Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Это приращение обозначают символом Ьрх (на рисунке отрезок ТТ'); 11 е = У(х, у + Ау) — Пх, у) (2) Приращение схух функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности х = 1(х,у) с плоскостью х = сопзс, параллельной плоскости Оух. Наконец, сообщив аргументу х приращение Ьх, а аргументу у — приращение сху, получим для - новое приращение 1хг, котО- рос называется полным приращением функции х и определяется формулой схх = 1(х + Ьх, у + Ьу) — 1(х, у).
Р) На рис. 169 Ьх изображается отрезком сусы. Нацо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. 1лх ф сх,х+ Ьух. Пример. х = ху. Гх, и = (х + ах)у — ху = усХх, аих = х(р Р ар) — хр = хар, Ох = (х се Ох)(у+ Ьу) — ху = рах+ хау -1- Ьхау, При х = 1, у = 2, Ьх = 0 2, ау = 0 3 имеем Гх и = 04, Бух — — 0 3, ах =- 076. Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных. Так, для функции трех переменных и = 1(х,у,1) имеем: Ь,и = 1(х+ Ьх, У,1) — 1(х, У,1), Ьуи = У(х,у+ Ау,г) — Ях, у,1), ь1и = ('(х,у,1+ ы) — т'(х,у,1), Ьи = г'(х+ Ах,у+ Ау,г+ А1) — Дх,у,г). ггг ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЫХ юл у~н г 4.
Непрерывность функецти нескольких переменных Введем одно важное вспомогательное понятие - понятие окрестности данной точки. Окрестностью радиуса т точки о Мо(хо, уо) называется совокупность всех точек х, у, удовлетворяющих неравенству (х — хо) + (у — уо) с т, т.е.
Совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса м (ду) т с центром в точке Мо(хо,уо). Если мы говорим, что функция Дх,у) обладает каким-либо свойством «вблизи О х (хо,уо)» или «в окр~стности точк~ Рис. 170 (хо,уо)», то под зтим подразумеваем, что найдется такой круг с центром (хо,уо), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Прежде чем рассматривать понятие непрерывности функции нескольких переменных, рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных* ). Пусть дана функция е = 1(х,у), определенная в некоторой области 0 плоскости Оху, Рассмотрим некоторую определенную точку Ма(хо,уо), лежащую в области С или на се границе (рис.
170). Определение 1. Число А называется пределом функции Дх,у) при стремлении точки М(х, у) к точке Мо(хо, уо), если для каждого числа е > 0 найдется такое число т > О, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется неравенство ММо ( т, имеет место неравенство ()'(х,у) — А! с е. Если число А является пределом функции Д(х,у) при М(х,у) -у -+ Мо(хо,уо), то пишут: 1пп 1(х, у) = А.
у-оуо Опр~ееление 2. Пусть точка Мо(хо,уо) принадлежит области определения функции 1(х, у). Функция х = 1(х, у) называется непрерыеноог о точке Мо(хо,уо), если имеет место равенство 1нп 7'(х,у) = г"(хо уо), У уо Мы будем в основном рассматривать функции двух переменных, так как рассмотрение трех и более переменных не вносит никаких принципиальных изменений, но вносит добавочные технические трудности. НЫ!РЬРЫВНОСГЪ ФУНКЦИИ НЕОКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ причем точка М(х, у) стремится к точке Мо(хо,уо) произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Если обозначим х = хо+ Ьх, у = уо+Ьу, то равенство (!) можно перописать так: 11щ .((хо+ сзх, уо+ 2ху) = ((хооуо) отх-оо ар- о или (1о) 11п1 [2(хо + оахоуа + оду) — 1(хо,уо)) = О. Ьхоо зр — оо ОО ° ° Ор= '~РРРО1О„1. ПО. О. О ° П„О Пр О, и обратно, если Ьр — р О, то Ьх -р О и Лу -р О. Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (1Н), есть полное приращение функции Ьх, равенство (1н) можно переписать в форме 1нп сзх = О.
(1о') ар — оо Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в обласпиь Если в некоторой точке 2У(хо,уо) не выполняется условие (1)о то точка оу(хо,уо) называется точкой разрыва функции 2 = 1(х,у). Условие (1') может не выполняться, например, в следующих случаях; 1) 2 = )'(х,у) определена во всех точках некоторой окрестности точки х(хо,уо), за исключением самой точки 1у(хо, уо):. 2) функция х = )'(х,у) определена во всех точках окрестности точки 1У'(хо,уо), но не существует предела 1пп ((х,у); Х-1Хо р оро 3) функция определена во всех точках окрестности ор'(хо,уо) и существует предел 11пз 1(х,у), но р — оро ,1 щ Ях,у) ~ 1(хо уо).
р — оро Пример 1. Функция х=х +у непрерывна прн любых значениях х и у, т.е. в любой точке плоскости Оху. Действительно, каковы бы ни была числа х и у, сух и соу, имеем: 212 = ((х Е дх)2 Ф (у+ Ду)2) (х2, у2) — зх22х -~- прочу Р дхт Р,.'\уз, следовательно, йт озх = О. а -оо ар- о Приведем пример разрывной функции. 224 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (гл щи Пример 2. Функция 2зу !=в з2ьу2 определена всюду, кроме точки т = О, у = О (рнс.
