Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 49
Текст из файла (страница 49)
-1- х — а). Находим ее частные производные: гл 1 *1 + Л = — — + Л = О или и = — иЛхы 1 и и хг хгхз...х п — 1 (хг ..х„) — ФЛ= О хг или и = — иЛхг, Е' = — — -ЕЛ=О 1 и их или и = — иЛх„. Из последних равенств находим: а на основания уравнения (12] получаем. хг = хг = .. = х = а/и. По смыслу задачи эти значения дают максимум функции ,",хг...тин равный а/и.
Таким образом, для любых положительных чисел хг,хт,...,х„, связанных соотношением хг + хг + + х„ = а, выполняется неравенство ;/х;. †. †.х. ( и/и (13) (так как, по доказанному, — является наибольшим значением этой функции). а и Подставлвлг теперь в неравенство (13) вместо а его значение, полученное из равенства (12),найдем: (14) Это неравенство справедливо для любых положительных чнсел хл, хг, ..., х„. Выражение, стоящее в левой части соотношения (14), называется средним гео- метрическим этих чисел.
Таким образом, среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднею арифметического. единственная система значений х, й н г, при которых молсегп бьппь максимулг или минимум. Можно доказать, что полученное решение дает максимум. Впрочем, это ясно н из геометрических соображений (в условиях задачи объем коробки не может быть неограниченно большим; следовательно, естественно ожидать, что при каких-то опрелеленных значениях сторон этот об~ем будет наибольшим). Итак, для того чтобы объем коробки был наибольгпилЬ эта коробка должна быть кубом, ребро которого равно;/а/3. Пример 2. Определить наибольшее значение корня и-й степени из произведения чисел хм хг, ..., х„прн условии, что их сумма равна данному числу а.
Следовательно, задача ставится так: требуется найти максимум функции н = т/хг...х„при условии 283 метод нхимвньших квлдглтов 8 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов Пусть на оснонании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х: Пусть в результате эксперимента получено и значений функции у при соотвегсгвующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу: Рна !88 Вид функции у = !р(х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. (Эти точки мы будем называть «экспериментальными точками».) Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координагной плоскости так, как показано на рис.
188. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естестственно предположить, что искомую функцию у = !р(х) можно искать в виде линейной функции у = ах+ Ь. Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 189, то естественно искать функцию у = !р(х) в виде у = ах и т.д. ь При выбранном виде функции у = !р(х, а, Ь,с,...) остается подобрать входяьцие в нее параметры а, Ь, с,... так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.
Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений у,, даваемых экспериментом, и функции у!(х, а, Ь, с,, ) в соответствующих точках: 5(а, Ь,с,...) = ~~! [у, — !р(хг,а, Ь,с,...)]~. (2) ь=! Подбираем параметры а, Ь, с,...
так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение: Я(а, Ь, с,... ) = ~~ (у! — !Р(х;, а, Ь, с,... )) 2 = пип . !=1 Итак, задача свелась к нахождению значений параметров а, Ь, с,..., при которых функция 5(а, Ь,с,... ) имеет минимум. 2б4 )Гл "н! Функции нескольких НКРвмкнных На основании теоремы 1 (2 17) следует, что эти значения а, Ь, с,... удовлетворяют системе уравнений — — О, дд =О, (4) или в развернутом виде: [у! — !р(хоа,Ь,с,...)] ',,' ' '— 1=1 [у, — !р(х1,а, Ь,с,...)] !=1 и ~ [у! — !р(хба, Ь,с,...)] ~ =О =О, о'(а, Ь) = ~~! [у! — (ах! + Ь)] . г=1 Это функция с двумя переменными а и Ь (х! и у! — заданные числа; см. таблицу на стр.
