Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом нуль называются рациональными числами. Каждое рациональное число может быть представлено в виде отношения — двух целых чисел р и д например —, 1 26 = —. р 5 5 9 7' ' 4' В частности, целое число р можно рассматривать как отношение двух целых чисел с, например 6= —,, 0=— о 1 х(у, х=у, х)у. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны: 1) некоторая точка О, называемая началом отсчета, 2) положительное направление, которое указывается стрелкой, и 3) масштаб для измерения длин.
ь1аще всего мы будем располагать числовую ось горизонтально и положительное направление выбирать слева направо. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются бесконечными, по непериодическими десятичными дробями, назьпзаются иррациональными числами: таковы числа 5У2, ~/3, б — ь72 и т.д. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (или оегцестненнь~х) чисел. Действительные числа упорядочены по величине, т.е. дпя каждой пары действительных чисел х и у имеет место одно, и только одно, из соотношений: 1гл ~ ЧИСЛО, 5!ЕРЕМЕННА55, ФЪ НКЦИЯ Если число хт положительно, то его изображают точкой Мы лежащей справа от точки О на расстоянии ОМ5 = х5, если число хе отрицательно, то его изображают точкой АХ2, лежащей слева от точки О па расстоянии ОЛ/2 = — хт (рис.
1). Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается определенной точкой числовой оси. Два различных действительных числа изображаются различными точками числовой оси. Справедл55во также утверждение: каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа 1рационального или иррационального). 5И5 0 Таким образом, между всеми действительными числами и всеми точками числовой осн существует взаимно одноРис.
1 значное соответствие: каждому числу соответствует единственная изображающая его точка и, наоборот, каждой точке соответствует единственное изсбражаемое ею число. Это дает возможность во многих рассуждениях в некотором смысле равнозначно употреблять понятие «число х» и понятие «точка х». Последним обстоятельством мы будем широко пользоваться в курсе. Укажем без доказательства следующее важное свойство совокупности действительных чисел: между двумя произвольнсями действительными числами найдутся как рациональные, так и иррационсьаьные числа. В терминах геометрических это предложение формулируется так; между двумя произвольными точками числовой оси найдутся как рационалънь5е, так и иррациональные точки. В заключение отметим следующую теорему, представляющую в известном смысле «мостик между теорией и практикой».
Теорема. Каждое иррациональное число о можно с любой степенью точности выразить с помощью рациональных чисел. В самом деле, пусть иррациональное число о > 0 и пусть требуется вычислить о с точностью до 1/п (например, до 1/10, до 1/100 и т.д.). Каково бы ни было ст, оно заключается между двумя действительными числами 11/ и /1/+1. Разделим отрезок между 5У и 5У+1 на п частей; тогда о окажется между рациональными числами н5 т»1 15' + — и )1/ + †„ . Так как разность этих чисел равна 1/п, то, следовательно, каждое из них выражает ст с заданной степенью точности: первое с недостатком, а второе — с избытком.
Пример. Иррациональное число ч52 выражается рациональными числами: 1,4 и 1,0 — с точностью до 1/1О, 1,41 и 1,42 — с точностью до 1/100, 1,414 и 1,410 — с точностью до 1/1000 и т.д. лщ н»нп нлн тг ш ~ннл гп н тнн|н нного нн, ~л 8 2. Абсол1отная величина действительного числа Введем пужпо1' лля,лальпейшсхо понятие абсолюгпо11 вели пщы действи ~олиного пила. Определение.,4бсолюп1ной осли шной (или модулам) действи(обо1па плелся )~!) называотс11 нсег1р1п1зта1ыюс действнте. п,нее 1пс ю, удоанетворя1ощес условиям ~л~ — л, если х > О, )х~ = — х, если х < О. Примеры: )2~ — -- 2; ! — 5( = 5; О! =- О. Из определения следует, что для л1обого х снраведзн1во соотношение х < (х!.
Рассмотриы некоторые свойсгва абсолюзпых величин. 1. Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действигаельных 'тсел не больше сумлеы абсолюганглх величин слагаемых: (х + у( < (х( + (у(. Доказательство. Пусть х+ у > О, тогда ~х + у! = х + у < ~х(+ (у~ (.гак как х < (х! и у < )у~). Пусть х+ у < О, тогда (х + у) = — (х + у) = ( — у) -~- ( — у) < )зй + )у(, ч. т.д.
