Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 16
Текст из файла (страница 16)
"! Часто такую функцию называют показательно-степенной или степеннопоквзательной. ! гз) овгдтнля езнкцня н кн дие иегинциговянив Пример 4. Требуется найти производную от функции ( + !)г * : (х + 4) е* Решение. Логарифмируя, находим: 1п у = 21п(т -1- 1) -1- — 1п(г — 1) — 3!п(т -~- 4) — т. 1 2 Дифференцируем обе части последнего равенства: У 2 ! 3 — — — 1 У и -1- 1 2(т — 1) г -~- 4 (ге !)з,й:1 Умножая на у и подставляя -3 — — вместо у, получаем; (хе4) е* (г + 1) ч'г — 1 ( 2 + ! 3 (х+4)зев (х1 1 2(г — 1) я+4 1' Замечание.
Выражение —" = ()пу)', являющееся производной У по х от натурального логарифма данной функции у = у(х), называется логарифмической производной. 3 13. Обратная функция и ее дифференцирование Пусть дана возрастающая (рис. бб) или убывающая функция у=йх), (1) определенная па некотором интервале (а, Ь) (а < Ь) (см.
3 6 гл. 1). Пусть ! (а) = с, ((Ь) = с(. Для определенности будем в дальнейшем рассматривать возрастающую функцию. Рассмотрим два различных значения х! и хг, принадлежащих интервалу (а,Ь). Из определения возрастающей функции следует, что если х! < хт и у! — — 2(х!), уз = 1(хз), то у! < уг. Следовательно, двум различным значениям х! и хг соответствуют два различных значения функции у! и уз. Справедливо и обратное, т.е. если у! < уг, у! = Цх!), а уг = 3(хг), то из определения возрастающей функции следует, что х! < хг. Таким образом, между значениями х и соответствующими им значениями у устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Рассматривая эти значения у как значения аргумента, а значения х как значения функции, получаем х как функцию у: х = уз(у). (2) Эта функция называется обратной для функции у = 1(х). Очевидно, что и функция у = ((х) является обратной для функции х = )о(у). Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную. Замечание 1. Укажем без доказательства, что если возрос!дающая (или убывающая) функция у = !'(х) непрерывна на отрезке [а, Ь[, причем у'(а) = с, !'(Ь) = с(, то обратнаи функция определена и непрерывна на отрезке [с,с([. нРОизводнля н диФФЕРанцилз! )гтя, н! г/ п70 !! !0 х, х! Ь Рис.
66 Рис. 67 Рис 68 Пример 1. Пусть дана функция у = кз. Эта функция — возрастающая на бесконечном интервале — сс < т < Рос, онв имеет обратную к = л,у Грнс. 67). Заметим, что обратная функция х = !Р(й) находится путем рещения уравнения й = )'12) относительно ж Пример 2. Пусть дана функция у = е*. Эта функция — возрастающая на бесконечном интервале — со < т < Фсо. Она имеет обратную т = 1п у. Область опрщгеления обратной функции О < у < -1-оо !рис. 68). Замечание 2. Если функция й = )'1х) не является ни возрастающей, ни убываюнгей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций* ).
Пример 3. Функция у = лт определена на бесконечном интервале — со < к < < !со. Она ие является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной. Если мы рассмотрим интервал О ( л < Фсо, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет к = „у. Нв интервале же — сю < т < О функция -- убывающая, и обратной для нее будет функция к = — ь и !рис. 69). Пример 4.
На рнс. 68 построены графики функции у = сь Гиля к = 1пу) и обратной для нее функции у = 1пт, рассмотренных в примере 2. Докажем, далее, теорему, позволяющую находить производную функции у = )')х), знан производную обратной функпии. '1 Подчеркнем еще рвз. что, говоря о том, что у есть функция от к, мы пони!гаем однозначную зависимость у от к.
Замечание 3. Если функции у= ))х) и х=зз(у) являются взаимно обратными, то графиками их является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через х, а 0 л функцию через у и построим их в одной коордиРпс.бв НатНОй СнетЕМЕ, тО ПОЛУЧНМ УжЕ Дна РаЗЛИЧНЫХ графика. Легко видеть, что графики будут симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. зз з <з) ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ВБ <ИФФЕРБНЦИ<'ОВАНИБ (Х У'1) по х, считая у функцией ог х, Получим 1 = <р'(у)у', откуда ух ~( ) Полученный результат наглядно иллюстрируется геометрически.
