Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2) Равенство (2) справедливо и прн Ьи = О при произвольном о, так как оно превращается в тождество О = О. При Ьи = О будем полагать а = О. Разделим все члены равенства (2) на Ьх: Ьу ~Ьа Ьи — = у — +о —. Ьх "Ьх Ьх По условию 1пп — = и, Ьи йа О 1пп о=О. а. о Пусть дана сложная функция у = 1(х).
т.е. такая, что ее можно представить в следующем виде: у = г'(и), и =:р(х) или у = Е(1о(х)] (см. гл. 1, З 8). В выражении у = Е(и) переменное и называют промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема. Если функция и = 1о(х) имеет в некоторой точке х производную и = ~р'(х), а функция у = с'(и) имеет при соот- ветствующем значении и производную у„' = Е'(и), то сложная функция у = Е(1о(х)) в указанной точке х также имеет произ- водную, которая равна у = Р„(и)Зз (х), где вместо и должно быть подставлено выражение и = ю(х), Коротко, пгоизводная ог сложной юинкции ГГереходя к пределу при !Зх э О в равенстве (3), получим: (4) пример 1.
пусть дава функция у = мп(хз). найдем у',. Данную функцию представим как функцию от функции следуюпгим образом: у = Мп и, и —...:г Находим р„= соз и. и' .= 2х Следовательно, по формуле (1) у' = у„'и' =- соя и . 2х. Подставляя вместо и его выражение, окончательно получаем: у', = 2х соя(хт). Пример 2. Дана функция у = (!и х)з. Найдем р' . Данную функцию представим следующим образом. у=.и, и=!пх з Находим: и 1 х' у = Зиз Следовательно, дх = Зи — = З(1п х) з— или У' = х,'(и)Зоь(и)ф'(х) Пример 3. Дава функция у = юп((!пх)з!. Найдем у'. Представим данную функцию следующим образом: и = и', з у = вй1 и, и = !пи. Находим; р', = соз и, и'„=- Зи-, и~ = 1/х. Следовательно, по формуле (5) получаем.
у' = у„'и',и = 3(соя и)из —, или окончательно у' = соа((!их)з! 3(1пх) Заметим, что рассмотренная функция определена только при х > О. Если функция у = Г(х) такова, что ее можно представить в виде у = Г(и), и = (о(и), и = !5(х), нахождение производной у' производится путем последовательного применения предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем: Применяя эту же теорему для нахождения и'„будем имег!и ! ! и =и„и,. Подставляя выражение и,' в предыдущее равенство, полу'гаем: (5) !гл. ш ПГОИЗЗОДНЗЯ И ДИСЗПЗГКНЦИЗЛ '2 10. Производные функций у = си х, у = с(их, у = )п]х] 1 Теорема 1. Производнол от функции (их равна,, т.е.
052 .. если у=(хх, то у =— 1 со52 х (Х1) Доказательство. Так как ЗГО Х у = —, СОЗХ' то по правилу дифференцирования дроби [см. формулу (у'П1) ~ 7 гл. 111] получаем: (Ып Х) СО5 Х вЂ” ЯП Х(СОБ Х) СОЗ Х С05 Х вЂ” ЯП Х( — 5!П Х) у С05 Х СОЗ Х СОЗ Х -1- З!П Х 1 сопг х СОЗ Х ! Теорема 2. Производнал от функции псих равна — —.— 2 —, т.е.
51П Х если у = с(их, то у = — — 2 1 5102 Х' (Х11) Доказательство. Так как СОЗ Х у = 51П Х то 1 (СОЗХ) ЯПХ вЂ” СОБХ(ЯПХ) — Б1ПХ5!ПХ вЂ” СОБХСО5Х 5!пг х з!пг х ЗЕ*! .С. 510 Х ЯП Х Пример 1. Если у = 15;гх, то У 2 (и~) 2 соз игх 25гх с05 515 Пример 2. Если у = !пссбх, то Рис, бз у = — (ссбх)' = — ( — ! =— 01е х осе х з!Ог х соз х 510 х яп 25 ' Теорема 3. Производнол от функции 1п]х] (рис. бЗ) равна 1/х„ та.е.
если у = )п]х], то у' = 1/х. (Х111) Доказательство, а) Если х > О, то ]х] = х, )п]х] = 1пх и поэтому у' = 1/х. 77 116 НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФВРВНЦИРОВАНИЕ б) Г1усть х < О, тогда (х~ = — х. Но 1и ~х( = 1п(-х). (Заметим, что если х < О, то — х > О.) Г!редставим функцию у = 1п( — х) как сложную функцию, положив у = 1пи, и = — х. Тогда у, = у~и~ = Т(-1) = ~ (-1) = ~. з 11.
Неявная функция и ее дифференцирование Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое мы символически обозначим так; г"(х1у) = О. (1) Если функция у = Г(х), определенная на некотором интервале (а,у), такова, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения Г(х) обращается в тождество относительно х, то функция у = Г(х) есть неявная функция, определенная уравнением (1). Так, например, уравнение у х +у~ — а =О (2) неявно определяет следующие элементарные функ ции (рис.
