Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для того чтобы охарактеризовать степень искривленности данной линии в непосредственной близости к данной точке .4, введем понятие кривизны кривой в данной точке. Определение 2. Кривизной КА линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю (т.е. когда точка В приближается к точке А ) КА 1пп Кср 1пп  — гА А — >о АВ Пример.
Для окружности радиуса г: 1) определить среднюю кривизну дуги АВ, соответствующей центральному углу а (рис. 143); 2) определить кривизну в точке А. Решение. 1) Очевидно, что угол смежности дуги АВ равен о, длина дуги равна ог. Следовательно, а КРР— ггг или 1 Кср = г 2) Кривизна в точке А равна К=йш о 1 — а ог Таким образом, средняя кривизна дуги окружности рэлиРис. 143 уса г не зависит от длины и положения дуги, для всех дуг она равна 1/г. Кривизна окружности в любой ее точке также не зависит от выбора этой точки и равна 1/г.
Замечание. Отметим, что для произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще говоря, будет различная. Это мы увидим ниже. '3 3, Вычисление кривизны Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой ее точке М(х,р). При этом мы будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида у ш 1(х) (1) и что функция 7(х) имеет непрерывную вторую производную. Проведем касательные к кривой в точках М и М1 с абсциссами х и х+ сгх и обозначим через 37 и 37+ Ьу углы наклона этих касательных (рис.
144). Длину дуги МоМ, отсчитываемую от некоторой постоянной точки Мо, обозначим через 6; тогда Ьз = МоМ1 — МоМ, а 1Ьа) = ММ1. "1 Мы предполагаем, что величина предела не зависит от того, с какой стороны от точки А мы берем переменную точку В на кривой. 177 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ Как непосредственно видно из рис. 144, угол смежности, соответствующий дуге ММ„равен абсолютной величине*1 разности углов ср и ср+ Ьр, т.е. равен (11~р!. Согласно определению средней кривизны кривой на участке ММ1 имеем: 1акб 1сч ! Рис. 144 ср— Чтобы получить кривизну в паечке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ММ1 стремится к нулю: Х= 1пп ! — !.
Так как величины ер и а обе зависят от х (являются функциями от х), то, следовательно, ср можно рассматривать как функцию от з. Мы можем считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра х. Тогда ае ир йщ — =— ак-~0 Пв и, следовательно, Для вычисления -к используем формулу дифференцирования 4 42 функции, заданной параметрически: 4х о 22 йх 42 42 ах Чтобы выразить производную -х через функцию р = 1(х), заме- 4~ чаем, что Цу = ~й и, следовательно, 10 = агсФк —. кр кх ' Дифференцируя по х последнее равенство, будем иметь: [2р 422 кхт ох (йй)2 си Что же касается производной —, то еще в й 1 гл.
111 мы нашли Ю Ддя кривой, изображенной на рис. 144, очевидно, что 1аор1 = П22, так как Щ > О. КРИВИЗНА КРИВОЙ 1ГЛ. т! 178 Поэтому Йя , (ай)2 ф'$ Нгг Ых Нх ах 3 «3 ау 2 [! .1. (Ф)2)372 Я 1-!- ( — ) Ях ох [из или так как К = ~, окончательно получаем: ! аз [Й! Г" (йй"' Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непре- ,12 рывна вторая производная -„-$, можно вычислить кривизну. Для ее вычисления служит формула (3).
Заметим, что при вычислении кривизны кривой следует брать только арифметическое (т.е. положительное) значение корня в знаменателе, так как кривизна линии по определению не может быть отрицательной. Пример 1. Определить кривизну параболы у = 2рх: а) в ее произвольной точке М(х, у); б) в точке Мг(О,О)! в) в точке Мг(р/2, Р). ю и вторую производные фУнкпии У вЂ” и хррж.
