Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 26
Текст из файла (страница 26)
в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, прн исследовании явления полета снаряда в пустоте получается формула, дающая зависимость дальности полета тГ от угла возвышения а и начальной скорости нв; "омнза 2 9 (д — ускорение силы тяжести).
Получив эту формулу, мы имеем возможность выяснить, при каком а дальность В будет наибольшей, при каком -- наименьшей, каковы должны быть условия, чтобы при увеличении угла а увеличивалась дальность и т,д. Рассмотрим другой пример. В результате изучения колебания груза на рессоре (вагон, автомобиль) получили формулу, показывающую, как отклонение р груза от положения равновесия зависит от времени й у = е ы(АсозьЦ+ Вз|пь1г). Величины 1с, А, В, ы, входящие в эту формулу, имеют вполне определенное значение для данной колебательной системы (они зависят от упругости рессоры, от величины груза и т.д., но не изменяются с течением времени 1) н поэтому рассматриваются нами как постоянные.
На основании приведенной формулы можно выясниггч при каких значениях 1 отклонение у увеличивается с увеличением как меняется величина наибольшего отклонения в зависимости от времени, при каких значениях ~ наблюдаются этн наибольшие отклонения, при каких значениях 1 получаются наибольшие скоростн движения груза и ряд других вопросов. 127 ВО)РАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКНИИ Все перечисленные вопросы Входят в понятие «исследовать поведение функции». Очевидно, выяснить все эти вопросы, вычисляя значения функции В отдельных точках (подобно тому, как л1ы это делали в гл, П), Весьма затруднительно.
Целью настоящей главы является установление более оощих приемов исследования повеления функций. 2 2. Возрастание и убывание функпии В з 6 главы 1 было дано определение возрастазощей и убывающей функций. Теперь мы применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции, Теорема. 1) Если функция )(х), имеющая производную на отрезке [а,Ь], возрастпает на шпол1 отпрезке, то ее производная на отрезке [а, Ь] не отрицательна, т,.е.
1'(х) > О. 2) Если функция 1(х) непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема в промежутке (а, Ь), причем 7" (х) > О для а < х < Ь, то зта функция возрастает на отрезке [а, Ь]. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть 1(х) возрастает на отрезке [а,Ь]. Придадим аргументу х приращение Азх и рассмотрим отношение Лх -~- )тх) — Лх) (1) )АХ Так как 1(х) .
функция возрастающая, го 1(х+).'Ух) > 1(х) при )Ах > О 1'(х + 12 х) < 1(х) при ААХ < О. В обоих случаях Лх -1- )тх) — Лх) >О, а следовательно, (2) Лх ь)АХ) — Лх) йпп ая — )О дх т.е. 1)(х) > О, что и требовалось доказать. (Если бы было ~'(х) < О, то при достаточно малых значениях Ах отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношени1о (2).) Докэжек) теперь вторук1 часть теоремы. Пусть 1'(х) > О при всех значениях х, принадлежащих прол1ежутку (а, Ь). Рассмотрим два любых значения х, и х2, х1 < хз, принадлежащих отрезку [а, Ь].
По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем: 1 (Х2) — 7 (Х1) = 1 (Д(х2 — Х1)) Х1 < С < х2. По условию 1'(() > О, следовательно, 1(хз) — 1(х1) > О, а это и значит, что 1(х) — возрастающая функция. Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируелюй) функции, а именно. 138 НССЛНДОВЛНИГг НОВЕДЕННЯ ФУНКЦИЙ (ГЛ.У Если ) (х) убывает на отрезке [а, Ь], то )1(х) < О на этол! отрезке. Если )"'(х) < 0 в промез1суп1ке (а,Ь), то г"(х) убывает на отрезке [а,Ь]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [а, д] и дифференцнруел1а всюду на (а, Ь).) а) Рис. 99 Рис. 98 Замечание.
