Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 89
Текст из файла (страница 89)
У к а з а н и е: воспользоваться приведенным решением задачи 26.40. 26.42. 1) ~~ 1 3 — 2 ~~, ~~ 1 1 2 ~ 2) ))2 1 0 — 1)), )(1 5 2 7!); 3) ))1 3 1((, )2 — 1 1( )) 4 1 -7 )); 4) () 2 1 2 )(', () 1 О -1 )), )( -1 4 -1 ( 5) ))1 2 3((, (/3 0 — 1((, ))1 — 5 3/); 6) )1 2 1 2( )) 3 --2 3 -1/), ) 2 7 0 -8 /); 7) )( 1 --1 --1 1 ~!', ) 1 1 1 1 ( )) 1 2 — 2 — 1 /), )! 2 — 1 1 — 2 /) .
26.43. Столбцы матрицы 1З-- координатные столбцы искомых векторов, Я вЂ” матрица перехода: Ответы и указания 442 1 2 3 1 Лб Ло 1 3 Лб Тб 1 1 Л Л," — — — е; 3) я ,3 6 ~~' 0 6 ~. Ло ЗЛО 1 0 ЗЛО 2) О = Азао, 1 ъ2 1 1 1 ЯО 2и'2 2 Я О 1 Тб 1 — 1 2 0 1 2 2 — 4 — 1 2 5) Я = А 445, 1 — — 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 1 ~/ГО 2 1 0 2 0— 1 2 у'ГО 1 0 2 1 1 2 2~/1б 1 0 Тб О -ЗйЗ ъ~6 0 1 у'30 02 6 3 — 2и'6 0 0 ЪГЗ 0 0 0 0 4 и 21 2 ъ'21 1 ъ'2 11 0 1 — у 6 — уеЗ О 6 -уЗ О О '3 1 ЗО 7) ъ~15 ! 2 (~ ъ~Г5 3 у'Г5 1 2 1 у 21 и'5 и'106 О 1 2 ъ'5 уТ06 0 0 Л06 8) 1 4) Я = — А4вв, Я 2 1 1 2~/2 2ъ~ГО 2 Л Л06 2 1 ие5 иТ06 0 10 иТ06 0 ,'ТОа 2 1 ъ 5 и70 1 2 Л ъ70 0— 8 lй 1 0 и 70 Ответы и цказан л 1 2 1 ъ~Г5 ъ~5 ч'70 1 1 ч'5 г'700 1 о о 1 Ц вЂ” ~~ 1 3 ~~', — ~( 7 -4 ( 26.44.
— 2 О~~, — ~~1 — 2 3~~, — ~ — 5 4 О( ъ~Г4 у'Г2 ч'42 4) — ((1 1 1((, — ((2 0 — 1((, — (( — 5 7 — 8( 1 т 1 т ъ'6 ,/Г4 гг 84 4) — (( — 3 2 1~(, — ))1 — 1 1)), )! — 19 8 3)(. ъ~2 ЛТ ~г22 26.45. 2) У к а з а н и е: если Я~Л1 = Я~В~, то матрица Р = Я~а Щ = ЛзЛ, и ортогональная и треугольная. -1 — 1 26.46. Ц Я = Аем Л =; 2) 0 4ч'2 ' ~/Го ! 1 — 3 чг2 чг2 0 О 3 — 1Г 3 0 0 у'2/~ 3 Л=ъгГО о 3,3) Я=Азов, Л= 1 2 ; 4) С7 = Аз1а, 2400 0240 0024 0002 Ло г'Го г'10 0 2г'2 чу о о гГО 1 о) ч) = — А4оа, Л = 2 ; 6) 1) = Аоов, Ло Ло Ло Ло 0 2 2 1 0 0 2 1 о о о Тб~ 1/~ 2 — 5/ч'2 ~ 0 чг2 2004~ 0 2 2 0~, 0020~!' 0002~,' (10 О-1 2 — 3(, 1 ~01 — 1 0 01~')20010 ~оо о у к а з а н и е: составить систему уравнений 1 2) 2 для элементов искомой треугольной матрицы (сы. задачу 26.47).