64 и 65): а О Рис. 64 у = т/ат — хт, Р) -а 0 а у угз т (4) х Действительно., после подстановки в уравнение (2) этих значений, получаем тождество Рис. 65 х~ + (а — хт) — а = О. Выражения (3) и (4) получились путем решения уравнения (2) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. можно представить в виде у = 7(х)"1, где ,7(х) есть элементарная функция. '> Если функция задана уравнением вида у = Пт), то говорят, что функция задана ванном воде или является явила. 1Лтак, для отрицательных значений х также имеет место равенство у,'=1/ .
Следовательно, формула (Х1П) доказана для любого значения х Ф О. (При х = О функция !И(х( не определена.) 7В !гл н! пгоизводняя и !иФФнРГнц!!А.! Так, например, функции, заданные уравнениями в у — у — х" =О или у — х — — з!пу .—. О, !' нс выражаются через элементарные функции, те ми уравнения нельзя разрешить относительно у. Замечание 1.
Отметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризу!от не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция у = 1'(х) может быть представлена и как неявная у — Дх) = О. Укажем, далее, правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е, не представляя в виде у = 1(х) Допустим, что функция задана уравнением х -ьу — а =О. Если здесь у есть функция от т, опредсляемая этим равенством, то это равенство есть тождество.
Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что у есть функция от х, получим (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции)! 2х+ 2уу' = О, откуда Заметим, что если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию у = ~/аз — хз, то получили бы: !! а~ — х~ у т.е. тот жс результат. Рассмотрим еще один пример неявной функции у от х: у — у — х =О. в 3 Дифференцируем по х: бузу' — у' — 2х = О, откуда у Замечание 2. Из приведенных примеров следует, что для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента х нужно знать и значение функции у при данном значении х. !>Роичводные степенной Функции 79 9 12.
Производные степенной функпии при любом действительном показателе, показательной функции! сложной показательной функции Теорема 1. Производная от функции х", где и — любое действительное число, равна ах", т.е. если у = х", тпо у = пх" (1') Доказательство. Пусть х > О. Логарифмируя данную функцию, будем иметь: 1п у = н 1и х.
Дифференцируем обе части полученного равенства по х, считая у функцией от х: — = п-, у = уп —. у' ! Подставляя сюда значение у = х", окончательно получаем: у =ох Легко показать, тто зта формула верна и для х < О, если только хя имеет смысл" >. Теорема 2. Производная от функции а*, где а > О, равна а*!па, т.е. если у = а*, тпо у' = а*1па. (Х)У) Доказательство.
Логарифмируя равенство у = а*, получим: 1п у = х1па. Дифференцируем полученное равенство, считая у функцией от х: — у' = 1па, у' = у1па у илн у' = а*1па. Если основание а = е, то 1п е = 1 и мы получим формулу у=в*, у'=в*. (Х117') Пример 1. Дана функция т у = е* Представим ее как сложную функцию, введя промежуточный аргумент и: 2 у=с, и=х, тогда у„' =е", и' =2х в, следовательно, хз у' = е"2х = е* 2х. "> Эта формула была ранее доказана 11 б гл. П1) для случая, когда и является целым полоэсительным числом. Теперь формула 1!) доказана в обптем случае 1для любого постоянного числа и).
80 пгоизвод!вкя и диеевевнцикл (гл. щ Сложной показательной функцией называется функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от х, тв например (зшх)*, х'в*, гв, (1пх)*, вообще, всякая функция вида у = [и(х)]"1') = и' есть сложная показательная функция*'). Теорема 3. у = и", спо у' = ии" 1и'+ и"и'1и и. (ХЪ') Если Доказательство. Логарифмируем функцию у: 1и у = и! и и. Дифференцируя полученное равенство по х, будем иметь: -у =и — и +и1пи, 1 ~ 1 ~ ! у и откуда у' = у(п — + о' 1п и) . Подставляя сюда выражение у = и", получаем: у' = ии" !и'+и"и'!пи.
Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а о есть постпоянная (т.е. если рассматривать и" как стпепенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что о есть функция от х, а и = сопз1 (т.е. если рассматривать и' как показаптельную функцию). Пример 2.
Если у = к*, то р' = кз* 1(к') -Ь х*(к')1п к илн и = к» .~- х 1и з = т*(1 +!их). Пример 3. Если и = (в!их)", то у' = з~(в1пт)в (в!пз)~ -~- (в1пз)" (з~)~!пв1пз = = т~(йп к)в 1 сов х + (в!и к) 2к (п в!ив. Прием, примененный в этом параграфе для нахождения производных и состоящий в том, что сначала находят производную логарифма данной функ!(ии, широко применяется при дифференцировании функций. Применение этого приема нередко значителщво упрощает вычисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
