Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

прп >ел> концы отрезка принадлежат рассматриваемой совокупности Окрас>инес>пью данной то >ки хо называется гц>оизвольный интервал (а, Ь). содержащий эту то'>ку внутри себя, т.е. е е интервал (а, Ь). концы которого удовлетворяют условию а < хо < Ь.

Часто рассматривается окрестность (а, Ь) точки хо, для которой хо явллегся серединой. Тогда хо называется центром окресгпности, величина (Ь вЂ” а))2 называется радиусолг окресгпности. На рис. 3 изображена окрестность (хо — е, то + е) точки хо с радиусом 2 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины.

Ограниченная переменная величина Будем говорит>п что переменная х есть упорядоченная перелге>п нал величина, если известна область изменения этой переменной величины и пРо кажДое из ДвУх любых ее значений можно скаьпт>ч какое значение предыдущее и какое последующее. Здесь пон >тия «предыдущее» и «послсдуюп1ее» пе связаны со временем, а являются способом «упорядоченпя» значений переменной величины, те. установления порядка соответствующих значений переменной величины. Частным случаем упорядочения переменной величины янляется переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность х>, хт, хз, ..., ха, ...

Здесь при /с' < 1с значение хь — «предшествующее», а значение х>,. — «последующее» независимо от того, какое из этих значений больше. Определение 1. Переменная величина называется всзрастаюи1ей, если каждое последующее ее значение болыпе предыду>цего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего, Возрастающие переменные величины и убывающие переменные величины называются монотонно излгеняюи]илепсл пс ременными величинами или просто монотонными величинами.

Пример. Пря удвоении числа сторон правильного вписанного э круг иного- угольника площадь е этого многоугольника является аоэрастающей перемекяой величиной. Площадь правильного оцксаяного около круга многоугольника прк удвоении числа сторон является убывающей переменной величиной. Заметам, что яе всякая переменная величина является непременно еоэрасгающей вли убыэающей. Так, например, переменная к = е>по, если о есть возрастаю>цая эелячяяа яа отрезке ]О, 2к], не является монотонной величиной.

Она ееачала возрастает от 0 до 1, затем убывает от 1 до — 1, я, наконец, возрастает от -1 до О. !9 б б1 ФУНКЦИЯ Определение 2. Переменная величина х называется ограниченной, если существует такое постоянное ЛХ > О, что все последующие значения переменной, начиная с нгкоторого, удовлетворяют условию — ЛХ < х < ЛХ, т. е. ]х] < ЛХ.

Иначе говоря, переменная величина называется ограниченной, если можно указать такой отрезок [ — ЛХ, ЛХ], что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут принадлежать этому отрезку. Однако не следует думать, что переменная величина будет принимать непременно все значения отрезка [ — М,ЛХ]. Например, переменная величина, принимающая всевозможные рациональные значения на отрезке [ — 2, 2], ограничена, тем пе менее она не принимает всех значений на [ — 2,2], а именно иррациональных. 9 6.

Функция При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а слвцовательпо, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении двюкения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть функция времени.

Рассмотрим другой пример. Известно, что площадь круга выражается через радиус так: Я = кйг. Если радиус Я будет принимать различные числовые значения, то площадь Я также будет принимать различные числовые значения. Таким образом, изменение одной переменной влечет изменение другой. Здесь площадь круга Я есть функция радиуса Хб, Сформулируем определение понятия «функция». Определение 1.

Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от х или, в символической записи, у = Х(х), у = у(х), и т. и. Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х и у называется функциональной зависимостью.

Буква Х в символической записи функциональной зависимости у = Дх) указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение у. Вместо записи у = Х(х), и = уб(х) и т.д. иногда пишут у = у(х), и = и(х) и т.д., т.е. буквы у, и и т.д, обозначают и зависимую переменную, и символ совокупности операций над х.

Запись у = С, где С вЂ” постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении х одно н то же и равно С. Определение 2. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила Дх), называется областью определения функции (или областью сущесгпнооания функции). (Г.ч ! га ~ис ло пю кмвпиля. шь ницци Пример 1.