,12 Р— — 2 (2 )372 ' 17 валяя полученные выражения в формулу (З) п учи г а)К= (2рх 3 Рг)372 ' б) К.=о.,=а = 1/Р 1 в) К = 72,3=3 = гнгр Пример 2. Определить кривизну прямой у = ах 1- Ь в ее произвольной точке ( у) Рещение. у =О. у =а, Обращаясь к формуле (3), получаем: К = О. Таким образом, прямая представляет собой «линню нулевой кривизны». Этот же результат легко можно получить непосредственно из определения кривизны. 2 4.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически Пусть кривая задана параметрически: х = у(2), у = 2/2(1). !79 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЪ| ЛИНИИ Тогда (см. В 24 гл. 1П): Ву ~С) Узу Фн~' — Ь'уд йт ,„,~~~) и 2 („у )3 Подставляя полученные выражения в формулу (3) предыдущего параграфа, получаем: Ф" »у — уу» "( (,~2 е,~а)212 ' Пример. Определить кривизну циклоиды я = а(! — в!п С), у = а(1 — соз !) в ее произвольной точке (к, у). Решение. Дту — = асов!. Ю2 — = а(1 — сов!), — = ав!п|, — = ав|п|, |ск В2 ду |!! я2 ' |С! Подставляя полученные выражения в формулу (1), нвкодим: (а(! — сов|)асов! — аяп| ав!пс( (сов! — Ц Х— (ат(1 — сов !)2 + ат в1пт с]з/2 92!та(1 — сов !)222 1 92» за(! — сов !)2/2 4а/ вш 'В о.
Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах х = 1(В) сов В,'( д = 1(В) яп В. ) Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой (1), причем параметром является В. Тогда — = — сов — рьт — = — яп В+ рсовВ, Вз с!р Ву |!р ВВ |!В ав В — = — сов  — 2 — вш  — р соь В, |!2Е А р ||р с!Вз ВВ2 ВВ 22 у,!2,! — = — япВ+ 2 — сов  — ряп В. |!Вт 092 ав Пусть кривая задана уравнением вида , = у(в). (1) Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: х = рсовВ, (2) у = рвшВ. Если в эти формулы подставить вместо р его выражение через В, т.е. г(В), то получим: 180 криВизна кРиВОЙ ПЛ, Ч2 Подставляя последние выражения в формулу (1) предыдущего параграфа, получаем формулу для вычисления кривизны кривой в полярных координатах: 24 202 ррл~ (4) (, 2 4 рФ2)3/2 Пример.
Определить кривизну спирали Архимеда р = ао (а > О) в произвольной точке (рис. 145). Решение. ,/г — = а, — = О. ао ' 002 Следовательно, е ( 202 + О2)3/2 2 (02 + 1)2/2 Заметим, что при больших значениях 0 имеют место приближенные равенства: — г — ш 1, — 2 — ш 1; поэтому, за- 02Е2 02т1 меняя в предыдущей формуле 02 + 2 на 02 и 02+ 1 ва 02, парис. 145 лучаем приближенную формулу (для больших значений О): 1 02 1 Кш— а (02)з,г ао' Таким образом, при больших значениях 0 спираль Архимеда имеет приблизительно ту же кривизну, что и окружность радиуса ао.
8 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента Определение. Величина Л, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке; Л =1/К, или (2) Рис. 14б Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 146), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу Л кривизны кривой в точке М. Точка С называется 2(енпгром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса В с центром в ) точке С (проходящей через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М. Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой.
Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны. 2 А~ РАдиус и кРуГ кРиВизны. эВОлкуГА и ЭВОДЬВвнтА ш1 Пусть кривая задана уравнением у = ((х). (3) Зафиксируем на кривой точку М(х,у) и определим координаты а и 11 центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 147). Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М: У вЂ” у = — ~, (Х вЂ” х). (4) Р' (Здесь Х и У -- текущие координаты точки нормали.) Так как точка С(а,11) лежит на нормали, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4): 13 — у = — —,(а — х). 1 у Далее, точка С(а, 12) находится от точки М(х,у) на расстоянии, равном радиусу кривизны В: (а — х) + (17 — у) = В~.
(6) Решая совместно уравнения (5) и (6), определим а и 11: (а — х) + ~,(а — х) = 2212, (а — х) = " ЫВ~;. (5) отсюда а=хх " В, УГ)=Р ~2 ~1+ РР213!2 а так как В = —,Ъ(, то !Р (7) Аналогично можно показать, что формулы (7) будут справедливы и в случае у" < О. Если кривая задана параметрическими уравнениями х = ~р($), у = ф(Ф), то координаты центра кривизны легко получить из формул (7), подставляя в них вместо у' и у" их выражения через параметр Р Р Р Ф у = ~ у у2 к х(у2 ха у2 ! Р! 1 (РР! Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки следует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай у" ) О и случай у" < О.
Если у" ) О, то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, 11 > у (рис. 147) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае )у" ~ = у", формулы координат центра запишем в виде: КРИВИЗНА КРИВОИ (Гл, ч! Тогда сг ьк х— х'(х' -!- у' ) у 2рг 9 (7') Пример 1. Определить координаты центра кривизны параболы у =2рх Рис. !48 а) в произвольной точке М(х, у); б) в точке Мо(О,О); в) в точке Мг(ргг2,р). Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
