Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Оше. Прямая отсекает на осях отрезки 2хо и 2уо, т.е. имеет уравнение х у — + — = 1. 2хо 2уо 55. На оси параболы уз = 2рхдана точка на расстоянии а от вершины; найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой. Огне. х = а — р.
56. Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 1б сас Оте. Ширина равна 8 сзь 57. Миноносец стоит на якоре в 9 хм от ближайшей точки берега; с миноносца надо послать гонца в военный лагерь, расположенный в 15 кы, считая по берегу от блюкайшей к миноносцу точки берега.
Если гонец может делать пешком по 5 кы в час, а на веслах по 4 кы в час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы поспеть в лагерь в кратчайшее время. Ошв. Ъ 3 ям от лагеря. 58. Точка перемещается прямолинейно по плоскости в среде, расположенной вне линии М?у — со скоростью оы а по линии М?У вЂ” со скоростью от, По какому упРАжнения к ГлАне у 171 пути она переместите» в наименьший промежуток времени из точки А в точку В, расположенную на линии Мгу? Расстояние точки А от линии М?Т равно Ь, расстояние проекции а точки А на линию Мсу от В равно а.
Ото. Если АВС-- (аС) и! (аВ( ег (аВ) е! путь точки, то — = — при ) — и (аС( = (аВ) при — < —. (АС( нг (АВ! Рг ~АВ( нг 59. Груз ш подымают рычагом, причем сила Р приложена к одном концу, а точка опоры находится на другом конце рычага. Если груз привешен к точке, находящейся иа расстоянии а сантиметров от точки опоры, а стержень рычага весит и граммов на каждый сантиметр длины, то какова должна быть длина рычага, чтобы сила, потребная для поднятия груза, была наименьшей? Оглв.
х =,,/2аш/о см. 60. При л измерениях неизвестной величины х получены отсчеты: хг, хг,..., х„. Показать,чтосуммаквалратовпогрешностей (х-хг) +(х-хг) + +(х-х„) будет наименьшей, если за х принять число (х! + хг+ ° ° + х )/л. 61. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадгч смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала превышает вдвое его высоту. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости вогнутости кривых: 62. у = хз, Отв. При х < 0 кривая выпукла, прн т > 0 кривая вогнута; при х = 0 точка перегиба.
63. у = 1 — хг. Отв. Кривая всюду выпукла. 64. у = хг — Зхг — 9х+ 9. Ото. При х = 1 точка перегиба. 65. у = (х — Ь)З. Отв. При х = Ь точка перегиба. 66. у = хс. Ото. Кривая всюду вогнута. 6Т. у = (хг + 1) г. Оте. При х = х1/з/3 точки перегиба. 68. у = Сйх. Отв. При х = лх точки перегиба. 69. у = хе е. Отв. При х = 2 точка перегиба, 70.
у = а — ргх - Ь. Оглв. При х = Ь точка перегиба. Т1. у = а — узс(х — Ь)~. Ото. Кривая не имеет точек перегиба. 1 Найти асимлтоты следующих кривых: 72. у = —. Отв. х = 1; у = О. х — 1 ! аз 73. у = Оте. х = -2; у = О. 74. у = с + Отв. х = Ь, у = с. ( + 2)з ' ' ' ' ' (х — Ь)2 ' 1 Т5. у = е — 1. Отв. х = 0; у = О. 76. у = !их. Отв. х = О. 77. уа = бхг + ха. з Огне, у = х+ 2. 78. уз = аз — ха.
Оте, у+ х = О. 79. уг = . Отв. х = 2а. 2а — х 80. уг(х — 2а) = ха — аг Отв. х = 2о. у = х(х 4-а). Исследовать функции и построить их графики: 81. у = х4 — 2х+ 10. 82. у = Заз 3 бх 4+х х 83.у=с . 84.у= . 85.у= —. 86.у= х2.!.4а2' ' ' ' 1 сх2' ' х2 ' ' 2 х+2 х х 8Т. у = . 88. у = —.
89. уг = хз — х. 90. у = . 91. у = з/хг г.с- 2. з ' ' 1+ ' ' ' ' 3 г' /х — -Т вЂ” в 2-42 92. у = х — угхг-Г1. 93. у = / —. 94. у = хе *. 95. у = хге х+1 96. у = х — !п(х -~-1). 9Т. у = !п(хг+ 1). 98. у = зшЗх. 99. у = х -~-вшх. !их 100. у = хе!пх. 101. у = е *шпх. 102. у = !пасох. 103, у сг ~( х = сг, ~( х = а(с — зспс), ~ х = аег сов с, 104. 1 105. 106. 10Т. У = каз.
( У = Сз. ( У = а(1 — созз). ( У = ае'зспС. 172 ИССЛНДОВАНИБ ПОВЕДГИ!ИЯ ФУНКЦИЙ !ГЛ. и Дополнительные задачи хт Найти аснмптоты линий: 108. у = —. Отв. х = — 1; у = х — !. ! +х ! 109. у = х+ е . Опзв. у = х. 110. 2у(х+ !)т = хз.
Отав. х = -1; у = -х — !. 2 111. рз = о — хз. Отав. Лсимптот нет. 112. у = е 1*япх Отав. у = О. ! ! 113. у = ечхв!п2х -!- х. Опзв. у = х. 114. у = х!п(е + — ). Опзв. х = х е 1 1 2С ст у=х+-. 115.у=хе» . Озпв.х=О;у=х. 116.х= —,у= —. Оазв. 1 1 у = х — х — —. 2 2 Исследовать функции н построить ик графики: 117. р = )х).
