Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Из формулы (6) следуют правила, применяемые в приближенных вычислениях. Максимпльноп отпноситпельнот1 погрешностпью величины х называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине х и обозначается |3'х|, |т! ' (3) Для оценки максимальной относительной погрешности функции и разделим все числа равенства (2) на |и| = |~(х,у,г,...,1) а( ау д( — — |г)!'х|+ — ~ |Ь'р|+ + — |са 1|, (4) 234 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х |гл. Ун! (б и) = ~ )х — у) Если х и у близки, то может оказаться, что !б"и~ будет очень велика по сравнению с определяемой величиной х — у. Это обстоятельство следует учитывать при производстве вычислений. Пример 7. Период колебаний маятника равен Т = 2хч/!!'д, где ! — длина маятника, д — ускорение силы тяжести.
Какую относительную погрешность в определении Т мы допустим по этой формуле, принимая |г ш 3,14 (с точностью до 0,005), ! = 1 м (с точностью до 0,01 м), д = 9,8 м/сект (с точностью до 0,02 м/сект). Решение. По формуле (6) максимальная относительная погрешность равна 16'Т( = 1|3'!пТР Но !пТ =!п2+!п|г -|- — 1и! — — !пд. 1 1 2 2 Вычислим |Ь* !пТР Учитывая, что гг ш 3,14, гт'х = 0,005, ! = ! м, Ь'! = 0,01 м, д = 9,8 м/сект, 73" д = 0,02 м/сект, получим: Ь'!пТ = * + — + — = — '+ — ' Э вЂ” ' = 0,0076, гз*н Ь ! Ь*д 0,005 0,01 0,02 г 2! 2д 3,14 2 2 9,8 Итак, максимальная относительная погрешность равна б Т = 0,0076 = 0,76%.
3 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции Предположим, что в уравнении х = Р'(игу) и и и являются функциями независимых переменных х и у: и = 92(х,у), у = г(г(х,у). В этом случае х есть сложная функция от аргументов х и у. (2) 1. Пусть и = ху. Пользуясь результатами примера 3, получим: )ху! !ху( |х( !у! т.е.
максимальная относительная погрешность произведения равняется сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей. х 2. Если и = —, то, пользуясь результатами примера 4, находим: У' )б*и! = !б'х! + (б*у!. Замечание. На основании примера 2 следует, что если и = х — у, то ПОЛНАЯ НРОИЗВОЦНАЯ Конечно, » можно выразить и непосредственно через х, у, а именно: » = У[у«(х,у), ф(х,у)). (3) Пример 1. Пусть «=и и +и+1, и=х +у, и=с* "+1, то«Па «=(х +у ) (е«т»+1) +(х +у )+1. Ь» = д еа,и+ д»а,у+ 711.»,и+ 72«а,и.
дР ду' Разделим все члены этого равенства на Ьх: де «» и ди П«и Г~„и «а и à — ди Пх + д Пх + 'У1 Пх + 72»гх . Если Ьх -у О, то Ь,и — ! О и»а,у -1 О (в силу непрерывности функций и и и). Но тогда у1 и 72 тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при»3х -1 О, получим: Г«» д» . «» и ди ° «»еи ди 1пп — = —, 1пп * = —, 1пп ах — «О Ох дх Г«х — «О Пх дх Г«х — «О 1пп 71 — — О, 1пп .р = О ах-«о ' ах- о и, следовательно, д« де ди де ди — = — — + — —.
дх ди дх ди дх' (4) Если бы мы дали приращение Ьу переменному у, а х оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы: — = — — + —— д» де" ди де ди (4 ) ду ди ду ди ду' Пример 2. « У,«! у. « = !П(и д« ди +и), и=е*т 2и д« 02+„а„ вЂ” = 2уе*+" ди ду 1 и» -1-и ах — = 2х а ду ди *+»« дх Предположим, что функции г'(и, и), у(х,у), у)(х,у) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам, и а* а поставим задачу: вычислить — и —, исходя из уравнений (1) дх ду' и (2) и не пользуясь уравнением (3). Дадим аргументу х приращение »Зх, сохраняя значение у неизменным. Тогда в силу уравнения (2), и и у получат приращения «.'«,и и Ьхи.