293). Следовательно, — 2 ~~ [у! — (ах! + Ь)]х! = О, 1=1 — 2~ [у! — (ах!+ Ь)] = О, 1=! дд да дд дб т.е. система уравнений (5) в этом случае привил!ает вид: уах! в=1 и ~. у!— и — а~ х,. — Ь~~ х,=О, !=1 $=! и а~ х; — ЬН=О. (7) Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: а и Ь. Очевидно, что система имеет определенное решение и Здесь имеется столько уравнений, сколько и неизвестных. В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы уравненй (5) и о существовании минимума функции о(а, Ь, с,...). рассмотрим несколько случаев определения функции у = !р(х,а, Ь,с,...). 1. Пусть у = ах+ Ь.
Функция о(а,Ь) в этом случае имеет вид (см, выражение (2)): 2бб «91 МЕГОД НАИЫЕНЬШИХ КВАДРАТОВ что при найденных значениях а и б функция Я(а, б) имеет минимум'«. П. Пусть ча аппроксимируюшую функцию взят трехчлен второй степени у=ах +Ьх+с. В этом случае выражение (2) имеет вид: в о'(а, Ь,с) = ~ ~(у! — (ах!+ Ьхг+ с)]г. (8) Это функция трех переменных а,б,с.
Система уравнений (5) при- нимает вид: — (ах,' + бх, + с)]х,' = О, — (ахг + Ьх, + с)]х! = О, — (ахг + Ьх, + с)] = О, или в развернутом виде; =О, =О, «=1 Получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных а«Ь, с. Из характера задачи следует, что система имеет определенное решение и что при полученных значениях а, Ь, с функция о(а, Ь,с) имеет минимум. ! Это легко устанавливается и на основании достаточных условиИ (см.
теорему 2 Ь 17). Действительно, здесь дгя г дгд дгя — =2~к,, — =2 1 х„— =2н. даг ' ' дадб " дбг Следовательно, «=1 =1 «д и У1Х, «=1 н у!х! «=1 ;Су,— — а~ х; «=1 в — а~ х, «=1 а~ х;-- — ь~ «=1 — ь~ «=1 Ь~ хг х,— с~ х,.
«=1 х; — с~ х! йбб (гл юп пункции нвскольких пнгемвнных Пример. Пусть на основании эксперимента получены четыре эначенвя искомой функции у =-1а(х) при четырех значениях аргумента (я=4), которые чависаны в таблице Рис. 190 Будем искать функцию 1а в виде линейной функции у = ах 4- 6. Составляем выражение 5(а, 6): Я(а,Ь) = ~(у, — (ахг-,'- 6)] . =1 Для составление системы (7) для определения коэффициентов а и 6 предвари- тельно вычисляем ~угх1=21, ~х! =39, 6 х, = 11, ~, у; = !0. =1 Система (7) принимает вид: 21 — 39а — 11Ь = 0,1 !Π— 11а — 4Ь = О. )( Решая зту систему, находим а и Ь1 а = — 2б735, Ь = 159/35. Искомая прямая (рис. 190) есть 20 159 и = — — х-1.
—, 35 35' 3 20. Особые точки кривой Понятие частной производной используется при исследовании кривых. Пусть кривая зацана уравнением Е(х,у) = О. Угловой коэффициент касательной к кривой определяется по формуле (см. ~ 11 гл. У???). Если в данной точке М(х, у) рассматриваемой кривой по крайней мере одна из частных производных —, и —, не обращается в др др дх ду нуль то В этой точке вполне определяется или — или —.
Кривая ду дх Гу' Е(х, у) = О в такой точке имеет вполне определенную касательную. В этом случае точка М(х, у) называется обыкновенной точкой. ОСОБЫЕ ГОЧК>! КРИВОЙ 6 гю Естественно, что не всякая кривая имеет особые точки. Так, например для эллипса уг — + — — 1=0 2 62 очевидно, Е(х,у) = — + — — 1, хг уг дР 2х аг 62 ' дх аг' дР 2у ду = ог производные — и —,' обращаются в нуль только при х = О, у = О, дР дР дх но эти значения х и у не удовлетворя!от уравнению эллипса. Следовательно, эллипс не имеет особых точек.
