Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке О < т < оо: — "„~ = 2(2 — — ".,), 2тгг — — =О, гг= в о Юо ( — "'~) =2(? Е 2ов) >О. Следовательно, в точке т = тг функция Б имеет минимум. Заметив, что 1пп Я = со н йгп 5 = со, т.е. что прв стремлении г к нулю пли к бесконечо т-тс ности поверхность Я неограниченно возрастает, мы приходим к выводу, что в точке г = тг функция Я имеет нппменьиаее значение. Но еслп г- = .з~ —,, то Ч йк' Ьж — ",, =2й? — '-' =2. Таким образом, лля того чтобы при нанном объеме о полная поверхность Ь' ци- линдра была навменьшей, высота цилиндра должна равняться его диаметру.

З 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора В з 5 главы зг было замечено, что если в некоторой точке х = а имеем ?г(а) = О и ?п(а) = О, то в этой точке может быть либо максимум, либо минимум, либо нет ни того, ни другого. При этом указывалось, что для решения вопроса в этом случае нужно вести исследование первым способом, т.е. путем исследования знака первой производной слева и справа от точки х = а.

Теперь мы покажем, что можно в этом случае исследование вести и с помощью формулы Тейлора, выведенной в з 6 гл. !'ьт. Для болыпей общности предположим, что не только )'п(х), но и все производные до и-го порядка включительно от функции ?(х) обращаются в нуль при х = а: ~'(а) = ?п(а) = = ?г"1(а) = О, [з2 иоолгдованин поннднния Функцин [гл 1[" ' [[(а) ф О. Предположим далее, что 1(х) имеет непрерывные производные до (п + 1)-го порядка включительно в окрестности гочки х = а.

Напишем формулу Тейлора для 1(х), принимая во внимание равенства (1): 1 (х) = 1'(а) + , г'["'г [(б), (2) где С вЂ” - число, заключенное между а и х. Так как [ [ "т ) (х) непрерывна в окрестности точки а и 1[" г[[(а) ф О, то найдется такое малое положительное число 6, что при любом х, удовлетворяющем неравенству ~х — а! < 6, будет 1["~[1(х) ф О. При этом если ~["'г[[(а) > О, то и во всех точках интервала (а — б,а+ 6) будет 1["+[[(х) > О; если 1[" г[1(а) < О, то во всех точках этого интервала будет 1["э О(х) < О.

Перепишем формулу (2) в виде (2') и рассмотрим различные частные случаи. Первый случай. и — нечетное. а) Пусть 1[" г[[(а) < О. Тогда найдется интервал (а — 6,а+ 6), во всех точках которого (п+ 1)-я производная отрицательна. Если х есть точка этого интервала, то с тоже находится между а — 6 и а+6 и, следовательно, 1[" г[1(С) < О. Так как и+1 — четное число, то (х — а)вы > О при х ф а, и поэтому правая часть в формуле (2') отрицательна.

Следовательно, при х ф а во всех точках интервала (а — б,а+6) имеем: 1(х) — Г(а) < О, а это значит, что при х = а функция имеет максимум. б) Пусть г[" г[[(а) > О. Тогда при достаточно малом значении 6 ВО ВСЕХ тОЧКаХ Х ИНтЕрВаЛа (а — 6, а+ 6) ИМЕЕТ МЕСте 1[а+О(С) > О. Следовательно, правая часть формулы (2') будет положительна, т.е. при х ф а во всех точках указанного интервала будет: 1(х) — 1(а) > О, а это значит, что при х = а функция имеет минимум. Второй случай. и — четное. Тогда п+ 1 —.

нечетное и величина (х — а)"+' имеет разные знаки при х<а и х>а. Если 6 достаточно мало по абсолютной величине, то (и+ 1)-я производная во всех точках интервала (а — 6,а+ 6) сохраняет тот же знак, что и в точке а. Следовательно, 1 (х) — 1(а) имеет разные знаки при х < а и при х > а. Но это значит, что при х = а пет ни максимума, ни минимума. выпуклость и вогнутость кгивой 1бз Заметим, что если прн и четном /!и "1(а) > О, то /(х) < /(а) для х<а и /(х) >/(а) для х>а. Если же нри и четном /ьо '1(а) < О, то /(х) > /(а) для х < а и /(х) < /(а) для х > а. Полученные резульгаты можно сформулировать следующим образом.