Доказанная теорема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [а, Ь] функция )'(х) возрастает, то касательная к кривой у = ) (х) в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ох остпрын угол 1р или — в отдельных точках— горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен; ) '(х) = (891 > 0 (рис. 98, а). Если функция )'(х) убывает на отрезке [а, Ь], то угол наклона касательной — тупой (или — в отдельных точках касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рнс.
98, б). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании нли убывании функции по знаку ее производной. Пример. Определить области возрастания и убывания функцви 1/=1С . Решение. Производная равна у' =4х при х > О имеем у' > Π— функция возрастает, при х < О имеем у' < Π— функция убывает (рис. 99). '8 3. Максимум и минимум функций Определение максимума. Функция )" (х) в точке х, имеет лсаксилсум (шах!пипи), если значение функции )'(х) в точке х1 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х,. иначе говоря, функция ((х) имеет лсакеилсум при х = х1, если у(хг+ Ах) < )"(х1) при любых Ах (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине' ).
Так, например, функция у = )(х), график которой изображен на рис. 100, имеет максимум при х = х1. Ю Иногда это определение формулируют так: функция ) (х) имеет максимум в точке х1, если можно найти такую окрестность (о,))) точки х! (а < х1 < ))), что для всех точек этой окрестности, отличных от х1, выполняется неравенство 1З0 МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ Определение минимума. Функция ) (х) имеет минимум (шщ1пшп1) при х = хз, если З'(х + сзх) > З(хз) при любых Ьх . - как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсоРпс. 100 л4отнойз величи~е (рис. 100). Например, функция у = х, рассмотренная в конце предыдущего параграфа (см.
рис. 99), при х = 0 имеет минимум, так как у = 0 при х = 0 и у > 0 при других значениях х. В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства. 1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях х, заключенных внугпри рассматриваемого отрезка. 2. Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, ее наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с темя значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума -- наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Так, на рис. 101 изображена функция, определенная на отрезке (а, Ь~), которая при х = х1 и х = хз имеет максимум, при х = хз и х = х4 имеет минимум, 0 а х, хе х, х,з х но минимум функции при х = х4 болыпе мв:сиРпс. 101 мума функции при х = х4. При х = Ь значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами* ) или экстремальными значениями функции. Экстремальные значения функции и их располсжение на отрезке (а, Ь] в известной степени характеризуют из,ленение функции в зависимости от изменения аргумента.
Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений. Теорема 1 (необходимое условие сугдествс зания экстремума). Если дифференг)ируемая функг)ия у = 1(х', имеет е точке х = хс максимум или минимум, то ее произоодная обращается а нуль а этой точке, т.е. З'(х4) = О. ') Ехггесппп4 — крайаий (лат.).
ИССЛИДОВЛНИЕ ПОВГДВННЯ 4:Увкцнй 140 (гл, к Доказательство. Предположим для определенности, что в точке х = х) функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях 0«х (Ьх ф О) имеет место 1(х«+ глх) < у(х«), ((х«+ Ьх) — 1(х,) < О. т.е. Но в таком случае знак отношения а. **« - /~) с«х определяется знаком гьх«а именно; >О при Ьх <О, с«х < 0 при /лх > О. /ьх Согласно определению производной имеем; // «-/ы ~"'(х,) = ))щ Ьь — «в г«х Если ~(х) имеет производную при х = х), то предел, стоящий справа, не зависит от того, как г)«х стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным). Но если /лх — ) О, оставаясь отрицательным, то )'(х«) > О.
Если же Ьх -4 О, оставаясь положительным, то ('(х)) < О. Так как У/(хг) есть определенное число, не зависящее от способа стремления /лх к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если з'(х,) = О. Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции. Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция 1(х) имеет производную, то касательная к кривой у = г(х) в этих точках параллельна /юи Ох. Действительно, из того, что гч(х/) = ьв/р = О, где /р — угол между касательной и осью Ох, следует, что /р = О (рис. 100).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента х функция у(х) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или 141 максимум н минимум Функций ) з1 минимум) таолько при тех значениях, при котпорых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: нс при всяком значении, при которых производная обращается в нуль, обязагнельно существует максимум или минимум. Так, на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
