Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Учитывая, что сов(2я/3) = — 1/2, Яп(2я/3) = ч'3/2, сов(4я/3) = — 1/2, в!п(4я/3) = — ч'3/2, получаем тг = 1, кг = -1/2 т гч'3/2, тз = -1/2 — гъ/3/2 На рнс. 164 точки А, В, С являются геометрическими изображениями полученных корней. 3. Решение двучленного уравнения. Уравнение вида Д В называется деучленнылг.
Найдегг корни этого уравнения. Если А есть действительное положительное число, то и = уА! соз — + гяп — у! ! 2йя ° 2йк ! и Рис. !64 (к=О, 1з 2, ..., и — 1). Выражение в скобках дает все значения корня и-й степени из 1. 2ОО комплвксныв числа многочлвны !гл. уп Если А — действительное отрицательное число, то фА)(ССЗ я+ 2кк + я+ 2йя) Выражение в скобках дает все значения корня и-й степени нз — 1.
Если А — комплексное число, то значения х находятся по формуле (2). Пример 2. Решить уравнение хв =1. Решение. м /е+ м~ и) Полагая и равным О, 1, 2, 3, получаем. хг = сово+ гмпо = 1, хг = сов(2я/4) -!- в в!п(21г/4) = Ь хз = сов(4я/4) -!-1в!п(4я/4) = — 1, хв = сов(бя/4) + гв!п(бя/4) = — б 2 4. Показательная функпия с комплексным показателем и ее свойства или ГЛ = Ее+1". Комплексные значения функции го определяются так'): е*4'" = е*(сову+ вз!ну), т.е.
ш(х) = е*(соз у + в зш у) . (2) Примеры. 1, х = 1+ 4.1, ег+хг 2. х = О+ б ватт' = е (сов 4 -1- ! шп -) = е( — -1- ! — ), я .. 1г ьг2 . ьГ2 =е ( -+ой й)=б 2 2) ) Целеоюбразность такого определения показательной функции комплексного переменного будет показана и ниже, см. 1 21, гл. ХП1 и 1 18 гл. ХЪ'1 (т. П). Пусть х = х 4- ву. Если х и у — действительные переменные, то и называется комплексным переменным.
Каждому значению комплексного переменного х на плоскости Оху (пяоскоспзи колвплексного иерелеемного) соответствует определенная точка (см. рис. 162). Определение. Если каждому значению комплексного переменного х из некоторой области комплексных значений соответствует определенное значение другой комплексной величины ш, то пг есть функция комплексного переменного х. Функции комплексного аргумента обозначают и = У(х) или го = ш(х).
Здесь мы рассмотрим одну функцию комплексного переменного — показательную функцию ш = е' И ПОКАЗА'ГЕЛЬНАЯ ЬУНКЦИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 201 3. - = 1.1-2, е' 2' = е' (соя!-1-22!п1) м 0,34+ 2 ° 0,83, 4. 2 = я . действительное число, е*ео' = е'(соеа-!. 22!па) = е* - обычная показательная функц22я. Свойства !Показательной функпин. 1. Если г1 и гг -- два комплексных числа, то 22.1-22 (3) Доказательство. Пусть г!=Х1+2у!, гг=Х2+!уг,' тогда Ее!+22 С(21 ! 2У2).!.(22.!.2У2) Е(22 Г22)ЕЦУ2ЧУ2) = с*2 е*2'(сов(у1 + уг) + тяп(у! + ув)). (4) С другой стороны, на основании теоремы о произведении двух комплексных чисел в тригонометрической форме будем иметни Е" Е 2 = Е22асгсЕ*2+'Уе = Е*'(СОВу1 + тяпу!)Е*2(СОВув+ вянув) = = е*с с*2(сов(у! + уг) + 2 в!п(у! + уг)).
(5) В равенствах (4) и (5) правые части равны, следовательно, равны и левые: е" ~22 = е" е'2. 2. Аналогичным образом доказывается формула е" ес! 2 е" (6) 3. Если т -- целое число, то (е')'" = е (7) При т > О эта формула легко получается на основании формулы (3); если т < О, то она получается на основании формул (3) и (6). 4.