Но если и и и получают приращения Ь и и са,и, то и функция » = Р(и,у) получит приращение Ьх, определяемое формулой (5') ~ 7 гл. Ъ'П1: 23б 1гл уш функции нвокольких пнгвмкнных Используя формулы (4) н (4'), находим: д» 2и е Егг + 1 2« 2- (ие«Ь«г + х) дх и»еи г„„* иг д» 2и 2 «ьгг 1 1 ( ь г ) ду и».1.и иг-~-и иг 1-и' г В пскледнне выражения вместо и я и необходимо подставить е*тг н хг .1- у соответственно. Для случая большего числа переменных формулы (4) и (4') естественным образом обобщаются.
Например, если го = Г(г,и,и,з) есть функция четырех аргументов г, и, и, з, а каждый из них зависит от х и у, то формулы (4) и (4') принимают вид (5) — = — — + — — + — — + — —. ду дг ду ди ду да ду дз ду' Если згдана функция х = Р(х, у,и, н), где у, и, и в свою очередь зависят от одного аргумента х: у = 1(х), и = ьг(х), и = ф(х). б» дг дг бу дг би дг би — = — + — — + — — + — —.
бх дх ду бх ди бх ди бх' носит название формулы для вычисления полной (в отличие от настиной производной — ). дг дх ' Эта формула произеодно11— бг Ых Пример 3. зуд, у мпх, бу — — = соз х. 2и»у ' бх — = 2х, д» дг дх ' ду Формула (б) дает в зтом случае следующий результат: бг д» дг иУ 1 ! — = — + — — = 2х+ — созх = 2х+ сазу. ох ду бх 2и»у 2ъ«илх Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами (1) и (2). то, по сути дела, г является функцией только одного переменного бг х и можно ставить вопрос о нахождении производной —.
4т' Эта производнзл вычисляется по первой из формул (5): и» д» дх дг ду д» ди дг ди — = — — + — — + — — + — —; бх дх дх ду дх ди дх ди дх1 но так как у, и, и — функции только одного х, то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, — = 1; дх поэтому 237 ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО 1 19 Подставляем выражения — и —, определенные равенствами (4) дг дх д ду и (4'), в формулу полного дифференциала ссх = — ссх + — с(у. дг дх дх ду Получаем: Произведем следующие преобразования в правой части: ссх = — ( — ссх+ — 0у) + — ( — сСх+ — сСу).
др С да ди 1 дР Сди ди ди тдх ду ) ди 'тдх ду (7) Но — ссх+ — ссу = сти,~ ди ди дх ду — с1х+ —, с(у = ссп. ди ди д, ду Равенство (7) с учетом равенств (8) можно переписать гак: с)х = — сти + — сЬ др др ди ди (8) (9) или З 11. Производная от функции, заданной неявно Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной фучкции одного переменного* ).
Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением г'(х,у) = С. Докажем следующую теорему. '1 В 1 11 гл. П1 мы решали задачу о дифференцировании неявной функции одного переменного. Там мы рассматривали отдельные примеры и не нашли общей формулы, дающей производную от неявной функции, а также не выяснили условий существования этой производной. ссг = — сси + — сси. ди ди (9') Сравнивая (6) и (9'), можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференцивла первого порядка) имеет тот же вид, т.е. форма дифференциала инвариантна, являются ли и и и независимыми переменными или функциями независимых переменных. Пример 4.
Найти полный дифференциал сложной функции х=и и, и=х з1пу, и=х е". Решение. По формуле (9') имеем: д» = 2ииз ни+ визит с(и = 2ииз(2хшпус(х Р х сову с(у)+визит(зхте" дх Рх е" иу). Последнее выражение можно переписать и так: дх = (2ииз 2хзспу(зи о Зхте")с(х+(2ии~х сову+Зититх е")с(у = — их+ — «сСу. дх ду гзз ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЫХ ~ГЛ. УН2 Теорема.
Пусть непрерывная функция у от х задаетгя неявно уравнением Р'(х, у) = О, (1) где г(х,у), гх(х,у), ру(х,у) непрерь2вные функции в некоторой области Р, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют уравнению (1); кроме того, в втой точке Гу'(х,у) ф О. Тогда функция у от х имеет производную р.'(х у) 2 р'(х )' () Доказательство. Пусть некоторому значению х соответствует значение функции у. При этом Р(х,у) = О.