Рассмотрим график функции у = 7(х) (рис. 70). Эта же кривая будет графиком функции х = у>(у), где х рассматривается уже как функция, а у — как независимая переменная. Рассмотрим некоторую точку ))г(х,у) этой кривой. Обозначим углы, Образованные даняой касательной с положительными напра- *) Когда мы пишем 1'(х) или у', то мы считаем, что при вычислении производной в качестве независимого переменяого берется х; когда же мы пишем Ч>'(у) или х'„, то мы считаем, что при выч<юлении производной роль независимого переменного играет у. Заметим, что после дифференцирования по у, укаэанного в правой части форз<улы (ХУ1Е надо в.местно у подставигпь Пх), Теорема. Если для фу>тцна у = Х(х) (1) сущесп<в<ует воротная функции Хх р(у): (2) которая в рассматриваемой точке у имеет производную <о'(у), отпличную атп щ)ля, то в соап<ветстпвующей точке х функц<о< у= )(х) имеет производную )"<(х), равную,, тн.е.
справедлива формула л'(у) ' )"'(х) = —, ФА у) Таким образом, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единнце, деленной на производную второй из этих функций при с<>ответствуюпгих значениях х и у*). Доказательство, Возьмем приращение Азу, тогда на основании (2) <зх = р(<у+ <ту) — <р(у). Так как р(<у) есть функция монотонная, то <йх ф О. Напишеа< тождество (3) ях пу Так как функция <)>(у) непрерывна, го Ьх -+ 0 при <зу — > О. Переходя к пределу при Ьу — > 0 в обеих частях равенства (3), получим: у', = —, или 7" (х) = —; — „ э' <г (у) т.е.
получили формулу Х'у'1. Замечание. Если пользоваться теоремой о дифференцировании сложной функции, то формулу Ху'1 можно получить так. Дифференцируем обе части равенства (2) )гл. и! пгоиззо/!няя н днФФегницняз! 2 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование 1) Функция у = агсз!пх. Рассмотрим функцию х = гйпу (1) и построим ее график, напранпн ось Оу вертикально вверх (рис. 71). Эта функция определена н бесконечном интервале — со < у < +сю.
На отрезке — — < у < —, функция х = гйп у возрастающая, ее значения заполняют отрезок — 1 < х ( 1. Поэтому функция х = ейпу имеет обратную, которую обозначают так: у = агсзшх') 2 д=-агсгпп х -/ О / х 2 к=5!г! !/ Рис. 71 Эта функция определена на отрезке Рис. 72 — 1 ( х < 1 ее значения заполняют отрезок — и < у < —.
На рис. 71 график функции у = агсз!пх изображен жирной лг!нией. Теорема 1. Производная от функции агсгйп х равна 1 ч/г х т.е. (Х1 П) если у = агсз!пх, то у 1 Л вЂ” х~ Доказательство. На основании равенства 11) находим: х' = сову. У По правилу дифференцирования обратной функции ! 1 ! ух х'„сов у ' ") Отметим, что известное из тригонометрии равенство у = Агсмпх есть другая запись равенства (1). Здесь /при данном х) у обозначает совокупность значений углов, синус которых равен х. нл! лиями осей Ох и Оу, соответственно, через о и /й На основании результатов 2 3 о геометриче! ком значении производной имеем: У 1х) =- гй!т, !/5 Ь) = 1К/!.
С4) я и Иг! рис. 70 следует, что если о < — ', то /) = — ' — ос Если же 2' ' 2 о > —, то, как легко видеть,,) = — ' — о. Следовательно, и любом слу'гае 1яб = с1ягт, о!куда 1/ !11$д = Цогфо = 1 или Ц!! = Подставляя выражения для гко и гк/) из формулы (4), получаем: У'(х) = —,' т'/у) 2 14! ПРОИЗБОЛНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНМЕТРИЧЕОКИХ ФХНКЦИЙ 88 но поэтому поред корнем берется знак плюс, так как функция у = вгся!Нх я принимает значения на отрезке — — ( у < — ир следовательно, сову > О.
Пример 1. у = агапе*, у = !е*) 4/1 — 1е )г 4/1 — ег Пример 2. 1хг У = (аГСЯ!П вЂ” г! у' = 2 агсяп — ! -) = — 2 агсяпп х хъ/х~ — ! 2) Функция у = агссоя х. Как и выше, рассмотрим функцию 12) х = сову у = агссоя х Эта функция определена на отрезке — 1 < х ( 1. Значения функции заполняют отрезок к > у > О. На рис. 72 график функции у = агссоях изображен жирной линией.
Теорема 2. Проияводнал от функции агссозх равна —— 1 т.е. О! — х~' если у = агссоях, то у =— 1 1 /Т:х ' Доказательство. На основании равенства !2) находим: Х' = — 81П У. у !ХЧН1) Следовательно, 1 у* Но соя у = х, поэтому 1 1 21п У /! — спяг у г 1 1/х = яр,... р=,Л: '„,р рь.. рр так как значения функции у = агссовх заполняют отрезок О < у < я и, следовательно, гйп у > О. и построим ее график, направив ось Оу вверх 1рггс. 72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