Справедливо тождество Ее+122 (8) Действительно, по формулам (3) и (1) получаем; Ее+гк2 = Еясглс = Е (СОВ 2я + 2 В!П 2я) = Ес. На основании тождества (8) следует, что показательная функция е' есть периодическе- функция с периодом 2Я21 5. Рассмотрим, дагзе, комплексную величину ю = и(х) + ен(х), где и(х) и О(х) — - действительные функции действительного переменного х. Это есть комплексная функция дейстнитпельного переменного.
а) Пусть существуют пределы 1пп и(х) = и(ха), 1пп О(х) = н(ха). 202 комплексные числа. многочлвны щл вп Тогда и(хе) + гн(хс] = шс называют пределом комплексного переменного ш. б) Если существуют производные и'(х) н в'(х), то выражение ш, = и'(х) +1е (х) (9) будем называть производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу. Рассмотрим, далее, следующую показательную функцию: апач-щх (ач-1Н)к где а и )З вЂ” постоянные действительные числа, а х действительное переменное. Это есть комплексная функция действительного переменного, которую согласно с формулой (1) можно переписать так: и = е *]соз Зх -ь 1 зп1 ~Зх] или ш = е *сов)Зх+1е *з1п)Зх. Найдем производную ш,'. По формуле (9) будем иметь: ш', = (е"* сов Зх)'+ 1(е~к яп,Зх)' = = е *(осоз0х — Дяп))х) + ге *(ояп)Зх+ Зсоз))х) = = а(е *(соз)Зх+1з1пЗх)]+ 1Де *(совЗх+тяпах)] = = (а+ ОЗ)[ев*(соз(Зх+1яп,Зх)] = (а+ гЗ)е~'""п~*.
Итак, если ш = е1 ч'Ш)*, то ш' = (а -> Ц)е1 'ып1*, или !е~'~'П~*]' = (а З- 1)З)е~ '"'П1*. (1О) Таким образом, если й — комплексное число (в частности действительное) и х — действительное число, то (е ')' = Йе *. (9') Получили обычную формулу дифференцирования показательной функции. Далее, (е ') = ](ее*)']' = Й(е *)' = Й е * и при произвольном и 1сх)бй ~в Вк Эти формулы нам потребуются в дальнейшем. 2 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Если в формуле (1) предыдущего параграфа положим х = О, то получим е'" = созу+1япр.
(1) Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. 2ОЗ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКОНОГО ЧИСЛА 1 в! Заменяя в формуле (1) д на — у, получим: е ш = сояу — !Е)пу. Из равенств (1) и (2) найдем сову и тйп у: (2) е'2 ч е '2 сову = г е'2 — е яйлу = 22 (3) Представим Показательная форма комплексного числа. комплексное число в тригонометрической форме: 2 = т (соя 1о + 2' ей и у2), где т -..
модуль комплексного числа, ут — аргумент комплексного числа. По формуле Эйлера; сояу2+2'я!пес = еяе. (4) Следовательно, всякое комплексное число можно представить в так называемой показаптельмо24 форме: г = ТЕКА Пример 3. Представить числа 1, 2, -2, — 2 в показательной форме. Решение, 1 = соя 2ан Р тип 2кя = езь"', ! = сов — Е !в!п н = ез', е 2 2 — 2 = 2(сове 4!Мин) = 2е ', — 1 = соя ! - й~! 4 2 я!п ~ — н = е На основании свойств (3), (6), (7) 2 4 показательной функции легко производятся действия над комплексными числами в показательной форме. Пусть имеем: 2! — — т2е'К', 22 = тве'Ф'.
