Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Основные теоремы о пределах В этом параграфе, как и в предыдущем, мы будем рассматривать совокупности функций, которые зависят от одного и того же аргумента х, при этом х -г а или х ч Оо. Мы будем проводить доказательство для одного из этих случаев, так как дпя другого доказательство проводится аналогично.
Иногда мы вообще не будем писать ни х — 5 а, ни х — 1 Оо, подразумевая то или другое. Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вооби!е определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных: 1пп(и1 + иг +... + ив) = 1пп и1 + 1пп иг + .
+ 11ш игп Доказательство. Провецем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых опо проводится так же. Пусть 1ппи1 = а1, 1ппиг = аг. Тогда на основании теоремы 1 2 4 можем написать: и1=а1+О1, и2=а2+сг2, где а1 и аг — бесконечно малые. Следовательно, и1 + иг — — (а, + аз) + (О1+ Ог). Так как (а!+а») есть постоянная величина, а (с«1+О») -- величина бесконечно малая, то снова по теореме 1 2 4 заключаем, что !пп(и1 + иг) = а1 + аг = !пп и1 + 1ппиг. Пример 1. 1пп = 1пп !11+-1= 1пп 1+ 1пп †.= !+ 1Нп — = !+0=1. 2 .
2 «2 «-»»~ х) «-», » х *»»» « НРедел непреРывность ФункциЙ 42 1Гл !! Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных 1цпи, иг ... иь —— 1ппи, .1цпиг ' ... 1!тито Доказательство.
Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть !Цпи! — — а2, 1ппиз = аг. Следовательно, и! —— а! + аь, иг = аз+ аг, и,иг — — (а! + о!)(а! + аз) = а!а! + агсгг + ага, + аьаг. 1!т 5хз = 5 1пп х = 5 8 = 40. *-!2 з-!2 Теорема 3. Предел частного двух переменнь!х равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя оп!личен от нуля: 1пп —" = .'~~, если !пни ~ О. и !Ипе ! Доказательство. Пусть 1пп и = а, !пп и = 6 ф О. Следовательно, и = а+ а, и = 6+ )З, где а и ЗЗ вЂ” бесконечно малые. Напишем тождества и о+а а /о+а о! о аЬ вЂ” ЗЗо и Ь+!3 Ь ~Ь+!3 Ь,! Ь Ь(Ь-1-2З)' или и а аЬ вЂ” !Зо — = — + —.
и Ь Ь(Ь+Р)' о аЬ вЂ” !Зо Дробь — есть постоянное число а дробь — по теоремам 4 и 5 Ь Ь(Ь 4- д) 3 4 есть бесконечно малая переменная величина, так как а6 — )За есть бесконечно малая, а знаменатель 6(Ь+ЬЗ) имеет предел Ьг ~ О. и о йти Следовательно, 1пп — = — = —, и Ь !Нпи' Пример 3. 11т(зх+ 5) Зх + 5 пп *-!! 4х — 2 1пп (4х — 2) — >! 3 !! т х -1- 5 З З1-65 8=4 41ппх — 2 4 1 — 2 2 я -! ! Здесь мы еоспользоаались доказанной теоремой о пределе дроби, так как предел знаменателя при х -+ 1 отличен от нуля. Если же предел знаменателя есть нуль, Произведение а!аз есть величина постоянная, Величина а!ог + +ага, + а!аз на основании теорем 3 4 есть величина бесконечно малая.
Следовательно, 1цп и!из = а!аз = 1ппи! . 1цпиг. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Действительно, если !пни! — — а2, с — — постоянная и, следовательно, 1ппс = с, то 1пп(си!) = 1ппс !Нпи! — — с.!Гп!и2, ч.т.д. Пример 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЪ| О ПРЕДЕЛАХ то теорема о пределе дроби не может быть применена. В этом случае требуется производить специальные рассмотрения. Пример 4.
Найти !ип (х| — 4)/(х — 2). *-|т Здесь знаменатель и числитель при х -ь 2 стремится к нулю и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведем следующее тождественное преобразование; хе — 4 (х — 2)(х + 2) =х+2. Это преобразование справедливо при всех значениях х, отличных от 2. Поэтому, имея в виду определение предела, можем написать !ип = !ип ' ' = 1ип(х+2) =4.
хт — 4 , (х — 2)(х + 21 е-|2 х — 2 е — |2 х — 2 е — |2 Пример б. Найти Н|п х/(х — 1). При х -ь 1 знаменатель стремится к нулю, а *-|| числитель к нулю не стремится (чнслитель стремится к единице). Следовательно, предел обратной величины есть нуль, т.е. 1|щ (х — 1) х — 1 О 1ип — = = — = О. „,| х !!|их 1 е -| | Отсюда на основании теоремы 2 предыдущего параграфа будем иметь: !ип х/(х — 1) = со. Теорема 4. Если между соответствуюи4ими значениями гпрех функций и = и(х), х = х(х), и = и(х) выполняются неравенства и ( х ( и, при этом и(х) и и(х) при х 4 а (или при х — 4 оо) стремя|ноя к одному и тому же пределу Ь, то х = х(х) при х 4 а (или при х -+ со) стремип|ся к тому же пределу.
