Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 11
Текст из файла (страница 11)
53 непРеРывность ФункциЙ 1 О! Теорема 2. Всякая непрерывная функция непрерывна в казкдой гпочке, в которой она определена' >. Пример 3. Функция у = хт непрерывна в любой точке хо и потому 1пп х =кот, !Нпхт=зт=9. — О Пример 4. Функция у = згп х непрерывна в любой точке и потому !Нп згп х = юп(к/4) =;/2/2. «-г«>4 б. Функция у = е* непрерывна в каждой точке и потому !Нп е = е г 6.
!Нп = !Нп — !п(1 + х) = !Нп 1п[(1 + х) * ]. Так как !п(1+ х> . 1 «-го Х «-го Х «-го = е и функция !их непрерывна при з р О, и, следовательно, при Пример Пример йт(1+ х)* «ФО з = е, то !!гп 1/х =+со, !Нп 1/х = -оо. «-го+О «-го-о Легко показать, что зта функция непрерывна при любом значении х ф О. '> Этот вопрос подробно изложен в книге Г.М. Фиачпенгольиа «Основы математического анализа», т. 1, Физматгнз, 19б8.
!Нп !О[(14-х)*) = !и[!!гп(1-!-х) ) = !не = 1. Определение 2. Если функция у = /(х) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,Ь), где а ( Ь, то говорят, что функция непрерывна на згпом ингпервале. Если функция определена и при х = а, и при этом 1пп /(х) = «-+«+о = /(а), то говорят, что функция /(х) в точке х = а непрерывна справа. Если 1пп /(х) = /(Ь), то говорят, что функция /(х) в *-+Π— О точке х = Ь непрерывна слева.
Если функция /(х) непрерывна в каждой точке интервала (Е,Ь) и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что /(х) непрерывна на замкнупюм инп>ервале или огпрезгсе [а, Ь]. Пример 7. Функция у = хз непрерывна на любом отрезке 1«,Ь), что следует из примера 1. Если в какой-то точке х = хо для функции у = /(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, т.е.
если при х = хо функция не определена или не существует предел 1пп /(х), или 1пп /(х) ф /(хо) при произвольном стремлении *-+во *-+*о х — > хо, хотя выражения, стоящие справа и слева, существуют, то при х = хо функция у = /(х) разрывна. Точка х = хо в этом случае называется гпочкой разрыва функции. Пример 8.
Функция у = 1/х разрывна при х м О. Действительно, при х = О функция не определена; пРедел непРВРыпность ФункциЙ !гл. ц 54 Пример 9. Функция у = 2 разрывнв при х = О. 1 Действительно, !Еп 2 = оо, 1нп 2* = О. Прн х ю О е-«Е«С -гс-с функция не определена (рис. 50). Пример 10. Рассмотрим функцию /(х) = х/)х). При х < О будет х/)х( = -1; при х > О будет х/)х) = 1, Следовательно, Рис. 50 !цп /(х) = !Еп х/)х) = — 1, 1нп /(х) ю !Нп х/)х( = 1; -го+с -ге+с 5 10.
Некоторые свойства непрерывных функе(мй В этом параграфе рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти свойства будут сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства' ). Теорема 1. Если функция у = /(х) непрерывна на некотором отрезке [а,6) (а < х < 6), то на отрезке [а, 6] найдешся по крайне!2 мере одна точка х = х1 такая, чгпо значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению У(х ) > /(х) где х — любая другая точка ошрезка, и найдется по крайней мере одна точка хг такая, чшо значение функции в этой точке будет удовлетворять соот- ношению Рис.
52 /(хг) < /(х). Значение функции /'(хг) будем называть наибольшим значением функции у = /(х) на отрезке [а,6), значение функции /"(хг) будем называть наименьшим значением функции на отрезке [а,6). е) Доказательства этик теорем можно найти в кинге Г.М. Фихтенгольце «Основы математического анализа», т. 1, Физматгиз, 1958. при х = О функция не определена. Таким образом,мы установили, что функция Дх) ю х/)х) разрывнв при х ю О (рис. 51). Рис. 51 Пример 11. Функция у ю юп(1/х), рассмотренная в примере 4 1 3, разрывив прн х = О.
Определение 3. Если функция /(х) такова, что существуют конечные пределы 1пп /(х) = /(хо+О) и 11п! ./(х) = /(хе -О), е-+со+О е-«ее-О но или 1пп /(х) ф 1пп /(х), или значение функции /(х) при е-+ее+О еюео-О х = хо не определено, то х = хо называется точкой разрыва 1-го рода, (Например, для функции, рассмотренной в примере 10, точка х = 0 есть точка разрыва 1-го рода). 55 некогогые свойства непгегывных аункций Коротко эту теорему формулируют так: Непрерывная на отрезке а < х < Ь функция досгпигает на этом отпреэке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т. Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рис. 52.