Фепкция у =- Мпз определеяа при всех значениях т. Следовап.выло, ее областью определения будет бесконечный интервал — оо <:ь < -~-оо Замечание 1. Если имеем функцио альпую зависимость двух переменных вели ши х, и у = 1(х) и если х и у =- Д(х) рас.- сматривать как упорядоченные переменные величины, то из двух ~ыачений фу'нкции у" = )(х") и у** = ) (х**), соответствующих двум значениям аргумента х* и х**, последующим значением функции будет то, которое соответствует последу|ощсыу значению аргумента.

Поэтому естественно, например, следующее определение, Определение 3. Если функция у = ((х) гакова, что болыпему значению аргумента х соответствует большее значение функции, то функция у = 7"(х) называется оозрастаюиьей. Аналоги шым образом определяется убыоаю1дал функция. пример 2. Функция Ц =- тдз при О < и < -ьсо есть функция возрш.'та|сизая, зак как болыпему зиачеиию Н (оответствует большее зла шиие ( >.

Замечание 2. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению х, принадлежащему некоторой области, соответствует не одно, а несколько значений у или даже бескончиое множество значений у. В этом случае функцию называзот многозначной в отличие от определенной выше функции, которую называ1от однозначнойй В дальнейшем. говоря о функции, мы будем иметь в виду только однозначные функции. Если в силу необходимости придется иногда иметь дело с мпогозначными функциями, то мы будем делать специальные оговорки.

3 7. Способы задания функции 1. Табличный способ задания функпии. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента хы хг, , Хп И СООтВЕтСтВУЮЩИЕ ЗпаЧЕНИЯ ФУНКЦИИ УЫ Уг, ..., Уп. Хт Х2~ . Хп У Ут У2 .- Уп Таковы, например, таблицы тригонометри веских функций, таблицы логарифмов и т.д. В результате экспериментального изучения явлений также могут получиться таблицы, выражающие функциональную зависимость между измеряемыми величинами.

Так, например, в результате измерения температуры воздуха на метеорологичоской л~ошадке в определенный день получается следующая таблица: Значение температуры Т (о градусах) о зависимости от времени 2 (о часах) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Т О вЂ” 1 -2 — 2 — 05 1 3 35 4 Эта таблица определяет Т как функцию й спогогы злдлния ькнкции П. Графический способ задания функции. Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторукс говокуинсють точек Л1(х, р), при этом никакие две точки ие .

юткаг на одной прямой, параллельной оси Г)у, то эта совокупность точек опргделяст некоторую однозначную функцию у = Г(х); значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями функции гоответствующис ордннаты (рис. 4). Совокупность точек плоскости (хОу), абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты —. соответствующими значениями функции, называется графиком данной Фрикции. б т П1. Аналитический способ задания функции.

Сначала разъясним понятие «аналитическое выражение». Аналитическим оьсражением будем называть символическое обозначение совокупности известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные величины. Отметим, что под совокупностью известных математических операций будем понимать не только математические операции, известные из курса сродной исколы (сложение, вычитанио, извлечение корня и т.д.), но и те, которые будут определяться по мере изучения курса. Аналитическими выражениями, например, являсотся: х~ — 2, (1кх — зспх)/(бх + 1), 2* — т/5+ Зх и т.д. Если функциональная зависимость у =- Г(х) такова, что Г обозначает аналитическое выражение, то говорят, что функция у от х задана аналитически.

Примеры функций, заданных аналитически: 1) у = х~ — 2, 2) у = (х+1)(х — 1) ', 3) у = т/1 — хг, 4) у = зтпх, 5) Гг = тЛг и г.д. Здесь функции заданы аналитически с помощью одной формулы (иод формулой понимается равенство двух аналитических выражений). В таких случаях можно говорить о естпестпвенной области определения функции. Естгстссенной областттью определения функции, заданной аналитически, является совокупность значений х, при которых имеет вполне определенное зйачеиие стоящее справа аналитическое выра>кение. Так, естественной областью от~ределения функции у = х' — 2 является бесконечный интервал — со < х < +со, так как функция определяется при всех значениях х.

Функция р = (х+ 1)(х — 1) определена при всех значениях х, кроме значения х = 1, так как при этом значении знаменатель обращается в нуль, Для функции у = кГТ вЂ” хг естественной областью определения будет отрезок .-1<х<1 и тд. 22 чис'ло,пьгамгннля,Функция Замечание. Иногда бывает нужно рассматривать не всю естественную область определения функции, а только некоторую ее часть.

Характеристики

Список файлов книги