Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Замечание. При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями, которые и определяют существование неявных функций. 5 12. Частные производные различных порядков Пусть имеем функцию двух 'переменных: » = У1х, У). Частные производные — ' = Д(х, у) и — * = )у'(х, у), вообще говоря, являются функциями переменных х и у.
Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных 241 ЧАСГНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ з 121 чепзыре так как каждую из функций — и — можно дифференд» д» дх ду цировать как по х, так и по у. Вторые частные производные обозначают так: 1(х, у) = хгу Е уз. Решение. Последовательно находим: ау ду — ~=х +зу агу д(хг+ Зуг) ду дх дх — = 2ху, д/ дх д»У д(2ху) д ду ду дгг — = бу.
дуг = д2У вЂ” = 2у, д»2 Пример 2. Вычислить — г — н — ~, если» = у е* ах у + 1. дз» дз» г 2 з дх ду дудх ' Решение. Последовательно находим: — = узе» Е 2уз д» = 2уе* Е буг » з дхг дхг ду — = 2уе* + бхуг, = 2уе* + буг. дудх = ' дуди' = д» у2е* + 2хуз дх д ду †» = 2уе* Е Зхгу Пример 3. Вычислить — г — —, если и = »ге*+» . дх дуд.' Решение. — = 4у»е*+" да и дхг дуд. — =» е*ег, — =2у» е дги 2 » г дзи 2 е ' дхг ' д гду 2 — = »ге*+", дх дг» и здесь ) дифференцируется последовательно дх' ** ' ' два раза по х; дг, „здесь у сначала дифференцируется по х, а дхду *" ' ' потом результат дифференцируется по у; дг, „здесь у сначала дифференцируется по у, а дудх в* 'У ' потом результат дифференцируется по х; дг, „здесь у дифференцируется последовательно дуг Р" ' ' два раза по у.
Производные второго поряцка можно снова дифференцировать как по х, твк и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь: дз» дз, дз, дз» дз» дз» дз» дз, дх ' дхгду' дхдудх диду'' дуди дуд,ду' дугдх' дуз' Вообще, час»пнин производная и-го порядка есть первая производная от производной (и — 1)-го порядка. Например, д» дхв ду" есть производная и-го поряцка, здесь функция х сначала р раз дифференцировалась по х, а потом и — р раз по у.
Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично. Пример 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции 242 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~гл. уш Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным, т.е, будут ли, например, тождественно равны производные а2у а2у аариара или аз г(*, рд) аз г(х,р, 2) и аа ит.д. Оказывается, что справедлива следующая теорема.
Теорема. Если функция 2 = ((х,у) и ее частные производные 22, 22', ~,"„и (о определены и непрерывны в точке М(х,у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке а2у д2у а*ар арах Доказательство. Для доказательства рассмотрим выражение А = [((х + Ьх, у + Ьу) — Дх + Ьх, у)] — [Дх, у + Ьу) — Дх, у)]. Если введем вспомогательную функцию ~р(х), определенную равенством ~р(х) = ((х, у + еуу) — ((х, у), то А можно записать в виде А = у2(х+ Ьх) — ~о(х).
Так как, по предположению, Д определена в окрестности точки (х,у), то, следовательно, у(х) дифференцируема на отрезке [х,х+ 2лх]; но тогда, применяя теорему Лагранжа, получим: А = Ьх 22'(х), где х заключено между х и х+ 2'."2х. Но у (х) = Д(х, у+ Ьу) — Д(х, у). Так как Д'„определена в окрестности точки (х,у), то г,' дифференцируема на отрезке [у,у+ 2лу], поэтому, применив к полученно22 разности вновь теорему Лагранжа (по переменному у), будем иметь; ~, (х, у + Ьу) — Д(х, у) = Ьу~ '„(х, у), где у заключено между у и у+ Ьу. Следовательно, первоначальное выражение А равно А = 42хс2уД'„(х,у). (1) Переставив средние слагаемые в первоначальном выражении для А, получим А = [Дх+ Ьх,у+ Ьу) — ((х,у+ Ьу)] — [((х+ Ьх,у) — Дх,у)]. 1 121 частныв пгоизводныв пвзличных погядков Введем вспомогательную функцию ф(у) = Г'(х+ 4)х,у) — Г'(х, у), тогда А = 2у(у+ Ьу) — 212(у).
Применяя снова теорему Лагранжа, получим: А = 4МФ'(у), где у заключено между у и у+ Ьу. Но У2 (у) = ~у(Х + 42Х,у) — ~„'(Х,у). Применив еще раз теорему Лагранжа, получим: ~„'(х+ Ьх,у) — ~„'(х,у) = Ьх~п (х,у), где х заключено между х и х+ Ьх. Таким образом, первоначальное выражение А можно записать в виде А = сауЬх)'„",(х,у). (2) Левые части равенства (1) и (2) равны А, следовательно, равны и правые, т.е. Ьх ЬУ(,"„(х, У) = ЬУ 2."1х ~„", (х, У), откуда 1 „(х,у) = ~„' (х,у). Переходя в этом равенстве к пределу при Ьх -+ О и Ьу -+ О, получим: дзи дзп Пример 4. Найти — и, если и = с*в в1п 2. Решпеии. двп = еев вша+ хуе вв102 = с*в(1+ ху)в1пв, ее ду — = УЕ "В2П2 дп дх 1пп у,в(х, у) = 1пп ~„",(х, у).
