Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 8
Текст из файла (страница 8)
х-++сО х-а — со Замечание 1. Функция у = /(х) при х -+ а или при х — 1 оо может не стремится к конечному пределу илл к бесконечности. Пример 3. Функция у = жпх, определенная на бесконечном интервале -оо < х < +оо, при х -+ оо не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (рис. Зб). 1 Пример 4.
Функция у = з1п —, определенная при всех значениях х, кроме х' значения х = О, не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности при х -+ О. График этой функции изображен на рис. 37. 37 оункция, стгвмяшляся к ввоконвчности Рис. 33 Рис. 37 Определение 2. Функция у = у'(х) называется ограниченной в данной области изменения аргумента х, если существует положительное число М такое, что для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области, будет выполнятся неравенство ~Дх)~ < М. Если же такого числа М не существует, то функция 7'(х) называется неограниченной в данной области. Пример б.
Функция у = йпх, определенная в бесконечном интервале -оо < х < Ч-со, является ограниченной, так как прн всех значениях х ! в!их! < 1 = М. Определение 3. Функция 7(х) называется ограниченной при х -е а, если существует окрестность с центром в точке а, в которой данная функция ограничена. Определение 4. Функция у = 7'(х) называется ограниченной при х е со, если существует такое число А7 > О, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ~х~ > А7, функция 7(х) ограничена.
Вопрос об ограниченности функции, стремящейся к пределу, решается следующей теоремой. Теорема 1. Если 1пп 7(х) = Ь, при этом Ь есть конечное число, х-чв тпо функция 7(х) яеляетпея ограниченной при х -е а. Доказательство. Из равенства 11ш у(х) = Ь следует, что при х-чв любом е > О найдется такое Б, что в окрестности а — Ь < х < а+ 6 будет выполняться неравенство (('(х) — Ь| < е или )У(х)~ < ~Ь|+ е. А зто и значит, что функция 7'(х) ограничена при х-з а.
Замечание 2. Из определения ограниченной функции 7" (х) следует, что если 1пп 7'(х) = со или 1пп 7(х) = оо, т.е. если 7'(х) есть бесконечно большая, то она является неограниченной. Обратное неверно: неограниченная функция может и не быть бесконечно большой. 33 пнидвл нвпнкнынность е кнкций [гл и Например, функция у = хейпх при у=к 3!я х х — [ со является неограниченной, так 'ч; ' ',д; как для любого М > О можно найти такие значения х, что |хзшх| > М. Но зк функция у = хзшх не является бес- 2 конечно большой, поскольку она обращается в нуль при х = О, л, 2к, График функции у = хе[их изображен на рис.
38. Теорема 2. Если 1пп ['(х) = Ь ~ О, а-аа то функция у = 1/)(х) есть ограниченная функция при х э а. Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном е > 0 в некоторой окрестности точки х = а будем иметь |[(х) — Ь| < е, или ||1(х)| — |Ь!| < е, или — е < |г(х)| — |Ь) < е, или |Ь| — е < |[(х)| < |Ь|+ е. Из последних неравенств следует: 1 1 1 — » — —; 16) — е |1(х)) 10) + а' взяв, например, Е = — |Ь|, получаем: 1 10 1 10 — » — —.
9)Ь) |У(х)| П|Ь| А это и зна;, . функция 1/у"(х) ограничена. 3 4. Бесконечно малые и их основные свойства В этом параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором характере изменения аргумента. Определение. Функция «т = «т(х) называется бесконечно малой при х — [ а или х — 1 оо, если 1пп ее(х) = О или 1пп о(х) = О. а-+а Х -1 СО Из определения предела следует, что если, например, 1цп ег(х) = е-аа = О, то это значит, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного е найдется б > О такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х — а| < б, будет удовлетворяться условие |а(х)| < е.
Пример 1. Функция а = (х — 1) есть бесконечно малая црн х -1 1, так как И1ц а м йш (х — 1) 2 = 0 (рнс. 39). -а1 а 1 Пример 2. Функция а = 1/х есть бесконечно малая нрн х -1 оо (рнс. 40) (см. пример 3 1 2). Установим важное для дальнейшего соотношение: Теорема 1. Ясли функция у = [(х) представллетел в виде суммы постоянного числа Ь и бесконечно малой о[ у =Ь+ег, 99 БЕСКОНБЧНО МАЛЫЕ Н НХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Рис. 39 Рис.