26.50. 1) 1; 2),32; 3) 21; 4) 8,/Г1; 5) 2; 6),'555; 7) 1. 26.51. 1),УГ4; 2) г'107; 3) 4чТЙ. 26.53. 1) У к а з а н и е: воспользоваться результатом задачи 26.52. 2) Либо 2 а; аеь = 0 при у' ~ 1, 7=1 либо один из столбцов матрицы нулевой. 3) 4 ( 200. Угол т т о между векторами )~ 1 3 (~ и (~ 2 4 )~ при стандартном скалярном произведении в кз мал: соэ о = 14/10~2 - 0.98995. 26.54. 1) У к а з а н и е: перейти к базису ео, ..., еы е'„', ..., е'„' и использовать результат задачи 14.39.
2) У к а з а н и е: если Опзееты и цкааан л 5000 4000 1000 3000 26 66 (9 151гУ8 2) со = 1, (г, у = 1, ..., и); 3) 26.67. Будет произведена та же перестановка базисных векторов. 26.68. Ц ( 1/2 0 (), )) 0 1(З !,'; 2) (( — 1/3 2/3 ((, (( 2/3 — 1/3 ( 3) )) — 5 3,'(, )2 — 1!); 4) )(О 0 1(), )~0 1 — 1)), )(1 — 1 0)(. 26.69. Ц )) — 12 7 ((, )! 7 — 4 ((; 2) () 13/2 — 2 (), )) 7/2 — 1 ( 3) )( 5/4 — 3/2 3/4 )~, () — 3/4 3/2 — 5/4 )), )! 1/4 — 1/2 3/4 ( 4) )~ 1 О О ',!', () 3 3 1 )~,', ~( — 3 -1 О )! .
26.70. (9 — 151з) 18, 3112, ( — 15+ 451з)/8. 26.73. Матрица Грача базиса е*. У к а за н и е: использовать задачу 26.72. 26.74. Г,оГ ~. У к а з а н и е: использовать задачу 26.73. 27.1. Ц Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 27.2. 3) Нет.
27.9. 11е (т, 9) = О. 27.10. Ц 0; 2) 2; 3) 101; 4) — 1; 5) 6з; 6) 32 — 191; 7) 4+ 2ю'. 27.11. Ц т'2; 2) ч2; 3) т'ГОО; 4) АЗ; 5) ту8; 6) ту33; 7) Я1. 27.12. Ц вЂ” Зг; 2) 1+ 71; 3) 58 — 161; 4) 6+ Зг; 5) 2+ 131; 6) 4 — 21; 7) 91; 8) 16+ 41. 27.13. Ц ъ~6; 2) ~IГ1; 3) тУ29; 4) ъ~5; 5) ъ~15; 6) тГ6; 7) Л44; 8) хУГ4. 27.16. Эрмитовы Азе Азг, .4юз, Азгт, Аиз.
Из них Апи и Азгт не могут служить матрицами Грама. 27.18. ЦДа; при о < 0 — нет; 2)да; да; 3) нет; 4) да; да. 27.21. Аюз. 27.23. Диагональные матрицы, с числами, по модулю равными 1, на диагонали. 27.24. Ц Нет; 2) да: 3) да. У к а з а н и е: любой единичный вектор можно дог полнить до ортонормированного базиса.
27.26. Ц ~~ 1 --г ~ 2) ((1 — 1 1+1!,', !)1 2-1 — 1)); 3) )!1--1 2 0)~, ))О 1 1( а",, ..., а„" — ортогональные составляющие соответствующих векторов, то Г(ам ..., а, ) = Г(а~, ..., а„') + Г(а~', ..., а"). Можно считать, что а", ..., а'„' линейно независимы, иначе результат очевиден. Пусть о' — матрица перехода от а", ..., а" к тому базису, в котором квадратичная форма с матрицей Г(а~', ..., а„") имеет каноническвй вид. Умножим обе части равенства справа на Я, а слева на от и воспользуемся результатом задачи 32.20. Ц. 26.58.
Ц х/3; 2) х/6; 3) х/3. 26.59. у имеет координатный столбец Ц )) -1 1(!"; 2) (( 5 4 7 б (('; 3) )) -3 1 ~!"; 4) )( О О 1 -1 ( т 26.60. р имеет координатный столбец Ц ~~ — 3 — 2 — 1 ~ 2) ! 4 6 2)); 3) (( — 1 — 2 — 3 — 4 — 5)(; 4) )) — 1 7 — 11 0( 5) )) — 4 2 0 2 )1; 6) )( — 4 --7 5 -3 (( .
