Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Но е не может равняться нулю ни при каком действительном значении в; также не равно нулю совЬ Ж ге1пЬ (так как модуль этого Лс гчк,;, = ~1. е (сов 5 + 1в1п 5) ф О, т.е. е +ь' к О, но это значит, что уравнение е* = О не имеет корней. ;гл чп 206 комплексные !ноля мнОГОчлепы где )!(х) многочлен (и — Ц-й степени; 11(х) также имеет корень. Обозначим его через а!. Тогда 2 ! (х) = (» — аг) )2 (х), где З'2(!с) многочлен (и — 2)-й степени. Аналогично Л(х) = (» — аз)Ь(х) Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотно!пения Зя г(х) = (х — ан)гн, где 2„— многочлен нулевой степени, т.е.
некоторое фиксированное число. это число, очевидно, равно коэффициенту при х", т.е. Уя = 46 На основании полученных равенств можем написать: У(х) '40(х а1)(х — аз)... (х — ан). (2) Из разложения (2) следует., что числа а1, аз, ..., а„суть корни многочлена 1(х), так как при подстановке х = а!! х = аг, х = а„правая часть, а следовательно, и левая, обращается в нуль. Пример 3. Многочлен !"(х) = хз — бхг + 11х — б обращается в нуль нрн х=1, х=2, х=з. Следовательно, х' — бх + 11х — 6 = (х — !)(х — 2)(х — 3).
Никакое значение х = а, отличное от а1, аз, ..., а„, не может быть корнем многочлена з'(х), так как ни один из множителей в правой части равенства (2) не обращается в нуль при х = а. Отсюда вытекает следующее предложение. Многочлен и-й степени не мозкет иметь более чем п различных корней. Но в таком случае имеет место следующая теорема. Теорема 4. Если значения двух многочленов п-й степени !р!(х) и 1ог(х) совпадаю»а при и+ 1 различных значениях ао, а,, аг, ан аргумента х, !по зти многочлены тозгсдественны. Доказательство.
Обозначим через 2'(х) разность многочленов з(х) = у!(х) — !рг(х). По условию 1'(х) есть многочлен степени не выше и, обращающийся в нуль в точках а1, ..., а„. Следовательно, его можно представить в виде ,)(х) = Ао(х — а1)(х — аг)...(х — а„). Но, по условию, з'(х) обращается в нуль также в точке ао.
Тогда з(ао) = О и при этом ни один из линейных множителей не равен нулю. Поэтому Ао = О, а тогда из равенства (2) следует, что многочлен Дх) тождественно равен нулю. Следовательно, 1о1(х) — !рг(х) = О, или !р!(х) = !ог(х). 207 О КРАГНЫХ КОРНЯХ МНОГОЧЛБНА Теорема б. Если многочлен Р(х) = Аох" 4- А!хчв ' -Р, .4 .
!х+ Ап тоэюдесгпвенно равен нулю. то все его коэффициентам равны нулю. Доказательство. Запишем разложение этого многочлена на множители по формуле (2): Р(х) = .4ох" + 4,хп 1->...+А„!х+А„= Ао(х — а!)... (х — а„). (1 ) Если этот многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении х, отличном от а,, а„. Но тогда ни одна из скобок х — а1, ..., х — а„не равна нулю и, следовательно, АО=О Аналогичным образом доказывается, что А! — — О, Аг — — О и т.д. Теорема 6.
Если два многочлена тождестпвенно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соотпветствующим коэффициентам другого. Это следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Следовательно, на основании предыдущей теоремы все его коэффициенты -- нули. Пример 4. Если многочлен ехз РЬхг +ох+в'тождественно равен многочлену хг — 5х, то о = О, Ь = 1, с = — 5, й = О. 8 7. О кратных корнях многочлена Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители 7'(х) = .4о(х — а!)(х — аг)...
(х — ап) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид З'(х) = Ао(х — а1)Ы (х — аг)"' ... (х — а )! Ири этом к!+)Сг+ +~гп В этом случае корень а, называется корнем крагпности й! или к1-кратным корнем, аг — корнем кратности (сг и т.д. Пример. Многочлен 7(х] = хч — 5хг+ 8х — 4 разлагается на следующие линейные множители: 7(х) =- (х — 2)(х — 2)(х — 1). Это разложение мои!но написать так: 7(.) = (.
2)2(х — Уь Корень аг = 2 — двукратный корень, от = 1 — простой корень. гое |гл чп КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЪ| Аох + А|х | +... + А = О. Докажем, далее, следующую теорему. Теорема. Если а| является для многочлена )(х) корнем крат- ности к| > 1, то для производной )'(х) это число является корнем кратности й| — 1. Доказательство.