Дадим независимому переменному х прирашение Ьх. Функция у получит приращение гзу, т.е. значению аргумента х+ 2.'гх соответствует значение функции у = Ьу. В силу уравнения Р(х,у) = О будем иметь: Р'(х + 2)гх,у + Ьу) = О. Следовательно, Р(х+ Ьх,у+ Ьу) — Р(х,у) = О. Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных по формуле (5') З 7, можно переписать так: г (х + схх>у + сху) г (х~у) = Ьх+ сху + 71Ьх+ ~гсху~ дР дР где 71 и 72 стремятся к нулю при Ьх и Ьу, стремящихся к нулю.
Так как левая часть последнего выражения равна нулю, можно написать: — Ьх+ — суу+ угг.'гх + 72Ьу = О. дР дР дх ду Разделим последнее равенство на схх и вычислим — ": Ь С2Х дР Ьу ох+ ~2 Ьх др — + 72 ду Устремим Ьх к нулю. Тогда, учитывая, что при этом 72 и 72 также стремятся к нулю и что — ф О, в пределе получим: дР ду дР (2') ду Мы доказали существование производной у,' от функции, заданной неявно, и нашли формулу для ее вычисления.
Пример 1. Уравнение хг + уг — 1 = О 239 пноизводнля от гьункции, злдлнной неявно определяет у как неявную функцию от х. Здесь Е(х,р) = хг.1-д~ — 1, — = 2х, Следовательно, по формуле (1) г)у 2х х й = 29= Заметим, что заданное уравнение определяет две разные функции (так как каждому значению х в промежутке (-1, 1) соответствуют два значения р); однако найденное значение у', справедливо как для одной, так и для другой функции.
Пример 2. Дано уравнение, связываюгдее х и у: е" — е* + хр = О. Здесь г (х, у) = е" — е* + ху, — =-е +у, — =е" +х. дл * дх дх ' ду Следовательно, по формуле (1) получаем: г19 -е*+ у е* — р пх ек+х ек+х' Рассмотрим теперь уравнение вида Г(х, р, г) = О. (3) Если каждой паре чисел х и у из некоторой области соответ- ствует одно или несколько значений х, удовлетворяющих уравне- нию (3), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций х от х и у. Например, уравнение хг+ уз+ хг — Яг = О неявно определяет две непрерывные функции х от х, у, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно х; в этом случае мы получаем: яг — х — уг их= — я — х — у г г г г дх дх Найдем частные производные — и — неявной функции х от х дх ду и и, определяемой уд1гавнением (3).
Когда мы ищем —, мы считаем у постоянным. Поэтому здесь применима формула (2'), если только независимым переменным считать х, а функцией х. Следовательно, дд дх дс ' дх Таким же путем находим дс ду дд д. 240 ~гл. ьт етункции нескольких пкгкмкнных Предполагается, что — ф О. дс Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных н находятся их частные производные. Пример 3. х +у +»г — Яг = О, д» 2». х д» У дх 2» «' ду Дифференцируя зту функцию как явную (после разрешения уравнения отиосительно «), иы получили бы тот же результат. Пример 4.
е' + хгу+ «+ 5 = О. Здесь Р1х,у,») = е'+х у+»+5, дг =2ху, дг =хг дР же» Ь1, д» 2»у д» хг дх е'+1' ду е*+1' Замечание. Все рассуждения этого параграфа производились в предположении, что уравнение Р'(х,у) = О определяет некоторую функцию одного переменного у = у(х); уравнение Р(х,у,х) = О определяет некоторую функцию двух переменных х = Дх, у). Укажем без доказательства, какому условию должна удовлетворять функция Р(х,у), чтобы уравнение Р(х,у) = О определяло однозначную функцию у = ут(х).
Теорема. Пустпь функг)ия г" 1х, у) непрерывна в окрестности тпочки (хо,уо) и имеет птам непрерывные»астана»е производные, причем Гу(х,у) 54 О, и пустпь Г(хо,уо) = О. Тоеда сущсствуетп окрестность, содержащая точку (хо, уо), в которо»2 уравнение г'(х,у) = О определяет однозначную функ»)ию у = ут(х). Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции, определяемой уравнением г"1х, у, х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