26.61. )т( = )у. Е перпендикулярно вектору а = т — у. 26.62. Е перпендикулярно вектору Ц (( — 1 1)); 2) ((О -1 1 — 2((; 3) )~ — 1 5 3 — 3( 4) )2 — 2 2 2)! . 26.63. Ц (!0 9 4/); 2) )!2 0 — 2)); 3) )(О 1 — 2)(. 26.64. Ц ! 2 0 2 /!; 2) // 1 1 0 ~!; 3) !! 1 1 1 // . 26.65. Ц Е; Огвееты и дкаэан и 4) ) 1 — 1 1 )), !)1 1 0 )); 5) )! хгЗ вЂ” у'4 О4 — ~г2 хГ2 — АЗ (( 27.27. Ц )(г 1((;2) )(1 — 10,'), ))О г — 1 1));3) (( — 1 1 0( 4) )( — 1 1 О ((, )! — 3 0 1 )); 5) /) 1 г — 2 )! . 27.28. Ц Л 1 2) — ., — .; 3) — 1 1+1 1 2 — г 1 1 1 2 1 1 ~/6 1 ' Я 1 — 21 1 — 31 — 3 — 21; 4) — г 1 3 1 '+' ~~ — 1, — 1; 5) — 2+1 э'2 О ъ'6 2 3 1 — 1 3+1 — 2 О 3'7 5+ Зг 21 1+ 31 — 7 1+1 1+ 41 Ц а; 27.29.
г 1 — 7 — 41 1; 5) — 16+ 61 . 28.1 Ц ААт. 1 11 6 — 51 1 3) — 51 ; 4) 5 — Зз плоскостях, натянутых на пары векторов ез, ез и еы еэ', 5) поворот на я/2 в плоскостях, натянутых на пары векторов еы ез и ез, ез. 1+ хУ2 1 1 — 1 — 1 1 — ъ'2 — 1 1 1 — зУ2 + хУ2 — 1+ хУ2 1 -~- тг2 1 -~- ъ'2 — 1 — 1 1 1+хУ2 1 28.7. 1) Аэзз; 2) 2з~2 2 — у'3 2+Л вЂ” 1 1 где С 2+ х~З 2 — ъ~3 1 — 1 бтŠ— 1 1 1 4) — Аэгв 28.8. СЕ 2+ г'3 2-. ъ'3 т'2 2 — АЗ 2+ ъ'3 — матрица из элементов дΠ— — (Ьг аэ) 1 3) 4 28.9 У к а з а н и е; см, задачу 26.35. 28.11.
~р' = р. 28.12. ~р'(к) = 2,'(т, дэ, Д ). 26.16. р* = ~р '. 28.17. д* = — у. 2) 2ААт Е 28 2 Ц А(АтА) — ~Аг. 2) 2А(Ат А) — гАт Е 28 3 Ц А(АтГА) — ьАтГ 2) 2А(АтГА) — ~АтГ Е 28 4 Ц р(г) = = т — 2а (а, х) Да~э, Š— 2 1а, ат),1 1ат, а); 2) (а, х) = О, где ~01 а = Лу — т, Л = )к. 28.5. Ц ~ 1 0; 2) Ато', 3) сбаЗ(1, — 1, Ц; 1 1 4) — Азез,' 5) — Аззз 28.6. Ц Отражение в пространстве с нор- 3 ' 2 т мальным вектором ~~ 1 — 1 — 1 1 ~~; 2) отражение в пространстве т с нормальным вектором ~~ 1 — 1 — 1 ~(; 3) проектирование на линейную оболочку вектора ~~ 1 — 4 1 ~~; 4) поворот на х/2 в т Оюеегаы и цказаи л 28.18.
