Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если переменная х стремится к бесконечности,то ее называют бесконечно болыиоа переменной величиной и пишут х -+ оо. Пример 3. Переменная величина х принимает значения х! — — — 1,х =2,хз= — З,...,х„ж( — Ц"и, Это — бесконечно большая переменная величина, так как прн пронзвольном М > 0 все значения переменной, начинал с некоторого.
по абсолютной величине будут больше М. Переменная величина х «стремится к плюс бесконечности», х — у +Со, если при произвольном М > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству М < х. Примером переменной величины, стремящейся к плюс бесконечности, может служить переменная величина х, принимающая значения х! = 1, хт = 2, ..., х,„— — п, ....
Переменная величина х «стремятся к л!янус бесконечностнв, х — ! — оо, если прн произвольном М > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, бущут удовлетворять неравенству х с -М. Например, переменная х, принимающая значения х! .— — — 1, хт = -2, х = -и, , стремится к минус бесконечности. 2 2. Предел функции В этом параграфе будем рассматривать некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности. Определение 1. Пусть функция у = 21х) определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция у = 2"гх) сп!реми!пел к пределу б (у — ! б) прн х, стремящемся к а (х — г а), если для каждого положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное зз ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ с в1 число б, что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих неравенству" ]х — а] <д, имеет место неравенство [у[х) — Ь] < е.
Если Ь есть предел функции у"[х) при х — э а, то пишут: 1пп Дх) = Ь Рнс. 3! или у [х) г Ь при х — э а. Если Дх) — э Ь при х — г а, то на графике функции у = у[х) это иллюстрируется следующим образом (рис. 31): так как из неравенства ]х — а] < 6 следует неравенство ]у[х) — Ь] < е, то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на д, точки М графика функции у = у'[х) лежат внутри полосы шириной 2е, ограниченной прямыми р = Ь вЂ” а и у = Ь+ ж Замечание 1.
Предел функции У[х) при х — э а можно определить и следующим образом. Пусть переменная величина х принимает значения так (упорядочена так), что если ]х* — а] > ]х" — а], то х™ есть последующее, а х' — предыдущее значение; если же ]х' — а] = ]х*' — а] и х* < х", то х"' есть последующее, а х' — предыдущее. Другими словами, из двух точек числовой прямой последующей является та точка, которая ближе к точке а; при равных расстояниях последующая — та, которая правее от точки а.
Пусть упорядоченная таким образом переменная величина х стремится к пределу а [х — ~ а или 1ппх = а]. Рассмотрим, далее, переменную величину у = у[х). При этом будем считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Ю Здесь имеются в виду те значения х, удовлетворяющие неравенству 1х — а1 < < 6, которые прннадлежат облвстн определения функции. Аналогичные обстоятельства будут встречаться н в дальнейшем.
Так, прн рассмотрении поведения функцнн прн х -+ оо может случиться, что функция определена только прн целык положительных значениях х. Следовательно, в этом случае х — ь оо, прнннмая только целые положительные значения. Оговорок об этом мы в дальнейшем делать не будем. пгидал нвпнкеывность ххнкций 34 !гл. и Если определенная так переменная величина у при х -+ а стремится к некоторому пределу 6, то будем писать )пп /(х) = 6 и говорить, что функция у = /(х) стремится к пределу Ь при х -+ а.
Рис. 32 Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание 2. Если /(х) стремится к пределу 61 при х, стремящемся к некоторому числу а так, что х принимает только значения, меньшие и, то пишут !цп /(х) = Ь! и называют 6! пре- т — ге — О делом грункции /'(х) в точке а слева. Если х принимает только значения, ббльшие, чем а, то пишут )пп /(х) = 62 и называют х — га4-О 62 пределом функ!(цц в точке а справа (рис. 32).
Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны, т.е. Ь1 = 62 = Ь, то 6 и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке а. И обратно, если существует предел функции 6 в точке а, то существуют пределы функции в точке а справа и слева и они раины. Пример 1. Докажем, что !!щ (Зх + 1) = 7. Действительно, пусть задано произвольное е > О;для того чтобы выполнялось неравенство )(Зх + 1) — 7! < е, необходимо выполнение .едующих неравенств: !Зх — б! < с, !х — 2! < е/3, — е/3 < х — 2 < е/3. Таким образом, при любом е для всех значений х, удовлетворяющих неравенству (х — 2! < е/3 = 3, значение функции Зх + 1 будет отличаться от 7 меныпе, чем на е. А это и значит, что 7 есть предел функции при х -+ 2.
