Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 6
Текст из файла (страница 6)
25 11римечаиие. При ннхогкдеиии ьт нужно учитывать. Рг какой и ои ргн находится точка. и брать соотвстсгнугогпее зна и ил1е р. Урнтюнпг. р = г(,р) в полярной системе координат определяет некощг) к1 линию. Пример 1. Уравнение р = а, где а = сопзь, определяет в полярных «оордииатвх окружность с центром в полюсе и радиусом а.
Уравнение этой окружности (рит 25) в прямоугольной системе координат, расположенной так, как указано на рве. 24. будет: 5ухг+уз=а или х -~-у .=а . Пример 2. р = ар, где о = сопзг. Со чаьпм таблину значений р прп некоторых лна ~ениях 52: р' О х,г4 ' хг'2 Зхг'4 я Зяг'2 [ 2х Зт ~ 4х р, 0,0,78а 1,57а -2,36а =3,!4а =4,71а ж6,28а =0,42а[=12,5ба Соогветстячющая кривая изображена на рис. 26. Эта кривая называется спиралью ггрхиисда. Пример 3. р = 2а сов ух Вто уравнение окружности оадиуса а, центр которой находится в то те ро — -- а, р = 0 (рис. 27).
Напишем уравнение этой окружности н прямоугольных координатах. Подставляя в данное уравнение р = угхг -1- уг, т 2 2 Х совр= — г=' — =, будем ижть: уха+уз=25 — л=== ,гх24 уг' ' ' ь' 7х,ггйуг илн хг .ь уг — 2ах = О. Рис. 27 Упражнения к главе 1 1. Дана функция Дх) = х +бг — 4. Проверить, *мо 1(1) =- 3, ДЗ) = 23. 2.
Дх) = гг — 1. Вычислить значения: а) Д4). Оггго. 17. 6) 7(ъ'2). Ото. 3. в) )(а-1- 1). Ота. а2.1.2а Ф 2. г) 1(а) .1.1. Ото. аг -1-2. д) /(аг). Опге. аг -~-1. е) [г(а))2. Ото. а5 -1-2аг-~-1. ж) Д2а). Опге 4а2-1-1. 3. 52(х) = (х — 1)(Зх -1- 5) '. Написать выражтшя: Х(17х) и 11'фт). Огпо. 52(17х) = (1 — х)(3 1- 5х) '; 1гчр(х) =- (Зх -1 5)(х — 1) 4.ф(х) = ъ хс-1-4. Написать выражения й12х) игр(0). Ото. Ь(2х) .= 2у 52 4-Т; гу(0) = 2.
3 «о! ГРВ«ГЯР«ГАЯ Г'ИСТИМА КОМРДИ«!АТ 2/(О) б. /(О) = 1й 0 Г!ровсрить раяенгтво /(20) = ! — (/(0)"- ' 1 — « а-1-б « 6, в«(х) = 18 — — — 1!роверить равенство Ф(а), р(б) =- ч«! 1 1- г ! 4 об 7. /(х) =. !Зх; В«(.г) .—...гз. Написать выражения. а) /(вг(2)) Оте 3!32. б) /(В«(а)).
О«по. 3 !За в) в«(/(а)). Оп«о, [!За)«. 8. Пай«и естественну~о область определения функции у = 2х«!. Огпв — сс < о < «-оо. 9. Найти естественные области определения фупнпий: а) игà — т2 Отп . 1 ( .г, ( +1. б) /3-, 'г. -«- ь'7 — х Олго. — 3 ( т ( (7. в) лги+ а — ««гг — б Огпв а -1-.е -со < г.
< хоо г) — — — Опщ. т. ф а д) агстп х. Ота. — 1 (.г ( 1. е) у =13«. а — х Оп«в, л > О. ж) у =- о' (а > О). Ото. — оо < х < фоо. Пос ~ роить графики функций: 2 10, у = — Зх 1- 5. 11. у = — '+ !. 12. у = 3 — Зхг 13. у =- ' + Зг — !. 14, 2 у = 1'(х — 1) 15. у = з!и 2х 16.
у = со«Зх 17. у = хг — Зх -ьб. 18. у = — —. «г « н« ! 19. У = з!«г(х+ — /. 20. У = со«!я — — !. 21. У = 1б -х 22. У = с!8(х/4). 23. у =- 3 . 24. у = 2 * . 25. у = 1об (1/х). 26. у = х«+ 1. 27. у = 1 — хт. 28. у=1/хг 29 у=х«30,у=хе. 31.у=иск. 32.у=(игх) ' 33.0 34. у = )х(. 35. у = !ой«)х( 36. у =!ой«(1 — х). 37.
