Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти /г! (х), Оте. — 6/(х + 1)4. 180. у = гйх. Найти уп'. Опав 6зесех — 4зесгх. 181. у = !пвпх. Найти у'". Отв. 2 сей хсозесг х. 182. Дх) = чгвес 2х. Найти /" (х). Отв. /" (х) = 3[/(х))з — /(х). хз 4! д 183. /(х) = . Найти /ги(х). Оп!в.. 184. р = (дг +аз)агспй —. 1 — х (1 — х)з а г!зр 4аг а г к йгу Найти —. Отв. 185. у = — (е -!. е /. Найти —. Отв. (. +,)-' !!хг ' ' аг 186. у = совах. Найти у!"!. Отв. а" соз(ах+ пк/2) 187. у = а*. Найти и — ! ( у!"!. Оп!в. (!и а)" а 188. у = !и(! -1- х). Найти у! !. Оп!в. ( — 1)" (1 ! х)п ' 1!5 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Н) х 211 189.
у = —. Найти у1"! Ото. 2(-1)" — —. 190. у = е'х. Найти 1 г-х (! ! х) (11 — ! ! УС" 1. Оте с*(х -1- и). 191. у =. т" ' !о т. Найти у1'"'. Ото — — —. 192. у = миг х. Найти у1"1. Оте. — 2" ' сов(2х-С- тг112). 193. у =. хв1пх, Найти у1"! Опге. хоп(х С хп)2) — псов(х С хгг(2). 194. Если у .= с* в!пх, го доказать, что бгу 4а' уп- 2у', 2гг = 0 195. уг = Сах.
Найти — Ото. — —,, 196. Ьгхг 1-агуг = агут. уз ,СС,Сз „ 14 3!ох 12 Найти —, и —. Отв —,; — —. 197. хг + уг = гг. Найти — Отв ,Сх2 бхз ' а2уз а4ув' ' Зхг „2 ,Сзу,Сз, — 198. !12 — 2ху = О. Найти —. Огне. О. 199. р = 18(р.1- р).
Найти —. уз' ухз' ' ' ' ' арз' 2(5 -1- 8р' 1- Зр') Опы. — ' . 200. весу совр = С Найти —,. Оте. —. 201. ,в ' ' ' ург' ' с зр гсггу (1 — с*+У)(е* — ев) г 1- х = е" -!- у. Найти — „. Опге. — — 202. уз 4- хз — Заху = О. Ихг (ег .1- 1)з гну 2а ху Найти —. Ото. — . 203. х = а(С вЂ” в!пс), у = а(! — сов С).
Найти ,Схг ' (уг х)з ' г . г гС гг — Опге. - — 4 204. х = асовг С, у = Ьипг С Показать, что — = О. г(хг 4а Ып4(С(2) . бзу Зсо С 205. х = асов1, у = Ьыпс. Найти —. Ояге. — — 206. Показать, что ггхз аг ыпв С 42» ,Сг «1 ггх2 ' ггхг» 1-1 — (вйх) =вйх; (вйх) =с.йх. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали 207. Написать уравнение касательной и нормали к кривой у = хв — Зхг — х+ 5 в точке М(3,2). Огпв. Касательная 82 — у — 22 = 0; нормаль х 4- 8у — 19 = 0 208.
Найти уравнение касательной и нормали, длины подкасательной и поднормали окружности хг + уг = гг в точке М(хг,уг). Оте. Касательная хх, + ууг = ггС нормаль хгу — угх = 0; вт = 1уг~схг~; вгг = 1хг(. 209. Показать, что подкасательная параболы уг = 4рх в любой точке делится вершиной пополам и поднормаль постоянна и равна 2р. Сделать чертеж. х2 у2 210. Найти уравнение касательной в точке М(хг, уг): а) К зллипсу — + — =1.