Замечание 3. Для существования предела функции при х — > а не требуется, чтобы функция была определена в точке х = а. При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности а, отличные от а; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером. Пример 2. Докажем, что !!гп (хз — 4)Дх — 2) = 4. Здесь функция (хз — 4)/(х — 2) не определена при х = 2. Нужно доказать, что при произвольном е найдется такое 3, что будет выполняться неравенство ! 2 — 4)<е, если (х — 2~ < Ю. Но при х ф 2 неравенство (1) эквивалентно неравенству — 4~ = )(х+ 2) — 4) < е (х — 2)(х + 2) (х — 2) или (х — 2! < е. (2) 35 ОУПК!Н!Я, СТРЕМЯЩАЯСЯ К ВЕСКОНЕЧНОСТИ Ьз! Таким образом, при произвольном с неравенство 11) будет выполняться, если б!удет ныполняться неравенство 12) 1здесь Ю = е).
А зто и значит, что данная функция при х — ! 2 имеет пределом число 4. Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при х -+ оо. Определение 2. Функция /1х) стремится к пределу Ь при х — э со, если для каждого произвольно малого положительного числа е можно указать такое положительное число )!/, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству )х~ > )У', будет выполняться неравенство )/1х) — Ь) < с. Пример 3.
Докюкем, что 1пп ( ) = 1 или, в иной записи, !пп (! -!- -) = 1 тх » 1'! I ...1. )- Нужно доказать, что при произвольном е будет выполняться неравенство 13) если только )х) > Ас, причем 1У определяется выбором е. Неравенство 13) эквивалентно следующему неравенству: )1/х) < е, которое будет выполняться, если будет Рис. 33 )х) ) !/е = 1У, Это и значит, что Шп (1-1- -) = !пп — = 1 1рис. 33). х+1 Зная смысл символов х э +со и х — э — оо, очевидным является и смысл выражений: «Дх) стремится к Ь при х -+ +со» и «Дх) стремится к Ь при х -+ — со», которые символически записываются так: 1пп /(х) = Ь, !пп /'(х) = Ь. 3 3.
Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функпии Мы рассмотрели случаи, когда функция /1х) стремится к некоторому пределу Ь при х -+ а или х -+ оо. Рассмотрим теперь случай, когда функция у = /1х) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента. Определение 1. Функция /1х) стремится к бесконечности при х -4 а, т.е.
является бесконечно бал»таей величиной при х -Р а, если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое Б > О, что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию )х — а) < д, имеет место неравенство ),/1х)) > М. Зб предел. непРеРывность ФункциЙ (Гл. н Если /(х) стремится к бес.'конечности при Х вЂ” 1 а, то пишут: )!ш /(х) = оо или /(х) — 1 оо при х — 7 а.
х Если /(х) стремится к бесконечности при х -+ а и при этом принимает только положиРис. 34 тельные или только отрицательные значения, соответственно пишут )цп /(х) = +оо или !пп /(х) = — оо. х — са х-со Пример 1. докажем, что 1пп(1 — х) т = +со. действительно, при любом с-а1 М > 0 будем иметь: (1 х)-2 > М если только (1-х)' <1/М, (1-х(<1/УсМ=й Функция (1 — х) т принимает только положительные значения (рис. 34).
Пример 2. Докажем, что 1пп (--/ = оо. Действитель- 1' .,о но, при любом М > О будем иметь: ~ — 1/х! > М. Х если тзл чо , '= ~х — О~ < 1/М = 5 Здесь ( — 1/х) > О при х < 0 и ( — 1/х) < 0 при х > О (рис. 35). Если функция /(х) стремится к бесконечности при х -з со, то пишут: Рис. Зб !Нп /(х) = оо, и, в частности, может быть: )нп /(х) = оо, )пп /(х) = со, )пп /(х) = — со. х-1.1-со х-+-оо х — а+со Например, )(ш хз = +со, )пп хз = — со и т.п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
