Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д!а! -Р 1дсг!г/2) 1 Ьг д '29 1пп — ' = йш 1д! Е 2д21!) = д!. Сь! . ! 1 Ог О З1 О!че1 в любой момент времени ! равна е = д!. д 2 = 9,9 2 = 19,б м/сек. по определению, имеем: и = Таким образом, скорость Прн ! = 2 имеем (и)! г = 2 2. Определение производной Пусть мы имеем функцию у = )1х), (1) определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента х из зтого промежутка функция у = 2 (х) имеет определенное значение.
П1+ 211) — У11) 13') и = 1цп а ! -! о Это и будет скорость неравномерного движения. Таким образом, мы видим, что понятие скорости неравномерного движения органически связано с понятием предела. Только с помощью понятия предела можно определить скорость неравномерного движения. Из формулы (3') следует, что о не зависит от приращения времени 2ь1! а зависит от значения 1 и характера функции 2(1). Пример. Найти скорость равномерно ускоренного движения в пронзвольный момент ! н в момент ! = 2 сек, если зависимость пути от времени выражается !г формулой з = дг-.
2 !г Решение. В момент ! имеем з = —; в момент ! + 11! получим: 2 е+21з= а)г 1г 21аг аг) 2 пгоизводная и диоовгвнпиал 1гл. ш Пусть аргумент х получил некоторое (положительное или отрицательное — безразлично) приращение сах. Тогда функция у получит некоторое приращение Ьу. Таким образом: при значении аргумента х будем иметь у = 1(х), при значении аргумента х + 1ах будем иметь у+ Ьу = 1(х+ Ьх). Найдем приращение функции Ьу: ьу = 2 (х + ьх) — 1 (х) .
(2) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ау ((х + Гьх) — у(х) (3) ох стх Найдем предел этого отношения при Ьх -е О. Если этот предел существует, то его называют тгроиэводмог2 данной функции 2'(х) и обозначают 1'(х). Таким образом, по определению, )ч(х) = 11гп ах Отх или 1(х + Ьх) — у(х) (4) а* о Следовательно, производной данной функции у = у(х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Ьу к приршцению аргумента х, когда последнее произвольным образом стремится к нулю, Заметим, что в общем случае для каждого значения х производная ('(х) имеет определенное значение, т.е. производная является также фумяциег2 от х.
Наряду с обозначением г'(х) для производной употребля"отея и другие обозначения, например у Ух~ Конкретное значение производной при х = а обозначается у'(а) или у')х — е. Операция нахождения производной от функции Дх) называется дифферент(ирооамием этой функции.
Пример 1. Дана функция у = хз; найти ее производную у'. 1) в произвольной точке х, 2) приз=а. Решение: 1) при значении аргумента, равном х, имеем у = хт. При значении аргумента, равном х + Гьх, имеем у+ Гьу = (х Е Гьх) . Кахолим приращение функции: сьу = (х-~-Гьх) — х = 2хььх+ (Ьх) . Составляем отношвнне м Еь~ Гьх ' оу 2хстх + (Гьх)з ах Ьх ГЯОМЕТРичеОКОе знвчяние пРОизВОднОЙ 3 31 11ереходя к пределу, найдем производную от данной функции: у' = 1нп — = 1пп (2х+ Ьх) = 2х. Ь«-«о ссх Ьв-чо Итак, производная от функции у = х в произвольной точке равна у' = 2х; 2) при х = 3 получим: у! -з=2 3=6. Пример 2.
у = —, найти у'. 1 Решение. Рассуждая так же, как в предыдущем примере, получаем: 1 + " хосьх' х — х — ах Ьх х(х + ах) х(х + сьх)' 1 х(х + сгх)' 1пп ! ! 1 а*-«о1 х(хчах)! = хз' сьу = 1 1 х+Ьх х у = 1пп 4.Ц/ Ьв-«О ОХ Замечание. В предыдущем параграфе было установлено, что если зависимость расстояния е движущейся точки от времени 1 выражается формулой е = 2(1), то скорость о в момент 1 выражается формулой о = !Нп — = )пп Лв . т'(1+ Ссг) — т'(1) аг-«О Ос аС О Сьс Следовательно, о = е~ = У'(1) т.е. скорость равна производной* ) от пути по времени Ф.
3 8. Геометрическое значение производной ') Когда мы говорим «производная по х» или «производная по времени 1» и т д., то под втим мы подразумеваем, что при вычислении производной мы считаем аргументом переменную х иди время 1 и т.д. Мы подошли к понятию производной, рассматривая скорость движущегося тела (точки), т.е. исходя из лееханических представлений. Теперь мы дадим не менее важное геолеетприческое истолкование производной. Для зтого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку Мо. Возьмем на кривой точку Мт и проведем секущую МоМ1 (рис. 58). Если точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке Мо, го секущая МоМ1 занимает различные положения МоМ1, Меме и Т.д. !гл. и~ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Если при неограниченном приближении гочки М1 по кривой к точке Ме с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой МВТ, то прямая ЛХВТ называется касательной к кривой в точке МВ (понятие «стремится занять» будет уточнено ниже). Рис.