Если а| есть корень кратности 1г, > 1, то из формулы (1') следует: Г(х) = (х — а) '|р(х), где |р(х) = (х — аг)"'... (х — а )" не обращается в нуль при х = а|, т.е. |р(а,) ф О. Дифференпируя, получим; )'(х) = Й|(х| — а|) ' |р(х) + (х — а|)|н|р'(х) = = (х| — а,)"' '(й||р(х) + (х — а|)р'(х)!. Обозначим: |р(х) = Й|Ч|(х) + (х — а|)|р'(х). )'(х) = (х — а|) ' |)|(х), Тогда причем |д(а|) = И|~|р(а|) + (а| — а|)|р (а|) = к||р(а|) ~ О, т.е, х = а| есть корень кратности й| — 1 многочлена )'(х). Из проведенного доказательства следует, что если к| = 1, то а| не является корнем производной ('(х). Из доказанной теоремы следует, что а| является корнем кратности й| — 2 для производной )о(х), корнем кратности й| — 3 для производной 1'о(х)..., корнем кратности 1 (простым корнем) для производной у|ь' ц(х) и не является корнем для производной )<~О(х), т.е.
)(а|) = О, ('(а|) = О, )о(а|) = О, ..., (1"' О(а,) = О, но )ОО(а|) ~ О. Если многочлен имеет корень а кратности й, то мы будем считать, что многочлен имеет й одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема. Всякий многочлен и-й степени имеет ровно и корней (дейстлвительных или комплексных). Замечание.
Все, что говорилось о корнях многочлена )(х) = Аох" + А|х" +... + А„, можно, очевидно, сформулировать в терминах корней алгебраического уравнения РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ 209 2 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексньвх корней В формуле (Ц 2 7 гл. ЧП корни аы аз, ..., а„могут быть как действительными, так и комплексными. Имеет место следующая теорема. Теорема. Если мноеочлен У(х) с дейстеителъными коэффициентами имеетл комплексный корень а + 16, тло он имеет и сопрязвсенный корень а — Й. Доказательство. Если мы подставим в многочлен 1(х) вместо х число а+ 16, произведем возведение в степени и соберем отдельно члены, содержащие 1 и не содержащие в', то получим: 7'(а + Й) = М + гФ, где М и Ф вЂ” выражения, не содержащие 1.
Так как а+ Й вЂ” корень многочлена, то 1(а + 1Ь) = М + вМ = О, откуда М=О, %=О. Подставим теперь в многочлен вместо х выражение а — вЬ. Тогда (на основании замечания 3 в конце 2 2) мы получим в результате число, сопряженное с числом М+ в61, т.е. 1(а — 16) = М вЂ” вФ. Так как М = О и Ф = О, то 7(а — вЬ) = О, те. а — вЬ есть корень многочлена.
Итак, в разложении 1(х) = Ао(х — а1)(х — ат)... (х — а„) комплексные корни входят попарно сопряовсенными. Перемножив линейные множители, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными козффициентами; [х — (а+ вЬ)[[х — (а — вЬ)[ = = [(х — а) — вЬ][(х — а) + в6] = = (х — а)2+ ЬЗ = хт — 2ах+а + Ь = хт+рх+ у, где р = — 2а, д = аз + Ь2 — действительные числа.
Если число а+ Й является корнем кратности й, то сопряженное число а — Ьв должно являться корнем той же кратности й, так что наряду с линейными множителями х — (а+ Й) в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида х — (а — Й). рзь ьп комплексные числя, мпогочлены Таким образом, многочлен с дейстпвительними коэффициентами раэлагаетсл на мноэссители с дейсгпвительными коэффициента си первой и второй степеней соатпветствующей кратности, т.е.
ф(х) = 4о(х — а1) '(х — аг) ' ...(х — а,)ь"(хз -Ь р,х + д1)б ...(:ез Е р,х + д,)~*. Прн этом Ь, + /сз + ... -ь Ьс + 21, + ... + 21, = и. з 9. Интерполирование. Интерполяпионная формула Лагранжа Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами у и х, описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция у = у(х) остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции уо, уг, уг, .; ул при некоторых значениях аргумента хо, хы хз, ..., х„, принадлежащих отрезку (а, Ь].
Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию у = ~р(х) на отрезке [а,Ь] точно или приближенно. В Рис. !оо более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке (а,Ь] заданы значения неизвестной функции у = у(х) в и + 1 различных точках хо, хг, .оп Уо = ~(хо), У 5 Р(х ), ", Уп =т(х ); требуется найти многочлен Р(х) степени < п, приближенно выражающий функцию ~в(х). В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках хо, хы хг, ..., х„совпадаюти с соответствующими значениями уо, уы уз, ...,.
у„функции со(х) (рис. 165). Тогда поставленная задача, называемая ссзадачей интерполирования функции», формулируется так; для данной функции у(х) найти многочлен Р(х) степени < и, который при заданных значениях хо, хы ..., х„принимал бы значения уо — — р(хо), у| = ~р(х1), ..., у„= р(хл). 22! ИНГВРПОЛЯПИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА В качестве искомого многочлена возьмем многочлен и-й степени вида Р(х„) = у„. (2) Р(хо) = уо, Р(х1) = у1, Положим в формуле (1) х = хо, тогда, принимая во внимание равенства (2), получим: уо = Со(хо — х1)(хо — хг)... (хо — хо), откуда УО Со— (ХΠ— Х1)(ХΠ— Х2)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