118. у = !п(х). 119. ут = хз — х. 120. р = (х + !)з(х — 2). 121. у = х + )х). 122. у = Угхт — х. 2 хт 123. у = хт~/х+ 1. 124. у = — — !пх. 125. у = — !их. 126. у = 2 2 е* — 1 х !пх 127. у = —. 128. у = х + —, 129. р = х!пх.
130. у = е* — х. !пх х и!их 131. у = )и!пЗх). 132. у = . 133. у = хагс15х. 134. у = х — 2агс!Зх. 135, у = е ™япЗх. 136. у = )в!пх) Фх. 137. р = яо(хт). 138. у = сова х+яп х. 139 7= . 140.у= . 141.у=яп( ) — ' (-л(х(л). 'Ф И -(х( . х+)х( х — Ф 2 2 2 2 142. у = сов ( ) — ( — — ( х ( !). 143. у = -(Зх -!- !х!) + 1. х - )х( х + )х( 2 2 2 2 1 144. у = -[З(х — 1) + )х — Ц] + 1 (О ( х ( 2). 2 Глава Ъ'1 КРИВИЗНА КРИВОЙ 3 1. Длина дуги и ее производная Пусть дуга кривой МоМ (рис. 137) есть график функции Р = 7'(х), определенной на интервале (а,Ь). Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки Мо М1, Мг,, Мг — ы Ма ..., М -1, М Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию Мс М1 Мг...
Мр — 1М ...М вЂ” г М, вписанную в дугу МоМ. Обозначим длину этой ломаной через Р„. Длиной дуги МсМ называется предел (обозначим его через 3), к которому стремится длина ломаной, при стремлении к нулю наиболыпей из длин отрезков ломаной М, 1М;, если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной МоМ1 Мг... М, сМ,... ̄— 1М. М ! Мр М„, Рис.
138 Рис. 139 Рис. 137 Отметим, что это определение длины дуги произвольной кривой аналогично определению длины окружности. В главе ХП будет доказано, что если на отрезке [а, Ь] функция 1(х) и ее производная 1'(х) непрерывны, то дуга кривой у = 1(х), заключенная между точками [а;1(а)] и [Ь;г(Ь)], имеет вполне определенную длину, причем будет указан способ вычисления этой длины. Там же будет установлено (как следствие), что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой 1гл. ч| КРИВИЗНА КРИВОЙ 174 к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к О: мем — го дл.МоМ Эта теорема легко может быть доказана для окружности'1, однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть мы имеем на плоскости кривую, заданную уравнением и = ((х). Пусть Мо(хо,уо) — неко- торая фиксированная точка кривой, а М(х, у) — - переменная точка этой кривой. Обозначим через з длину дуги МоМ (рис. 139). При изменении абсциссы х точки М длина дуги э будет ме- няться, т.е. в есть функция х. Найдем производную з по х. Дадим х приращение глх. Тогда дуга з получит приращение Ьэ = дл. ММ1. Пусть ММ1 — хорда, стягивающая зту дугу, Для того, чтобы найти 1(гп —, поступим следующим образом; из аэ ак-го ~х ,РгММЯ находим: ММ, = (глх)з+(сьу)2. Помножим и разделим левую часть на гаэз: (.,') "=(~.)'+( у)' Разделим все члены равенства на Ьхз: ( — '.')'( —:*')'=" ®' Найдем предел левой и правой частей при сьх — > О. Учитывая, что 1пп — = 1 и что 1пп " = -и, получим: ММ, мм,- о ак — го ах (й)'=»(й)' - й=~ Т.-.)' Для дифференциала дуги получим следующее выражение; о =~ф,;(й) г, или*') о = Ъ'+Зу* '1 Рассмотрим дугу АВ, центральный угол которой равен 2а (рис.
1ЗЗ). Длина этой дуги равна 2на (Я вЂ” радиус окружности), а длина стягивающей ее ларцы равна 2дв1п а. Поэтому 11ша.чо = 1ипо.чо ии = 1 дл. АВ . 2на дл.АВ 2)БГйа "'1 Строго говоря, формула (2') верна лишь для того случая, иогда ох Ь О. Если же ох < О, то оз = -ч7Ъ~ +аут. Поэтому в общем случае эту формулу правильнее записать так: )Ые) = т/йиу+ оу~. к Ри Виан А Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением у = 7(х). Однако формула (2') сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями. Если кривая задана параметрически: х = р(4), гг = Ф(1), го с1х = со'(4) д1, сЕр = г)г'(1) Й, и выражение (2') принимает вид г = стг МР+ТФгср гс 2 2.
Кривизна Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает самое себя и имеет определенную касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух ее точках А и В и обозначим через а угол, образованный этими касательными, или— точнее -- угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 140), Этот угол называется углом смежносяги дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, болыпе изогнута та дуга, у которой угол смежности больше (рис. 140 и 141).
~'в 2;) Рис. 141 Рис. 140 Рис. 142 С другой стороны, рассматривая дуги различной длины, мы не можем оценить степень их искривленности только соответствующим углом смежности. Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет оглмошенгсе угла смежности к длине соответствующей дуги. Определение 1. Средней кривизной К,р дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности а к длине дуги: ' К сг ср— АВ Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой, показанной на рис. 142, средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1, хотя длины этих дуг равны между 176 КРИВИЗНА КРИВОЙ 1гл. ''! собой. Более того, вблизи различных точек кривая искривлена поразному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
