Ль отвечает соб- ственная функция ех", й = 1, ..., и; 4) Л = Ло, собственная функция ггйв в~кторов аь = 2 вгп е„й = 1, ..., п. 8) с11а8 (О, ..., О, и) п ч- 1 в базисе ам ..., а„, где аы ..., а„1 — базис подпространства хг — тг + ... + ( — 1)" 'хо = О, а„= ег — ег + ... + ( — 1)" 'ео. 9) бба8(2Е, — 2Е ) при п = 2т; с1га8(2Е 1, 1, — 2Е 1) при и = 2тп — 1 в базисе из векторов еь + 2ен ьтг (й = 1, ..., гп), еь — 2е„ьт1 (й = 1, ..., г). 10) Л = О с собсгвенными векторами ем ..., ет; при п = 2гп — 1 егце Л = 1 с собственным вектором еиб преобразование не диагонализируемо.
11) бга8 (1Е, — 1Е ) при и = 2т; с1га8 (1Е ю 1, — 1Е,„,) при и = 2гп — 1 в базисе из векторов еь + 1е„ьтг (й = 1, ..., т), еь — 1е„ьв 1 (й = 1, ..., г). 12) Жаб (1, в, ..., вв ') в базисе из векторов ав = 2 в~ь О'е, (й = я вп = О, 1,..., и — 1; в = ег ь в). 13) г1га8 21 сов, ..., 21сов ) +1' +1) яйв в базисе из векторов аь = 2 г' г гбп е„й = 1, ..., и. — пй 1 24.35. 1) х — (х75 х 1); 2) 4, О, 2 х 2~Г2; 3) О, 8, 8, 12; 4) О, х41, 2 хй х81; 5) еь"~в, й = О, х1, х2; б) а+ 2Ьсов, й = 1, ..., и.
п+ 1' У к а з а н и е; использовагь преобразование аг + Ьф, где ф преобразование из 24.34, 7). 7) Ль = а1 + агвь + ... + а„в„" ~, где вь =ег ьи", й=0,1, ..., п — 1. Указание; перейти к базису Гь = (1, вь, ..., в„" '), й = О, 1, ..., п — 1. 8) а|+... + а„и хЛь, где Ль = )а~ + агвь +... + а„в," ~), вь = ег'ьуо, О < й < (и/2), а при четном и также а1 — аг +... + ( — Ц" а„. 9) уп, —,,Гп, с',~п, — г., и с кратностями соответственно й+ 1, й, й, й при и = 4й+ 1 и й+ 1, й + 1, й+ 1, й при и = 4й + 3. У к а з а н и е: характеристические числа матрицы А равны п и — п с кратностями соответственно (и + 1)/2 и (п — 1)/2.
24.36. 1) 1+ ( — 1)": 2) О; 3) ~/п при п = 4й+ 1, гх/и при и = 4й + 3; 4) гд" 'Ив" гпгп"~г. У к а з а н и е: воспользоваться результатами задач 24.34, 7) и 24.35, 9). 24.37. 1) Агвг, '2) .4гво', 3) Азов Рг, Азов Рг 24.38. 1) Ув( Ц', 2) Авва 24.39. 5. Ь+ За 24.40. 9, 4, 3, 2; или 9, 2, 6, 1. Л = 2.
24.41.. У к а з а н и е: 4 Ответы и рказаипл 432 0 8 00)~~ 0-1 10)~ 24.55. Ц йа8 ( — 4, — 4, 4, 4) в базисе 8 0 'еО 0 )! О 1,. 2) Л = 5, собственные матрицы ег), е = ег~'~г, в базисе 1 0 — е 0 1 0 3 0 0 1 ; 3) ббаК (е, е, 0-е! 0 1 > 0 1,' — еО 0 — е!' 10 0 О,' 1 1 24.56. 1) йа8 ( — 1, — 1, — 2, — 2) в базисе 1 1 0 0 2 1 0 0 12 00~~ ~~~; 2) Л = — 3, собственные матрицы 3 е— 3) гба8 (е, е, ег, ег), е = ег '1~, в базисе 0 0 о о~~ 2 1)~' 0 0 3 е — 1 ,за — 1 2 0 0 0 0 3 ег — 1 аы агг а21 а22 24.57. 1) Если А = 0 а12 а21 а22 а11 — а12 0 0 — ага — аг1 0 а21 а12 0 . 2) а) Л = О, собственные ам — агг е~"1. 24.43.
1) Л = О, собственные векторы — многочлены а1+ Ь (~а) + Ь! ф 0); 2) Л = О, собственные векторы — константы: Л = — йг, Х = (аьсовН+ Ььв1пН) )а(+ (Ь| ~ О), й = 1, ..., и; 3) Л = Лг, Х = (сехег/с~О), й = 1, ..., и; 4) Л = Лг, Х = (сехог/сфО). 24 44. 1) Л = О, Х = ((ав+ а11)е ))ав)+ /а1! ф 0); 2) Л = — 1, Х = (ае'(а у'. -О); 3) Л = 2, все ненулевые функции из б собственные. 24.45. 1) Л = — 1, все ненулевые функции из М собственные.
2) Нет собственных векторов. 24.46. 1) Л = О, Х = (асоз21+ Ьяп21) (а)+ (Ь~ ф. О); 2) Л = — 16, все ненулевые функции собственные. 24.47. Через р„д обозначены базисные векторы собственных подпространств. 1) Л = О, р = 1; Л = 1, р Ь.Л 2 р 12.2)Л 1 р 1.Л 2 р=1 Л=З р=гг 3) Л = 1, р = 1; Л = 2, р = 1, 4 = 12. 24.48. Собственные значения — всевозможные Л е К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