Доказательство. Для определенности будем рассматривать изменение функции при х 4 а. Из неравенств и < х < и следуют неравенства и — Ь<х — Ь<п — Ь; по условию 1пп и = Ь, 1)ш и = Ь. х-те х — |е Следовательно, при любом е > О найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство )и — Ь! ( е; так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравечство !и — Ь( < е. В меньшей из указанных окрестностей будут выполняться неравенства: — е(и — Ь<е и — е<х — Ь<е, а, следовательно, будут выполняться неравенства — е<х — Ь<е, т.е. 1пп и = Ь.
х-|и ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЪ|ВНОСТЪ ФУНКПИЙ 44 (гл || сов х = 1 — 2 в|из(х/2), следовательно, 0 С В Рис. 42 1пп совх = !пп(1 — 2яп (х/2)) = *-зо -|О = 1 — 2 1пп япз(х/2) = 1 — О = 1. ме В некоторых исследованиях вопроса о пределе переменных приходится решать две самостоятельные задачи: 1) доказывать, что предел переменной существует, и устанавливать границы, внутри которых рассматриваемый предел находится; 2) вычислять рассматриваемый предел с нужной степенью точности. Иногда первый вопрос решается с помощью следующей, важной для дальнейшего теоремы. Теорема 7.
Если переменная величина и возрос|пает, т.е. всякое ее тшследующее значение больи|е предыдущего, и если она ограничена, т.е. и < М, то эта переменная величина имее|п предел )пни = а, где а < М. Аналогичное утверждение имеет место и для убывающей ограниченной переменной величины. Теорема б. Если при х — э а (или при х -+ со) функция у принимает неотрицательные значения у > О и при этом с|премится к пределу Ь, то Ь есть неотрицательное число: Ь > О. Доказательство.
Предположим, что Ь < О, тогда )у — Ь! > (Ь|, т.е. модуль разности (у — Ь! больше положительного числа !Ь! и, следовательно, не стремится к нулю при х -+ а. Но тогда у при х -+ а не стремится к Ь, что противоречит условию теоремы. Значит, предположение, что Ь < О, приводит к противоречию. Следовательно, Ь > О. Аналогично доказывается, что если у < О, то !пну < О.
Теорема б. Если между соответствующими значениями двух функций и = и(х) и и = и(х), стремящихся к пределам при х е а (или при х — э со), выполняется неравенство и > и, то имеет местно !ппи > )!|пи. Доказательство. По условию и — и > О, следовательно (по теореме 5), !!п|(и — и) > О, или )пни — !пни > О, т.е. Вши > )ппи, Пример 6. Докажем, что !Пп яп х = О.
о Из рис. 42 следует: если ОА = 1, х > О, то АС = япх, АВ = х, з!пх < х. Рчевидно, что при х < О будет !япх! < !х!. Из этих неравенств на основании теорем б и б следует, что !Пп яп х = О. о Пример 7. Докажем, что 1пп я~(х/2) = О. *-ч о Действительно, ! яп(х/2)! < ! яп х!. Следовательно, !Пп яп(х/2) = О. з — |О Пример 8. Докажем, что !!п| сов х = 1; заметим, что з-че ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Б1П Х/Х ЦРИ Х -1 0 '8 6.
Предел функции — при х э 0 Б1П Х Функция †' не определена при х = О, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при х э О. Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис. 43); обозначим центральный угол МОВ через х, при этом 0 < х < я/2. Из рис. 43 непосредственно следует: 0 В А Рис. 48 Площаць21МОА < площади сектораМОА < < площади ЬСОА.
(1) Площадь ЬМОА =- -ОА МВ = †.1-8!Цх = — з!Пх. 1 1 . 1 2 2 2 Площадь сектора МОА = 2ОА АМ = 2 . 1 - х = 2х. ! 1 1 Площадь ЛСОА = — ОА. АС = 2.1 бах = -1цх. Неравенства (1) после сокращения на 1/2 переписываются так; ьбп х < х < 1к Разделим все члены на зшх: 1« —.
—, Х ! Б1П Х СОБ Х или 1 » — ' созх. Рис. 44 Мы вывели зто неравенство в предположении что х > 0 замечая что --~ — )~ = — х и соз( — х) = созх заключаем, что оно верно и при х < О. Но !Цп созх = 1, !Ип 1 = 1. о Х-10 Б1П Х Следовательно, переменная — заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании теоремы 4 предыдущего параграфа !Цп — = 1. Х вЂ” 10 График функции у = — "* изображен на рис. 44. 1 Доказательства этой теоремы приведено, например, в книге Г.М. Фихгиемгольца «Основы математического анализа», т. 1, Физматгиз, 1988. Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как оио основывается на теории действительных чисел, которую мы здесь не даем*1.
В следующих двух параграфах будут получены пределы двух функций, имеющие большое применение в математике. ПРЕДЕЛ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ (гл ц Примеры. 1. 1ип -а — = !ип — = 1ип— х . них 1 . Ошх о х -~о х сов х,о 2. 1!т — = !'ипе — я — =Ь 1ип — ~ -— -Ь 1= в!и хх . Мп Ьх .
я!п(хх) в О х -~О Хх х~о (1сх) 15*-~о! )ип — = 1 — = 1. 1 ! о сов х 1 Ь(с=с 51). х в!и— 1ип, о — в1п 2 х 2 2 51П гх 3. 1'ип 1 — соя х = !ип 2 -1О Х вЂ”,О Х х 2 О = О. я!и ах 4 ! 51пах= ! а ах -~о 51пДх х-~о и вы()х )гх 5!и ах ах !1т а о 1ии *-1Π— = й (а = сопя!, 1 а 5 1 и ПЙХ дх ,9 = сопя!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