аг Ьг ххг УУС х' у' = ххг УСД Оте. — -С- — = 1. 6) К гиперболе — — — = !. Опге. — — — = 1. аг Ьг а2 52 ' а2 С,г 8,12 211. Найти уравнение касательной и нормали к «локону» у = в 4аг Ж хг точке, где х = 2а. Оспе. Касательная х -с 2у = 4а;норизль у =. 2х — За. 212. Показать, что нормаль к кривой Зу = бх — 5хз, проведенная в точке М(1,113),проходит через начало координат. гх;в гу, 213. Показать, что касательная к кривой ~-) -1- ( — ) = 2 в точке М(а,Ь) х есть — -!- — = 2 а Ь 214. Найти уравнение той касательной к параболе уг = 20х, которая образует угол в 45 с осью Ох. Огне. у = х+ 5 (в точке (5,10)]. 215.
Найти уравнения касательных к окружности хг+ уз = 52, параллельных прямой 2х + Зу = б. Оте. 2х + Зу х 26 = О. 215. Найти уравнения касательных к гиперболе 4хг — 9уг = 36, перпендикулярных к прямой 2у+ бх = СО Отв. Таких касательных нет. 1!б пРОизпОг!нля и диФФеРенниАЛ (гл и! 217.
Показать, что заключеннь»й мехсду осями координат отрезок касательной к»'и»»е!»боле ху = »и лепится точкой касания пополал», 218. Дока.по ь, по зак»ючснный между ося»»и координат огрезок касательной к астронде хг?з Р»уггз =. аг?г имеет постояпну»о длину. 219. Под к»кил. у»лом»» пересекаются крпныг у .= а" и у = Ь*г Отв. !па — !пЬ лйс» = 1 -!- !и а .!и Ь 220. Н»йти длины нодкасатгльной, по,»нормали, касательной и нормали ци- клонды .г =.
а(0 — яп0), у = а(! — созд) и точке, для которой 0 = л/2. Ота. зг . а; 3 ч = а; Т вЂ " ал/2! л? = а л"-. 221. Найти величины лт, лх, Т и»4 для асгроиды х =. 4ассзч !; у = 4аз!пз !. Ото. лт = !4аяпг !сок !!! зя = !4азп»з ! 18 !(; Т = 4азшг 1; Л» = !4азшг ! »3!1. Разные задачи япх ! гк х, Найти производные функций 222. у =.
— —, — — !и лй( — — — ). Отв. 2созгх 2 4 2 ! ! у' —" —. 223. у = агсяп —. Отв. у' = — 224. у = агск!п(з!их). созз х х !х~у'х~ — ! сок х 2 Га — Ь т Отв. у' = —. 225. у = — агс!6'((/ — Рй — ) (а > О, Ь > О). Ото ( сол'х( л»аг — Ьг )/ и -». Ь 2 1 х у» 226. у = !х! Отв. у' = — —. 227. у .=- агсяп»/! - хг.
Опик а-!- Ьсолх ' ' !т( х ! »/ = г! г 4 228. Из формул для объема и поверхности шара и = -ягз и з = 4тгг сле- 3 »га дует, что — =- в. Объяснить геометрический смысл этого результата. Найти аг аналогичное соотношение между площадью круга и длиной окружности.
229. В треугольнике ЛВС сторона а выражается через две другие стороаы Ь, с и угол Л л»ежду ними формулой а =- л/Ьг -, 'сг — 2ЬссоэА. При постоянных Ь й» и с сторона а нвляется функцией угла А. Показать, что — = й, где й есть »гл высота треугольника, соответстаующая основаяию а.
Пояснить этот результат геометрическими соображеняями. 230. Пользуясь понятием дифференциала, выяснить происхожление приблиз женных формул л а7.1- ь я а -!- —, л»аз -!. ь я а -1- —, где (ь) есть число ыэлое по 2а Заг сравнению с а. 231.
Период колебания маятника ранен Т = кл/!/д. Какое влияние на по- грешность при вычислении периода Т окажет погре~»ность в 1% при измерении: !) длины маятника 1; 2) ускорения силы тяжести д? Отв. !) 1/2%; 2) я 1/2%. 232. Трактриса обладает тел» свойством, что для любой ее точки отрезок ка- сательной Т сохраняет постоянную длину. Доказать это, исходя из 1) уравнения трактрисы в форме т = »/аг — уг 4- — !и (а > О); 2 а -!- ъ/аг — у- 2) параметрических уравнений кривой х =- а(!и !8(с/2) ' сок!), у = аяп 1.