Если при х = а имеем: / (а) = / (а) = . = /!")(а) = О и первая не обращающаяся в нуль производная /! "+'1(а) есть производного четкого порядка, то в точке а /(х) имеет максимум, если /!и 1)(а) < О; /(х) имеет лсинезлеум, если /!" 1И(а) > О. Если же первая не обращающаяся в нуль производная /!"")(а) есть производная нечеткого порядка, то функция не имеет ни максимума, ни минимума в точке а. При этом /(х) возрастаегп, если /!" 1)(а) > О; /(х) убывает, если /!"+1)(а) < О.

Пример. Исследовать кв максимум и минимум функцию дх) =- хч — 4хз т бхз — 4х + !. Решение. Найдем критические значения функции /'(х) = 4х — 12хз + 12х — 4 =- 4(хз — Зх т Зх — 1). Из урввяеяяк 4(хз Зхз 1 Зх 1) О получаем единственную критическую точку в=1 (гвк как данное урвввеппс имеет лишь один действительный корень). Исследуем характер критической точки х = 1; /п(х) = 12х~ — 24х + 12 = О прв х = 1, (х) =- 24х — 24 = О прв х= 1, / ~(х) =- 24 > О при любом х.

Следовательно, прп х = 1 функция Дх) имеет мяцяь~ум. з 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Рассмотрим на плоскости кривую у = /(х), являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции /(х). Определение 1. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, 6), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

ИССЛЕДОВАНИЕ' ПОВЕДЕНИЯ ФУНКНИЙ !гл !54 Мы говорим, что кривая обращена выпуклосгпью вниз на интерВале (Ь,с), если все гочки кривой лежат выше любой ее касательной на зтом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх, х будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз - вогнутой. На рис. 115 показана кривая, выпуклая на интервале (а, Ь) и вогнутая на интервале (Ь, с). Рес !!5 Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы.

Настоящий параграф посвящен установлению признаков, по которым можно было бы, исследуя функцию у = 1(х), судить о направлегши выпуклости ее графика на различных интервалах. Докажем следующую теорему. Теорема 1. Если во всех тлочеах интервала (а, Ь) второл производная функции !(х) отрицательна, т.е. 1Н(х) ( О, то кривая у = З'(х) на этом интпервале обре!цена выпуклостпью вверх (криввл выпукла) . Доказательство.

Возьмем в интервале (а, Ь) произвольную точку х = хо (рис. 115) и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х = хо. Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале (а, Ь) лежат ниже втой касательной, т.е, что ордината любой точки кривой у = з (х) меньше ординаты у касательной при одном и том же значении х. Уравнение кривой имеет вид у = з(х). (1) Уравнение же касательной к кривой в точке х = хо имеет вид у з(хо) = з (хо)(х — хо) или 9 = З (хо) + З'(хо)(х — хо).

(2) Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х равна у — у = 1(х) — 1(хо) — У'(хо)(х — хо). Применяя теорему Лагранжа к разности ! (х) — з (хо), получим: у — у = 1'(с)(х — хо) — 1'(хо)(х — хо) (где с лежит между хо и х), или у — у = ],('(с) — У'(хо)](х — хо) К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда у — у = 1Н(с!)(с — хо)(х — хо) (3) (где с! лежит между хо и с).

выпуклосп ь и вогнутость кривой Рассмотрим сначала тот случай, когда х > хо. В этом случае хо < с1 < с < х; так как х — хо>0, с — хо>0 и так как, кроме того, по условию, з'о(с1) < О, то из равенства (3) следует, что у — у < О. Рассмотрим теперь случай, когда х < хо. В этом случае х < с < сь < хо и х — хо < О, с — хо < О, а так как, по условию, уп(г,) < О, то из равенства (3) следует, что у — у < О.

Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х и хо на интервале (а, Ь). А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана Аналогичным образом доказывается следующая теорема.

Теорема 1'. Если во всех точках интервала (Ь,с) вторая производная функции 1(х) полозесительна, т.е. 7о(х) > О, то кривая у = З"(х) на этом интервале обращена выну лосп1ью вниз (кривая военугаа). Замечание. Содержание теорем 1 и 1' можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую у = 7"(х), обращенную выпуклостью вверх на интервале (а,Ь) (рис. 116). Производная 7'(х) равна тангенсу угла а наклона касательной в точке с абсциссой х, т.е.

~'(х) = ~до. Поэтому уп(х) = (Сбо)',. Если 7'н(х) < 0 для всех х на интервале (а,Ь), то это значит, что Сба убывает с возрастанием х. Геометрически нагляден тот факт, что если фо убывает с возрастанием х, то соответствующая кривая выпукла. Аналитическим доказательством этого факта и является теорема 1.

Характеристики

Список файлов книги