Тогда 22 — — т2е!"" . тзешт = тттзе'!к'~"")' (5) Последними формулами пользуются, в часгности, для выражения степеней соясс и я!псо и их произведений через синус и косинус кратных дуг. Пример 1. 2 сев.~.е !" 2 1 '2 — '2 сов у=( ) = — (е'"-12ье '")= . 1 = 4((сов2У 42в1п2У) Ф 2 4 (сов2У вЂ” 2мп2У)) 4(2сов2У 4 2) = -(1 4 сов2У) 1 1 Пример 2. 2 2 ене .1. е !Р т 2 2 е!е — е 'Р т 2 (евте — е !2е)2 1 4 412 204 )гл тп комплекснын числя многочлены этот результат совпадает с формулой (3') 2 2. гг сии гв г г е'тг т (6) эта формула совпадает с формулой (3) 2 2. я (Гг р)п гпвгоя.
зта формула совпадает с формулой (1) 2 3. 1)ге'~' = ",/тес ° (к = О, 1, '2, ..., и — !); (7) (8) эта формула совпадает с формулой (2) 2 3. 2 6. Разложение многочлена на множители Функция )'(х) = Аох" + Агх" ' +... + А„, ) (х) = (х — а))1(х) + В. Это равенство справедливо при всех значениях х, отличных от а (деление на х — а при х = а не имеет смысла). Заставим теперь х стремится к а. Тогда предел левой части равенства (1) равен 1'(а), а предел правой части равен В. Так как функции 1(х) и (х — а)11(х) + В равны между собой для всех х ~ а, то равны и их пределы при х — 1 а, т.е.
)(а) = В. Слццствие. Если а есть корень многочлена, т.е. 7'(а) = О, то 1'(х) делится без остатка на х — а и, следовательио, представляется в виде произведения )(х) = (х — а))1(х), где 71 (х) — многочлен. Пример 1. Многочлен Пх) = хз — бхг + 11х — 6 нрн х = ! обращается в нуль, т,е. П1) = О, понтону данный ыногочлен делится без остатка на х — 1; хз — бхт + 11х — б = (х — 1)(хт — бх + 6). где и -- целое число, как известно, называется многочленом (гсолиномом) или целой рациональной функцией от х; число и называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты Ао, А1, А„— действительные или комплексные числа; независимое переменное х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.
Корнем многочлена называется такое значение переменного х, при котором многочлен обращается в нуль. Теорема 1 (теорема Безу). При делении много тена 1"(х) на разяосгпь х — а получаетпся осгпаток, равный )(а). Доказательство. При делении 1(х) на х — а частным будет многочлен )1(х), степень которого на единицу ниже степени 1(х), остатком будет постоянное число В. Таким образом, можем напи- сатьи 205 РАзложение многочленА нА множители ??ерейдем теперь к рассмотрению уравнений с одним неизвестным х. Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения. Пример 2.
Числа х1 =- я?4, хг —. Ья?4, хз = Оя/4, ... являются корнями уравнения сов х ж Мп х. Если уравнение имеет вид Р(х) = О, где Р(х) .-. многочлен степени п, то зто уравнение называется алгебраическим уравнением степени и. Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Р(х) = О те же, .что и корни многочлена Р(х).
Естественно возникает вопрос: всякое ли уравнение имеет корни? В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного, например, уравнение е* = О'). Однако в случае алгебраического уравнения ответ на поставленный вопрос положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры: Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция ?(х) имеет пв крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.
Здесь мы ее примем без доказательства. Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следуюпгую теорему. Теорема 3. Всякий многвчлен п-й стпепени разлагается на и линейных множигпелей вида х — а и множитель, равный козффихя Доказательство. Пусть ?(х) есть многочлен степени п: ?(х) = Аох" + Агх" ' +... + А„. Этот многочлен в силу основной теоремы имеет по крайней мере один корень; обозначим его через а1. Тогда на основании следствия из теоремы Безу мы можем написать: ?(х) = (х — аг)?1(х), Ю Действительно, если бы число х1 = а + Ы было бы корнем этого уравнения, то имело бы место тождество ев+Ь' = О или (на основании формулы Эйлера) е (соеЬ+гэ1пЬ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