171, ! 72). Рис. 171 Рис. 172 Рассмотрим значения 2 вдоль прямой у = ьх (ь = сопя!). Очевидно, вдоль этой прямой 2= 2Ь 2 2тс = — = сопя!, 2+Ь2 2 1+12 т.е. функция 2 вдоль всякой прямон, проходящей через начало координат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента Ь прямой. Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем получать различные предельные значения, а это значит, что функция 1(х, у) не имеет предела, когда точка (х,у) на плоскости Оту стремится к началу координат.
Следовательно, функция разрывна в этой точке. Эту функцию нельзя доопределить в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко вицеть, с другой стороны, что в остальных точках эта функция непрерывна. Укажем без доказательства некоторые важные свойства функции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области. Эти свойства аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной на отрезке (см. 2 10 гл.
11). Свойство 1. Если функция Дх, у,...) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области В, то в области В найдется по крайней мере одна точка )У(хо,уо,...) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение Дхо,уо,...) ) Дх,у,...), и по крайней мере одна точка )У'(хо,уо,...) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение ((хо, уо,...
) < Дх, у,... ) . Значение функции 7'(хо,уо,...) = М будем называть наибольшим значением функции Дх,у,...) в области В, а значение Дхо,УО,...) = Пз наименьшим значением. Это свойство формулируя>т и так. Непрерывная функ!(ил в замкнутпой ограниченной области В достпигаетп по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения тп. частнын пгоизводнык Функции Свойство 2. Если функция г"(х,у,... ) непрерывна в замкнутой и ограниченной области 0 и если М и т наибольшее и наименьп|ее значения функции |'(х,у,,) в области, то для любого числа д, удовлетворяющего условию т < р < ЛХ, найдется в области такая точка А|'(хо,уо,...), что будет выполняться равенство .|'(хо уо " ) =д Следствие свойства 2.
Если функция г" (х,у,... ) непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция у(х,у,... ) обращается в нуль. ~ 5. Частные производные функции нескольких переменных Определение.
Часткой производной по х от функции х= г'(х,у) называется предел отношения частного приращения сз,з по х к приращению Ьх при стремлении Ьх к нулю. Частная производная по х от функции з = у(х,у) обозначается одним из символов Таким образом, по определению, дз, Ь„я . З(х + Ьх, У) — Г(х, У) — 1пп — * = 1нп д ае о Ьх а* о Гзх Аналогично час|пиал производная по у от функции з = у(х,у) определяется как предел отношения частного приращения функции Ьуз по у к приращению Ьу при стремлении дсу к нулю.
Частная производная по у обозначается одним из символов дз д|' зз»з' ду' д ' У' Таким образом, да . Пу У(х,У+ау) — Пх.У) — 1нп — = 1пп ду ау о Пу ау о ау Заметив, что су,х вычисляется при неизменном у, а Ьуз при неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: заставой производной по х от функции з = у(х, у) называется производная по х, вычисленная в предположении, что у —. постоянная. Частной производной по у от функции х = у(х,у) называется производная по у, вычисленная в предположении, что х — постоянная. Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый рвз помнить, по какому переменному ищется производная.
Пример 1. дана функция з = ханну; требуется найти частные производные дз и дз оа и Зу 22б ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !Гг! ун! Решение. — = 2хиеу, а дх — = х сезр. дх 2 ар Пример 2. з = хз. Здесь — = дхз дх дх — = х" !и х. дх ду Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Так, если имеем функцию и четырех переменных х, у, х, 1: и = 7(х,у,х,1), то аи Пх + Гг2, р, з, 2) — Пх, у, г, 2) — 1пп дх ах,б Гьх ди . 7(х,у+ау,х,з) — Пх,у,х,!) сьг ар-ьб ар Пример 3. и = хг + уг + хззз, + з дх ' бЬ! ди Зхззг ди хзз дз ' д! 2 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Пусть уравнение х = Дх,у) Следовательно, предел 1пп гхзз ах ау- о ар ду есть уравнение поверхности, изображенной на рис.
173. Проведем плоскость х = сопя!. В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия РТ. При данном х рассмотрим на плоскости Оху некоторую точку М(х,у). Точке М Рис. !73 соответствует точка Р(х, у, х), принадлежащая поверхности х = 7(х,у). Оставляя х неизменным, дадим переменному у приращение Ьу = (М)у'1 = !РТ'1 Тогда функция х получит приращение 21рх = ~ТТ'~ (точке гу'(х,у+ Гну) соответствует точка Т(х, у+ сзу,х+ Ьрх) на поверхности х = Дх, у)). 2Х 2 Отношение — "- равно тангенсу угла, образуемого секущей РТ Ггр с положительным направлением оси Оу: гзу2 — ' = ткТРТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