233. Доказать, что функция у = Сге * -1- Сге г* удовлетворяет уравнению ул -!. Зу'.1-2у = 0 (здесь Сг и Сг — постоянные). 234. Полагая у = с*япх, г = е соя х, доказать равенства: ул = 2», гл = -2у. 233. 1!оказатль что функция у = зш(тагсяп х) уловлетворяет уравненаю ,гл/ у» + „,г, у !г 236. Доказатлч что если (а ! Ьх)е* = х.
то хз — = (х — — у) миьг (, 4()б Глава 1Ъ' НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ з 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля) Теорема Ролля. Если утункцил з'(х) непрерывна на отрезке (а, 6], диф4еренцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах х = а и х = 6 обращается в нуль (((а) = з'(6) = О], то существует внутри отрезка ]а,6] по крайней мере одна точка х = с, а < с < Ь, в которой производная ('(х) обращается в нуль, тп.е. ('(с) = 0*). Доказательство.
Так как функция 1(х) непрерывна на отрезке (а,Ь], то она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение т. Если М = тп, то функция 1(х) постоянна, т.е. при всех значениях х имеет постоянное значение т"(х) = О. Но тогда в любой точке отрезка будет ~'(х) = О, и теорема доказана. Предположим, что М ф т. Тогда по крайней мере одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что М > 0 и что функция принимает свое наиболыпее значение при х = с, т.е.
1(с) = М, При этом заметим, что с не равно ни а, ни 6, так как по условию з (а) = О, ((6) = О. Так как ) (с) —. наибольшее значение функции, то )(с+ сзх) — ((с) < 0 как при сзх > О, так и при тзх < О. Отсюда следует, что Пс -~- гзх) — )(с) <О при тзх>0, ~() >О п тз <О (1Я) тзх Так как по условию теоремы производная при х = с существует, то, переходя к пределу при сзх -э О, получим: 1пп ) () = ~'(с) <О при т1х>0, ах — >о 1пп ~( ) ( ) = т"'(с) > О при сзх < О. ах то йх число с называется корнем дтункчнн п(х), если зт(с) = О.
119 некОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕнциРУЕмых Функциях Нл !ч Но соотношения 1'(с) < О и з'(с) > 0 совместимы лишь в том случае, если 1'(с) = О. Следовательно, внутри отрезка [а, Ь) имеется точка с, в которой производная 1'(х) равна нулю. Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой гочке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами а и 6, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, а < с < Ь, в которой касательная параллельна оси Ох.
Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка [а, 6) не обращается в нуль, но принимает равные значения 1(а) = Г'(6) (рис. 92). Доказательство в этом случае проводится точно так же, как и ранее.
9=14х' 1 0 Рис. 94 Рис. 92 Рис. 93 Замечание 2. Если функция г'(х) такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [О,Ь], то утверждение теоремы может оказаться неверным (т.е. в этом случае на отрезке [а,6) может не оказаться такой точки с, в которой производная 19(х) обращается в нуль). Так, например, функция у = У(х) = 1 — угхг (рис. 93) непрерывна на отрезке [ — 1,1) и обращается в нуль на концах отрезка, однако производная 1'(х) = —— ,'/Х внутри промежутка в нуль не обращается.
Это происходит оттого, что внутри промежутка существует точка х = О, в которой производная не существует (обращается в бесконечность). График, изображенный на рис. 94, дает нам еще один пример функции, производная которой не обращается в нуль на отрезке [О, 2). Для этой функции также не выполнены условия теоремы Ролля, так как в точке х = 1 функция не имеет производной. 9 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) Теорема Лагранжа. Если функция г(х) непрерывна на отрезке [а, 6) и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, пго внутпри отрезка [а, Ь) найдется по крайней мере одна ыэ ТЕОРЕМА О КОНЕЧНЪ|Х ПРИРАЩЕНИЯХ точка с, а < с < Ь, что 1(Ь) — 1(а) = 1'(с)(Ь вЂ” а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
