Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 19
Текст из файла (страница 19)
6. у = гв х, ду = 2 !К х — Л вЂ” Ух. соа — х — 1 7. у = Л Э 1в х, а!у =- — - .— — дх. 2 чт1 -' 1п х х выражение для дифференциала сложной функции. Пример Пример 11айдем Иусть у = 2(и), и = !р(х), или у = Дуг(х)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции — = 1„(и)р!х), следовательно с(у = 1„(и) р'(х)дх; но !р'(х)дх = с(и, поэтому находим: ду = сова — дх! 2 ~х ду = 7"'(н)ди. Таким образом, дифференциал сложной функции имеет !пот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент и бы независимой перел!анно!2. Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумента функции независимой перел!виной или функцией другого аргумента.
Это важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала, будет широко использовано в дальнейп!ем. Пример и. Дана функция и = а!в ч!хх. Найти Ну. Решение. Представив даввую функцию как с!!ожиую! у = Мв и, и = чтх, гоо (г.,'! !!! пеонзводнан и диспеген!гнал но ах = ап. поп!ос!у можно написать: 2 ьгхт ау = сов!та!с или ау — — сов(ьгх) ((чгх). 8 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию Из треугольника МКТ находим: Л)г хо) )ду '! тк7Т = МЛг 'с8 св; а та,к как ~8 с! = 7'(х), МЛЛ = сах, х хеах х то гУТ = 1'(х) Ьх,: Рпс.
88 но согласно определении! дифференциала ,Л'(х) Лгх .= ду. Таким образом, Последнее равенство означает, что дифференциал фунгщии Л(х), соотоетсгаеующий а'! х данным значениям т и Ьх, равен при- О л хеах ращению ординаты касательной к кривой у = Л(х) е данной то ске х. Из рис. 86 непос~едсгвенно следует, что М,Т = ау — сгу. По доказанному ранее, — э О при скх -у О. ;Т МТ Не следует думать, что всегда сху больше ссу. Так, на рис.
87 оку = Мт%, с(у = .к7Т, причем глу < с(у. Предполагая, что функция тг(х) имеет конечную производную в точке х, получаем о к к/2. и соответствующую ей кривую (рис. 86). Возьмем на кривой у = ф(х) произвольную точку М(х.у), проведем касательную к кривой в этой точке и обозна'гим через о утоп'), который касательная образует с положительным направлением оси Ох. Дадим независимому переменному приращение !ах; тогда функция получит приращение Лгу = )уМ!. Значениям х + стх, у + сху па кривой у = Л(х) будет соответствовать гочка Лг!'! (х+ Лвх, у+ Ьу). 101 нРг1изводные Раз/1и /ных ПОРядкоп з' 22. Производные различных порядков Пусть функ/)ия у = ((41) цтгфс)1ерепцнр) ема на нското)зом огрезк1.
(а, 5). Вначения производной /'(х). вообще говоря, зависят от х, те. производная /"'(х) предспсаеляепс собой тоз/се функции/ от Дифференцируя згу функцпк1. мы полу /аем 1ак называемую вторую производную от функции ) (х). Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом уп нли фо(х): уо = (//')' =- /'и(: ) Так, например, если у = х', го у' = 5х, уо = (5х4)' = 20хз. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или трегаьей производной и обозначается через у'и или /'п(х). Вообще, производной п-га порядка от функции /(х) называется производная (первого порядка) от производной (п — 1)-го порядка и обозначается символом у/о) или /'/п)(х): /я) (, )и -1))г /)я)(Х) (Порядок производной берется в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени.) Производные четвертого, пятого и высших порядков обознача- ются также с помогцью римских цифр: у, у~, уш,...
В таком случае порядок производной можно писать без скобок. Например, если у =. хг, то у' = 5х4 уп =- 20хз, уп' = 60х"', у/У = у/4) = 120х, ущ) 120 у(а) /т) ' ... 0 ' 11ример 1.,11аца функция у =- ес* (й .— — сапах). найти выражение ес проки водной любого порядка и. Решение. у' = /сее*, уо =- Ьге"*, у1 1 =. й" еь*.
Пример 2. у = а)ох. Найти ущ), Решение у =. сог х =- мп х ).— 2/' у =-. ° а1пх-.= Мп(х-)-2 а— ), 2/' у = -совх=аш)х 1-3 — ), / . Хг у =- йп х =- ми (х Р 4 —.' ) ., / у/" = а1п (х 1- и — ), Аналогично выводятся формулы для производных любого порядка и от некоторых других элементарных функций. Читатель ПРОИЗВОДНАЯ ИДИФФЕРЕНПИПЛ (гл. Иэ сам сможет найти формулы для прои эводных п-го порядка от функций у = х, у = созх, у = 1пх. На случай производных лэобого порядка легко обобщаются правила, указанные в теоремах 2 и 3 2 7.
В данном случае имеют место очевидные форлэульп ~)(п) — и(п) + (п) 'Си)(п) = б и(п) Выведем формулу (так называевгую формулу Лейбница), дающую возможность вычислить производную п-го порядка от произведения двух функций и и(х)и(х). Для того чтобы вывести эту формулу, мы найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка: пи+ни, ипи + и'и' + и'и' + иип = ипи + 2и'и' + ии", у = у у'и = и'пи + ипи + 2ипи' + 2и'ип + и'ип + иип' = = и'пи + оипи' + Зи'ип + ии', е * и .=ае *, и =ае и г г и =2, и(") = а" у(") = а"е"*хг Ф и " 'е * 2 1 2 11 2 или у(") = е !а"х -(-2па" эх -~- п(п — 1)а" Закон составления производных сохраняеття для производных лэобого порядка и заключается, очевидно, в следующем. НадО ВЫражЕНИЕ (и+и)п раЗЛОжлтЬ ПО фОрМуЛЕ биНОМа НЬЮтОПа и в полученном разложении заменить показатели степеней для и и и указателями порядка производных, причем нулевые степени (и = ио), входящие в крайние члены раэложения, надо заменить самими функциями (т.е.