Проведенное доказательство легко распространяется па любое шсло слагаемых. Примеры: ! -. 2 -1- 3,' < ( — 2, '-~- (3! = 2 -1- 3 = 5 влн 1 < 5; ( — 3 — 5)=! — 3(ь( — 5(=-345=8 нли8=8. 2. Абсолютная осли ~ина разноси1и не меньше разности абсолютных вели пгн 1меяьшаемого и вычитаемого: )х — у! > )х) — (у), )х! > )у!. Доказательство. Положим х — у = г, тогда х = у+ г и по доказанному. (4 = ~у+ в( < )у(+ ф = (р)+ )х — у(, откуда )х! — )у! < (х — у), '1.Т.Д. ~гл з число,пкгкмкннля,екнкция 3.
Абсолютная величина произведения равна пуоизведению абсолзозтнъзх величин сомнооюипзелейз: )хуг! = Ц)у!ф. 4. Абсолютззая величина частного равна зашпному абсолютяъзх величин делимого и делителя: Последние два свойства непосредственно следуют из определения абсолютной величины. з 3. Переменные н постоянные величины В результате измерения таких физических вели зин, как время, длина, площадь, объем, масса, скорость, давление, температура и т.п., определяются численные значения физических величин. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их численные значения.
В различных явлениях некоторые ззеличины изменяются, т,е. меняются их численные значения, другие величины сохраняют свое численное значение. Так, при равномерном движении точки время и расстояние меняются; скорость остается постоянной. Переменной величиной называется величина., которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. В дальнсйгпем переменные величины мы будем обозначать буюзами х, у, х, и,... и т.д., постоянные величины будем обозначать буквами а, 5, с,... и т.д. Замечание.
В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все численные значения одинаковы. Следует отметить, что при рассмотрении конкретных физических явлений может иметь место такое положение, что величина с одним и тем же названием в одном явлении оказывается постоянной, в другом — переменной.
Например, скорость равномерного движения есть величина постоянная, а скорость равномерно ускоренного движения — величина переменная. Величины, которые сохраняют свое значение в любом явлении, называются абсолютными постоянными. Например, отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная и = 3, 14159... Как мы увидим на протяжении всего курса, понятие переменной величины является основным понятием дифференциального и интегрального исчислений. 17 Оьлясть измвнения пееемгнноп величины з 4. Область изменения переменной величины Переменная величина принимает различные числовые значения.
В зависимости от характера рассматриваемой задачи совокупность этих значений может быть различная. Нанример, температура воды, подогреваемой в обычных условиях, будет меняться от комватной температуры, равной 15-18'С, до точки кипения, 100'С. Переменная же вели ~ина х = созо может принимать все значения от — 1 до +1. Значения переменной величины геометрически изображаются точками числовой оси. -I О х 1 х Так, значения переменной х = созо при всевозможных значениях о изображаются совокупностью точек отрезка числовой оси, от — 1 до 1, включая и точки — 1 и 1 (рис.
2). Рис. 2 Определение. Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью излсекен и этой переменной. Отметим следующие области изменения переменной величины, которые часто будут встречаться в дальнейшем. Проме.нсутхом, или интервалом, называется совокупность всех чисел я, заключенных между данными числами а и 6 [а < 6), при этом сами эти числа ке прикадлезюат рассматриваемой совокупности чисел; его обозначают так: [а, 6) или с помощью неравенств а < я < 6. Отрезком, или сегментом, называется совокупность всех чисел я, заключенных между двумя данными числами а и 6, причем оба числа а и 6 прикадлезесагп рассматриваемой совокупности; его обозначают так: [а,6] или с помощью неравенств а < х < 6. Иногда отрезок называется залсхкутилс промежутком, или замкнутым интервалом.
Если одно из чисел а или 6, например а, присоединяется к промежутку, а другое — нет, то получается полузамкнутый промежуток, его можно задать неравенствами а < х < 6 и обозначить [а, 6). Если присоединяется число 6 и пе присоединяется число а,. то получается полузамкнутый промежуток [а,6], который можно задать неравенствами а < х < 6. Если переменная х принимает всевозможные значения, большие чем а, то такой интервал обозначают [а, +со) и задают условными неравенствами а < х < +со.
Так же рассматриваются бесконечные интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые условными неравенствами а < я < +со, — сю < т < с, — со < х < с, — оо < я < +со. Пример. Области изменения переменной х = созе при всевозможных значениях а есть отрезок ]-1,1] и определяется неравенством -1 ( я'~ ~1. и' > число и>>> >г»г>~пля, щ> пипия Датц,>Е ВЫШЕ ОПРЕДЕЛСНПЯ МОжПО СфОРМУЛИРОВа>ьп ИСПОЛЬЗУЯ вместо понятия «чпсло» понятие «го>кв», например: Отрезкоэи называется совокупность всех то юк х, закэпочсппых между данпымп точкамп а и Ь (концажи отде;то).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