40 Рис. 41 )пп у = Ь (при х е а или х -+ со). Обратно, если )!ту = Ь, то можно написать у = Ь+ а, гое а — бесконечно малая. Доказательство. Из равенства (1) следует )у — Ь) = (а!. Но при произвольном е все значения а, начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению !а) < е, следовательно, для всех значений у, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство !у — Ь( < е.
А зто и значит, что )ппу = Ь. Обратно: если )ни у = Ь, то при произвольном е для всех значений у, начиная с некоторого, будет !у — Ь| < е. Но если обозначим у — Ь = а, то, следовательно, для всех значений а, начинал с не которого, будет !а( < е, а зто значит, что а — бесконечно малая. Пример 3. Пусть дана функция (рис. 41) р=1+ -, ! х' тогда !'пп у=1, *-ч со и наоборот, так как 1цп у=1, *.ч х го переменную у можно представить в виде суммы предела ! и бесконечно малой а, равной в данном случае 1/х, т.е. у = 1 -1- а.
Теорема 2. Если а = а(х) стпремится к нулю при х -+ а (или при х -+ оо) и не обращается в нуль, то у = 1/а стремится к бесконечности. Доказательство. При любом как угодно большом М > О будет выполняться неравенство 1/)а~ > М, если только будет выполняться неравенство )а( < 1/М. Последнее неравенство будет выполняться для всех значений а, начиная с некоторого, так как а(х) -Ф О. НРедел ненРеРывность ФункциЙ 1гл н Теорема 3. Алгебраическая сумма двух, тарех и вооби1е.
определенного числа бесконечно малых естаь функция бесконечно малая. Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для л!обого числа слагаемых оно проводится аналогично. Пусть и(х) = ст(х) + /1(х), где 1пп а(х) = О, !Цп /г(х) = О. Доках — га х — га жем., что прн произвольном как угодно малом е > О найдется б > О такое, что при удовлетворении неравенства 1х — а! < б будет выполняться неравенство )и~ < г.
Так как а(х) есть бесконечно малая, то найдется такое 31, что в окрестности с центром в точке а и радиусом б! будет 1ст(х)~ < г/2. Так как ф(х) есть бесконечно малая, то найдется такое бг, что в окрестности с центром в точке а и радиусом бг будет ф(х)( < с/2. Возьмем б равным меньшему из величин б! и бг, тогда в окрестности точки а с радиусом б будут выполняться неравенства 1ст) < е/2; !,д~ < /2. Следовательно, в этой окрестности будет 1и) = ) ст(х) +/3(х)) < ) ст(х)) + 1/д(х) ! < е/2 + е/2 = е, т.е.
1и( < е, ч.т.д. Аналогично проводится доказательство и для случая, когда 1цп а(х) = О, !пп /!(х) = О. е-гсс Замечание. В дальнейшем нам придется рассматривать такие суммы бесконечно малых величин, что с уменьшением каждого слагаемого число слагаемых увеличивается. В этом случае утверждение теоремы может оказаться и неверным. Рассмотрим, 1 1 1 например, и = — + — +... + —, где х принимает только целые пол х х' х слагаемых ложительные значения (х = 1, 2, 3, ..., и, ...).
Очевидно, что каждое слагаемое при х — у оо есть бесконечно малая, но сумма и = 1 не есть бесконечно малая. Теорема 4. Произведение функции бесконечно малой а = а(х) на функцию ограниченную г = г(х) при х -в а (или х — 1 ос) естаь величина (функция) бесконечно малая. Доказательство. Проведем доказательство для случая х — т а. Для некоторого М > О найдется такая окрестность точки х = а, в которой будет удовлетворяться неравенство ~1г~ < М. Для всякого е > О найдется окрестность, в которой будет выполняться неравенство 1сг~ < е/М. В наименьшей из этих двух окрестностей будет выполняться неравенство !аг~ < — 'М = е.
М 2 51 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕ»1АХ А это и значит, что О» — бесконечно малая. Для случая х -5 со доказательство проводится аналогично. Из данной теоремы вытекают: Следствие 1. Если 11шо = О, 11шд = О, то 1!шод = О, так как 1)(х) есть величина ограниченная. Это справедливо для любого конечного числа множителей. Следствие 2. Если 1нп О = О и с = сонэ!, гпо !Нп са = О. Теорема б. Частное а(х))»(х) от деления величины бесконечно малой м(х) на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Доказательство. Пусть 11шо(х) = О, йш»(х) = Ь у-' О. На основании теоремы 2 23 следует, что 1/»(О) есть Величина ограниченная. Поэтому дробь = О(х) — есть произведение вели«(«) «(х) чины бесконечно малой на величину ограниченную, т.е. величина бесконечно малая. 2 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