«производными нулевого порядка»): у(п) = (ии)(п) = (и)(п)и+ пи(п )и'+ и(" )оп + . + ии("). ! 2 Это и есть формула Лейбница Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом полной математической индукции (т.е. доказать, что из справедливости этой формулы для порядка и следует справедливость ее для порядка п+ 1). Пример 3. у = е *хг. Найти производвуго у("). Решение. соз 5 гг~ лиг ьвгвнциклы слзлссчньсх пос'яцков з 23.
Дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию р = ((х). где х -- независимое переменное. Дифференциал агой функции дй = ( (х)дх есть некоторая функция от х, по от х может зависеть только первый сомножитель г'(х). второй же сомножитель (дх) является приращением независимого переменного х и от значения этого переменного не зависит. Так как с1у есть функция от х, то мы имеем право говорить о дифференциале этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом нли дифференциалолс второго порядка этой функции и обозначается через дгу: 12 Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем: д р = [с'(х)дх['дх. Так как дх от х не зависит, то дх при дифференцировании выносится за знак производной, и мы получаем: дг Ун(х)(д )2 Принято, записывая степень дифференциала, опускать скобки; так, например, вместо (дх)г принято писатс дхг, подуазуьсевая под этим квадрат выражения дх; вместо (с1х)г пишут с1х и т.д.
Трегаьссм дифференциалолс или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала: д д = д(д р) = [У'о(х)дхг)'дх = (о'(х)дх . Вообще, дифференииалом я-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка: сГ'и = д(д" 'у) = [(1" П(х)дхо ']'д~, д"у = (Рй(х)дх". (1) Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соотвегствующего порядка: йх) = Й ~о(х) = „†"," ~'"'(*) = 3 (2) Замечание.
Равенства (1) и (2) (при п ) 1) верны только для того случая, когда х является независимым переменным. Действительно, пусть имеем сложную функцию у = Г(и), и = ср(х). (3) 104 производная и диа пневнцилл ~гл. ш или а У = хиои(11)(сги) +ли(и)'2 " 'де и г' = ч' (х)Фт) . Аналогичным образом находятся с)зу и т.д.
Пример 1. Найти ау н Игу сложной функции у = Мни, и = з/х. (5) Решение. ду = сози - йх = сон иии. 1 2 уса Далее, по формуле (5) получаем а' у = — Мни(ни) +созиа и =- — з1пи(ии) + сони и (их) з'"и( ) (их) +соки( з12)( 2 24. Производные различных порядков от неявных функпий и функций, заданных параметрически Покажем на примере способ нахождения производных различных порядков от неявных функций. Пусть неявная функция у от х определяется равенством — + У вЂ” 1 = О. а2 62 (1) Дифференцируем по х все есть функция от х: 2х аг отсюда находим: члены этого равенства, помня, что у + — — '=О; 2у иу 62 йх- Ф Ьгх йх „2, ' Последнее равенство снова дифференцируем по х что у есть функция от х): (2) (имея в виду, Иу 6 Йх у — х -а игу а 2 а2 у2 Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инвариантную форму, независимо от того, будет ли и независимой переменной или функцией от х ду = К„'(и)гг'и.
(4) Второй дифференциал и последующие дифференциалы этим свойством не обладают. Действительно, на основании (3) и (4) получаем с) у с)(~е(и)Ни) Но здесь 11и = уг'(х)пх зависит от х, и потому мы получаем и у = с)(Е'„'(и))11и+ Р'„'(21)с)(с~и) НРОИЗВОДНЫЕ ОТ НЕЯВНЫХ ФУНКПИй 105 Подставляем сюда вместо производной — У.
ее выражение из равенгга Йг ства (2), получаем: ь2 х Ьг а р Р -~- х — 2— а- у" агг ,г г или после упрощения ,е р ьг(а'„' е Ь' -') агхг агуг Из уравнения (1) следует, что 2 2 Ьг 2 252 поэтому вторую производную можно представить в виде Кр ьг 222 а2уг ггх ггх ' (4) 42 г Для нахождения второй производной — — у дифференцируем по х ггх равенство (4), имея в Виду, что Ь есть функция от х: 42 42 (5) по последние выражения в формулу (5), получим: Нх гггу 12а гггх 4212 гьг 1222 ггг Мт ггхг [Дх1)2 гп 1 Гх Их 42 Подставляя 42 Дифференцируя по х последнее равенство, найдем -„-ф и т.д. Нх 2. Рассмотрим теперь задачу о нахождении производных высших порядков от функции, заданной параметпричесни.
Пусть функция у от т задана параметрическими уравнениями: х = уг(2) 1 у=1(ь)) ' ь <ь<т, (й) причем функция х = уг(1) на отрезке [1В,Т) имеет обратную функцию ь = Ф(т). В 2 15 было доказано, что в этом случае производная -х опре- 41 Нх деляется равенством 1ОЕ )ГП. П1 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФКРЕН1ШЛЛ Последней формуле можно придать следующий, более компактный вид: ~ц еР" (1)ЕР'11) — Р'(1)Р" (1) с)хз Лт'(1) з ,1з „ Аналогичным образом можно найти производные — — т, — т и г.д. пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