2 3; 2) — 1 — 1 20 13 -34 22 '42 9 0 1 0 0 0 — 2 28.19. 1) 3) 1 9 5 — 4 — 24 — 13; 5) 11 44 23 000 101;6) 000 1 1 1 ; 7) 4) 4 — 3 2 5 — 3 2; 9) — 2 — 2 — 2 . 28.20. Проектирование — 1 2 — 1 8 7 4 8) на прямую х = у = 0 параллельно плоскости бх + Зу + 2г = О. 28 21 5 (р) Зр(1)( 1+ 21+ 51з)/4 Зр( 1)( 1 21+ 51з)/4 р~(1) 0 — 50 000 Ц вЂ” 6 0 2; 2) 3 0 0 . Указание: интегрируем по ча- 0 150 050 стям и подбираем многочлены г(1) и з(й) так, чтобы для любого многочлена 9(1) выполнялось (г, ф = и(1) и (в, 6) = Я( — 1) 0 0 0" 28.22. 5*(р) проекция на Р' многочлена й(йр(1))', 1) 1 0 О 020, 0 4 0 2) — 6 0 — 3, 28.23.
р"(Х) =АтХ, 28.24. |р*(Х) =(А 1) ХА 0 8 0 У к а з а н и е: всегда 1г РЯ = СгС~Р. 28.33. 2) Да. 28.34. 2) Да. 1 ч6 А' Ц Я=— 1 ъ'6 28.35. 2) Я о 3) Я = ~~ — Я чг30 0~~ 2туб — 5 Л вЂ” 1 — 2ъ'б13 — 2/т'300 2 2ч'5 1 у'5 1 0 Оч2 0 1 0 — 1 0 2 4/тЛ 0 0 0 — 1 ъ'2 4 0 — 2 Зъ'2 о О О 1 4) Я 0 1 1 1 2~12 0 5) Я = — ~Г2 0 О, А' = 0 4 0 . 28.37. Совпадают. 0 1 — 1 0 0 — 2 29.1. 1) Да; 2) только если она нулевая. 29.4. Нулевое преобразование.
29.5. Ортогональное отражение в некотором подпространствс, тождественное преобразование и центральная симметрия. 29.6. Ор- ОЗ1 — 3 — 4 — 5 1) — 1 0 3 ; 2) 4 2 8 ; 3) 310 — 3 0 — 5 т'3 1 ~Г2 — тУЗ 1 тГ2 0 — 2 ~Г2 1 — ъ 3 — ч'2 1 ~Л вЂ” тГ2 2 0 ч'2 6 0 — З~~ 0 5 — 1 3 — 1 2с — 21 13 ! — 34 21 4 5 — 1)~ — 3 — 3 2 '; 2 2 — 1 2ъ'6 4ч'2 -1 ~ 0 2ъ'6 3~3 0 02тб~ ~ ~3 0 11/ъ'2 ) 0 3 — ~73/2 и; ~00 2 Огаееты и указае я тогональное проектирование на некоторое подпространство чгЗ вЂ” 4тГ2 — т'7 2т 3 — т72 2н 7 ЗчгЗ 2тГ2 — ч'7 о о о есконечно много.
29.10. 29.12. ~р(х) = ~ Лз(х, е„е,). 29.14. 1) Да; 2) нет; 3) да; «=1 4) нет. 29.19. 1) Я = (1/уГ5)Ащв, А' = йаб ( — 3, 2); 2) Я = = (1/т72)Авв, А' = йаб (2, 0); 3) Я = (1/тГ2)Авв, А' = йаб (4, 2); 1 0 — 1 Оу2 0 1 0 1 4) Я = (1/у'5)Азов А' = йа8 (9, 4); 5) Я = 1 Л А' = йа8 (3, , А' = йа8 (3, 3, — 3); 8) Я = 1 3 у'8 ~ — 1 3 у8~,' 4 0 — ~Г2, А'=йаб(9, — 1,0); 9) В= 4 0 т72 ~, 1 — 3 у8 ' 1 3 — ъ8)! А' = йа8 (10, 2, 1); 10) Я = Азин А' = йа8 (6, О, 0); 11) Я = (1!2)Авва А = йаб (7, — 1, — 1, — 1)~ 12) Я = (1/2)Азвз А' = йаб (1, — 7, — 7, — 7)' 13) Я = Я2)Авва А = йаб (2, 2, 2, — 2); 14) Я = (1/2)Азвв, А' = йа8 (2, 2, 2, — 2); 15) Я = (1/2)Аззп 3 ъ8 1 А' = йаб(9, 9, 27); 16) Я = 0 тГ2 — 4, А' = йа8(2, 2, 20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