Ьу -+О ау-~0 Так как производные Д'„и ~„", непрерывны в точке (х,у), то 1пп Дв(х, у) = ~,"„(х, у) и 1пп ~„", (х, у) = Уу, (х, у) . Окончательно Ьх-20 а 0"' Ьв — 20 ау-20 получим: ~,'„(х, у) = ~„",(х, у), что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы как следствие получается, что если д" 1 д" г частные производные -в — „--~ и — „— з — у непрерывны, то д"У д" У дев ду"-" ду--' дх"' Аналогичная теорема имеет место и для функции любсго числа переменных. 244 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (гл и!и д'и ди * . ди .= е*"(1-1- ху)сое», —, = хе*"Мп», и = хе*"сое», дхдуд» ду ' дхд» дэи = е»и сое» Ф хуе™ сое» = е*" (1 т ху) сое». ду д» дх Следовательно, дзи д»и дх ду д» ду д» дх (см., кроме того, примеры ! .2 этого параграфа). 9 13. Поверхности уровня Пусть в пространстве (х,у,х) имеется область Р, в которой задана функция и = и(х,у, 2).
(1) В этом случае говорят, что в области Р задано скалярное поле. Если, например, и(х,у,х) обозначает температуру в точке М(х,у,х), то говорят,что задано скалярное поле температур; если область Р заполнена жидкостью или газом и и(х,у,х) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т.д. Рассмотрим точки области Р, в которых функция и(х,у,х) имеет постоянное значение с: и(х,у,х) = с. (2) Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение с, то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхноспьами уровня. Пример 1. Пусть задано скалярное поле. »2 у»2 и(х,у,») = — + — -!- —.
4 9 16' Здесь поверхностями уровня будут поверхности »2 у» »2 — 4- — .1- — = с, 4 9 16 т.е. эллипсоиды с полуосями 2угс, Зуго, 4»гс. Если функция и есть функция двух переменных х н у: и = и(х,у), то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости Оху: и(х,у) = с, (2') Рис. 176 которые называются ли- ниями уроемя. 248 пноизводная по нлпгявлянию 14! Если значения и мы будем откладывать по оси Ох: = и(х, у), то линиями уровня на плоскости Оху будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности х = и(х,у) с плоскостями х = с (рис.
!76). Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности Рнс. 177 х = и(х,у). Пример 2. Определить линии уровня функции » = 1 — хг — уг. Линиями уровня будут линни с уравнениями ! — хг — уз = с. Это (рнс. 177) окружности с радиусом зуТ вЂ” с. В частности, прн с = 0 получаем окружность хг Ч уг = 1. 8 14.
Производная по направлению Рассмотрим в области О функцию и = и(х, у, х) и точку М(х, у, х). Проведем из точки М вектор Я, направляющие косинусы которого сова, соя!7', соя7 (рис. 178). На векторе Я, на расстоянии »дз от его начала, рассмотрим точку М1 (х+ 21х, у+»ду, х+.Ьх). Таким образом, з* = з'з*' ~зз';- ~*'. Рнс. 178 Будем предполагать, что функция и(х, у, х) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .О. Аналогично тому, как зто делалось в 8 7, полное приращение функции представим так; Ьи= — Ьх+ — "Ьу+ — "Ьх+81Ьх+8221у+язЬх, (1) дх ду д» где 81, Яг и Яз стРемЯтсЯ к нУлю пРи сзз -4 О. РазДелим все члены равенства (1) на Ья: — = — — + — — + — — +81 — + яг — +яз— ан ан ах дн ау дн гу» Дх гзу а» (2) »Хз дх Ьз ду Ьз д» дз Ьз аз Ззз' Очевидно, что — = сова — = соя !4 — = сову, »зх »зз Ьз аз Следовательно, равенство (2) можно переписать так: — = — сова+ — сояД+ — сову+ 8!сова+ яг соя!7+ яз соз7.
(3) ан ан ав дн аз ах ау а ФУИКПИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !Гл. уп! Предел отношения ,Ьи схв Функции и = и(х у, х) в сти и обозначается —, т.е. дв ' при ьав -« О называется производной ога точке (х,у, х) по направлению вектора Я )гш — = —. сзи ди дв ~о сзв дв найти производную о- в точке м(1,1, Ц: а) в напсзавледи нии вектора Я! = 2! -1-3 -«зй; б) в направлении вектора Яз = ! -!-,! -!- й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