50 Рис. 59 Рес. 58 Рассмотрим функцию ((х) и соответствующую этой функции кривую у = у(х) в прямоугольной системе координат (рис. 59). При некотором значении х функция имеет значение у = ((х). Этим значениям х и у на кривой соответствует точка Ме(х,у). Дадим аргументу х приращение Лгх. Новому значеншо аргумента х+ Ьх соответствует «наращенное» значение функции у+ йу = !(х+ Ьх). Соответствующей ему точкой кривой будет точка М1(х+Ьх, у+Ьу).
Проведем секущую МВМ1 и обозначим через у угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отношение Ь» сХх Из рис. 59 непосредственно усматриваем, что —" = тку. С»9 (1) Если теперь Ьх будет стремиться к нулю, то точка М1 будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к Мо. Секущая МВМ1 будет поворачиваться вокруг точки Ме и угол у будет меняться с изменением Ьх. Если при Ьх — ~ О угол у стремится к некоторому пределу о, то прямая, проходящая через Мо и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол о, будет искомой касательной.
Нетрудно найти ее угловой коэффициента: нксг = !пп зй 99 = !!ш — = !'(х). а* о а оах Следовательно, з (х) = !ко, (2) т.е. значение производной ('(х) при данном значении аргумента х равнлетсл гпангенсу угла, образованного с пололсительнмм направлением оси Ох касательной к графику функции ((х) в соот- ветстпвующей точке Мо(х,у). бб диххкпкнцииувмость хункций 5 А1 Пример. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой у = хт в топках М4(1/2, 1/4); Мт( — 1, 1) (рис. 00). Решение.
На основании примера 1 1 2 имеем у' = 2х; следовательно, сб а4 =- у ],— П, = 1, ! 10 от = у ] — 1 = — 2. 2 4. Дифференцируемость функпий Определение. Если функция у = ?(х) имеет производную в точке х = хо, т.е. если существует у(хо + ах) Пхо) (2) ах-+О ~х ах->О Гав то мы говорим, что при данном значении х = хо функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а,6) или интервала (а,6), то говорят, что она дифференцируема на отареэке (а,6) или, соответственно, в интервале (а,6). Теорема.
Если функция у = 1(х) дифференцируема в некоторой точке х = хо, то она в этой точке непрерывна. Действительно, если ]пп —" = 1'(хо) ах- г Пх то Д = йхо)+Ъ где у есть величина, стремящаяся к нулю при Ьх -+ О. Но тогда Рис. б1 45У =,( (хо)ых + 7сах( отсюда следует, что Ьу — 1 О при сах -1 О, а это и значит, что функция ((х) непрерывна в точке хо (см. 2 9 гл. ?1). Таким образом, в квочках разрыва функция не моэ4сета иметнь проиэводной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке х = хо функция у = 1(х) непрерывна, ег(е не следуета, что в этой точке она дифференцируема: функция 1(х) может и не иметь производной в точке хо.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Функция 1(х) определена иа отрезке ]0,2] следующим образам (рис. б1); 1(х) = х при 0 ( (х ( 1, Г(х) = 2х — 1 при 1 < х ( 2. 1гл, и! 66 пгоизводияя и диххвиенциял Эта функция при х = 1 не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Действительно, при Ьх > 0 имеем Д1х ах) — Д1) )211Ч-Ьх) — !) — )2 1 — Ц .
2Ьх Нгп — 1пп — — 1пп — — 2, ь«-зо ь*-«о ьх ь о ах при Гзх < 0 получаем: Д! г Ьх) - г1!) )1 «Ьх) — 1 Ьх 1'пп 1|пг 1~ш ь" о ьх ь* о Ьх ь*чо Ьх Таким образом, рассматриваемый предел зависит от гого, каков знак сзх, а это значит, что в точке х .= ! функция не имеет производной 1. Геометрически этол~у соответствует тот факт, чта в точке х = 1 данная «кривая» не имеет определенной касательной. Непрерывность же функции в точке х = ! следует из того, что сзу = Ьх при Ьх < О, Ьу=2ьх прн Ьх)0, и, следовательно, в обоих случаях Ьу -«О при Ьх -г О. Пример 2. Функция у = чзгх, график которой изобра- Рис. 62 жен на рис, 62, определена и непрерывна для всех значений независимого переменного.
Выясним, имеет лн эта функция производную при х = 0; для этого найдем значения функции при х = 0 и при х = 0 г Ьх! при х = 0 имеем у = О, при х = О+ох имеем у т ау = »ГПх. Следовательно, ьу = б'ьх. Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента: 11ш — = !пл — = !пп — — =..1-со.
ьу . УЬ* ь»ыо Ьх. ь*-,о сзх ь«о.з)Ь т Таким образом, отношевие приращения функции к приращению аргумента в точке х = 0 стремится к бесконечности при Ьх -з 0 (и, знач) т, предела не имеет). Следовательно, рассматриваемая функция не диффереицируема в точке х = 0 Касательаая к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол к/2, т.е. совпадает с осью Оу. 2 5.
Производная от функции у = х" при и целом и положительном Для нахождения производной от данной функции у = )1х), исходя из общего определения производной, необходимо произвести следующие действия: 1) дать аргументу х приращение гьх., вычислить наращенное значение функции: у+ гьу = )(х + Ьх) ! ьи '! По определению производной требуется, чтобы отношение ~ стремилось при Ьх » 0 к одному и тому же пределу независимо от того, хаким образам стремится к нулю Ьх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