Замечание. Утверждение теоремы о существовании наибольшего значения функ- и М /Ь,/(Ь)/ ции может оказаться неверным, если рас- ,'/(Ь) сматривать значения функции на интервале а < х < Ь. Так, например, если мы будем Йа) рассматривать функцию у = х на интерва- М,/а,/(а)/ ле 0 < х < 1, то среди ее значений иет наибольшего и нет наименьшего. Действи- Рис. 55 тельно, на интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значений х. (Нет крайней левой точки, так как, какую бы ни взяли точку х*, найдется точка левее взятой, пах" пример точка —; также нет крайней правой, а следовательно, нет ни наименьшего, ни наибольшего значений у = х.) Теорема 2.
Пусть функция у = /'(х) непрерывна на отрезке (а, Ь1 и на концах этого отрезка принимает значения разных зна- ков, гпогда между точками а и Ь найдегпся по крайнеп мере одна точка х = с, в которой функция обраи4ается в нуль: /(с)=0, а<с<Ь. Зта теорема имеет простой геометрический смысл. График непрерывной функции у = /(х), соединяющий точки Мг(а,у(а)) и Мг(Ь,)(Ь)), где /(а) < 0 и ,/(Ь) > 0 (или /(а) > 0 и /(Ь) < 0), пересекает ось Ох по крайней мере в одной точке (рис. 53).
Пример. Дана функция у = хг — 2; у =1 = — Ц у -т = б. На отрезке [ц2] она непрерывна. Следовательно, на этом отрезке существует точка, где у = х — 2 обращается в нуль. Действительно, у = О при х = 52 (рис. 54). Теорема 3. Пусть функция у = /(х) определена и непрерывна на отрезке (а,Ь). Если на концах эгпого отрезка функция принимаегп неравные значения /(а) = А, /(Ь) = В, то каково бы ни было число р, заключенное между числами А и В, найдегпся гпакая елочка х = с, заключенная между а и Ь, что /(с) =,и. Смысл данной теоремы отчетливо иллюстрируется на рис.
55. В данном случае всякая пряу мая у = )г пересекает график функции у = /(х). Замечание. Отметим, что теорема 2 являет- Р =/(с ся частным случаем этой теоремы, так как если 0 а с Ь А и В имеют разные знаки, то в качестве,и можно взять 0 и тогда /г = 0 будет заключено Рис. 55 между числами А и В. 2 ° пгедел. ннпееиывность хункций 1гл. !! 55 Слецствие теоремы 3. Если Функция у = /1х) непрерывна на нгкотпором интпервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное мемеду ге наименьшими и наибольшими значениями. действительно, пусть /(х1) = М, /ттхг) = т. Рассмотрим отрезок 1хг,хг), Тогда по теореме 3 на этом отрезке функция у =/1х) принимает лют х бое значение д, заключенное между М и т.
Но отрезок 1х1, хг) заключен внутри рассматриваемого интервала, на котором определена функция /1х) !Рис. 56). 2 11. Сравнение бесконечно малых Пусть одновременно несколько бесконечно малых величин а, А 7,... являются функциями одного и того же аргумента х и стремятся к нулю при стремлении х к некоторому пределу а или к бесконечности. Охарактеризуем стремление этих переменных к нулю, рассматривая их отношения'1. Будем пользоваться в дальнейшем следующими определениями, Определение 1. Если отношение )3/а имеет конечный и отличный от нуля предел, т,е. если 1пп13/а = А ~ О, а следовательно, 1нпа/17 = 1/А ф О, то бесконечно малые )д н а называются бесконечно малыми одного порядка.
Пример 1. Пусть и = х, д = и!п2х, .где х -+ О. Бесконечно малые и и д одного порядка, тик как '! Будем предполагать, что боокоиечио малая, стоящая я знаменателе, ио обращается и нуль и некоторой окростиооти точки и, Бщ — = 1пп — х = 2. д . шп2х ° оп „о х Пример 2. При х — т О боскоиечио малые х, и1пзх, 1И2х, 71п(1+ х) являются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Доказательство проводится аналогично тому, кик зто сделано и примере 1. Определение 2. Если отношение двух бесконечно малых )д/а стремится к нулю, т.е. 1нп,д/а = О (а 11ша/,9 = оо), то бесконечно малая д называется бесконечно малой величиной высшего порядка, чем бесконечно малая а, а бесконечно малая а называется бесконечно малой низшего порядка, чем бесконечно малая 1э.
Пример 3. Пусть и = х, р = х", и > 1, х -т О. Боскоиечио малая б есть беокоиечио малая высшего порядка, чем бесконечно малая и, тик как 1пп х"/х = 1пп х" ! = О. о т-~о При этом бесконечно малая а есть бесконечно малая низшего порядка, чем бесконечно малая 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