у = Зв1п(2х -1- — 1. 38. 3) у = 4 сов(х+ — /. 2 39. Функция /(х) определена на отрезке ( — 1; Ц следующим образом: /(х) = 1 -1- х при — 1 ( х ( б; /(х) = 1 — 2х г«ри б ( х (~ 1. 40. Функция /(х) определена па отрезке (0,2) следу~оп!и«г образом. /(х)=х~ при 0(х~(1, /(х)=х при 1~(х~(2 Построить кривые, данные полярныл«и ураинениями 41. р = а/р (гиперболическая спираль), 42. р = ае (легарггфмическая сггираль). 43. р = а,/сов 29 (лемнискота).
44, р = а(1 — сову) (кордиоида). 45. р =- аз!пЗВ«. Глава П ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ З 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины, изменяющиеся специальным образом, который определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела переменной будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа — - производнвя, интеграл и др.
Определение 1. Постоянное число и называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа е можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству !х — а! <ж Если число а есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу и, и пишут: х — т а или !!них = а ~. В терминах геометрических определение предела может быть сформулировано следующим образом; Постоянное число а есть предел пере- 0 г х а менной, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром !х-а! в точке а и радиусом е найдется такое значение х, что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой окрестности (рис.
28). Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к пределу. Пример !. Переменная величина х последовательно прпнимвет значения в!=1Ь1, хг=1« —, из=1« —, ..., х„= !+ —, ... 1 1 3' '''' й' ''' «Нпг» есть сокращение латинского слова йгпеь -- предел. пгнг!е ! и!згемгпнои нкпп'!пны Дока!кем.
!!о зтп переменив ! ве !и !ина имеет предо !, равный единице. 1!меем ( „- Π—. (1-ь,-',) -1(- '- Для побого г вес посл!ду!о!пие значения псременной, начиная с номера и, где 1/и < г, и пи и > 1Й, булут удовлетворять нерво~исток т„-11<!, чтд. заметим, что шегь переменная величина стрсьп!гся к пределу, убывая Пример 2.
Г!ерс»!сипая величина т последовательно принимает зна гения 'г! =1 — —., тг= ! г- —, тз=-1 — —, хз=!Š— з,, е»=1Е( — !) 1 1 1 ! 2' ' 2т' 2з' 24' Чта переменная имеет предел, равный единице. Действительно, 1гв — 1( = ((1 .!- ( — 1)" /2") — 1! = 1/2" .
Для л!обого с. начинал с номера п, удовлетворяющего соотношению 1/2» < г, нз которого следует 1й(1/с) 2" > 1!'с, и 1«2 > 1й(!/с), или и > !й2 (х — а( < е и (х — Ь( < б при произвольно малом б, а это невозможно, если е < (Ь вЂ” а)/2 (рис. 29). ш-и! а Ь-и с< 2 ух, з зхт 'х, л', х, х„ о~= Рис. 30 Рис. 29 Замечание 3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная величина х последовательно принимает следующие значения: 1 1 1 1 х! = ! х2 1 4 хз й! ... ! Х2ь 1 22»! 2ьгг 2зь-г! все последующие зяачення х будут удовлетворять соотношению (х„— 1( < е.
Отметим, что здесь значения переменной величины то больше, то меньше предела. Переменная величина стремится к пределу, аколеблясь вокруг него». Замечание 1. Как указывалось в 2 3, гл. 1, постоянную величину с часто рассматривают как величину переменную, все значения которой одинаковы; х = с. Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоянной, так как всегда выполняется неравенство (х — с( = (с — с( = О < б при любом с. Замечание 2. Из определения предела следует, что переменная величина пс может иметь двух пределов. Действительно, если 1(тх = и и 1!в!:с = Ь (а < Ь), то х должен удовлетворять сразу двум неравенствам: пгглкл непнгнывность Функций пз!, н 32 1рис.
30). При достаточно большом й значение х 1 и все носледу!ошие значения с четными номерами будут отличаться как угодно маою от единицы. а следующее значение хзг.„и все поглсдутошие значения х с нечетными номерами будут как утодно мало отличаться от нуля. Следовательно, переменная х не стремится к пределу. В определении предела указано, что если переменная величина стремится к пределу а, то а — постоянное число. Но понятие «стремится» употребляется и для характеристики другого способа изменений переменной величины, что видно пз следующего определения Определение 2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству ~х~ > М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