Не предпринимая особоггз исследования поведения кривой вблизи особой точки, рассмотрим несколько примеров кривых, имеющих особые точки. Пример 1. Исследовать особые точки кривой у — х(х — а)г = 0 (а > 0). Решение. В данном случае Р(х, у) = уг — х(х — а)2, поэтому — = (х — а](а — Зх), др дх Решая совместно трн уравнения: Р(х,у) = О, —, = О, —, = О, др дх ' ду находим единственную удовлегворяюшую ям систему значений х я у: хе=а, уо =О. Следовательно, точка Мо(а, 0) есть особая гочка кривой. Исследуем поведение кривой вблизи особой точки н построим кривую.
!1ерепишем данное уравнение в виде у = х(х — а)чгх. Если Гке в некоторой точке ггго(хо,уо) имеем (~~) =О и ( —,) =О, го угловой коэффициент касательной становится неопределенным. Определение. Если в точке г)ХО(хо,уо) кривой Е(х.,у) = О обе дР дР частные производные —. и —. обращаются в нуль, го такая точка дх ду называется особой точкой кривой. Следовательно, особая точка кривой определяется системой уравнений Е=О, —,=Π—.=О.
дР дР дх ' ду 2б8 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. УЦ! Из этой формулы следует; что кривая 1) определена лишь при х ) 0: 2) симметрична относительно оси Ох; 3) пересекает ось Ох в точках (О, О) и (а, 0). Последняя точка, как было указано, является особой. Мы рассмотрим сначала ту часть кривой, которая соответствует знаку -': Найдем первую и вторучо производные от у по х Зх — а Зх -~- а со. Следовательно, кривая касается оси Оу в начале имеем у' = О, уо > О, т.е. при х = — функция у имеет 3 При х = 0 имеем у' а координат.
При х —.. 3 минимум: На отрезке О < х < а имеем у < О; при х > а(3 будет у' > 0: при х е оо будет у -ь оо. При х = а имеем у' = ~/а, те. в особой точке Мо(а,О) ветвь кривой у = +(х — а)уст имеет касательную у =;Га(х — а). Та» как вторая ветвь кривой у = -(х-а)у х симметрична с первой относительно оси Ох, то, следовательно, в особой точке кривая имеет и вторую касательную (ко второй ветви) у = — у/а(х — а). Через особую точку кривая проходит дважды Такая точка называется узловой точкой. Рассмотренная кривая изображена на рис.
!91. Пример 2. Исследовать на особые точки кривую (полу- кубическая парабола) Рис. 191 т — хз = О Решение. Координаты особых точек определяются из системы уравнений: у — х =О, Зхт=О, 29=0. Следовательно, Мо(0, 0) есть особая точка. Перееишеы данное уравнение в виде Рис. 192 н 3 1 у При х = О имеем у = О, у' = О. Следовательно, рассматриваемая ветвь кривой имеет в начале координат касательную у = О. Вторая ветвь кривой у = -усхз также проходит через начало координат и имеет ту же касательную у = О. Таким образом, две различные ветви кривой встречаются в начале координат, имеют Для построения кривой исследуем сначала ветвь, которой в уравнении соответствует знак плюс; ветвь кривой, соответствующая знаку минус, симметрична с первой относительно оси Ох. Функция у определена только при х ) О, неотрицательна и возрастает при возрастании х.
Найдем первую и вторую производные от функции у = у'хв; ОсОБые ТОчки книвОЙ 9 га1 одну и ту же касательную и расположены от касательной по разные стороны. Такая особая точка называется точкой возврошо первого рода (рис. 192). Замечание. Кривую уг — х* = О можно рассматривать как предельный случай кривой у = х(х — а) (рассмотренной в примере !), когда а — л О, т.е. когда петля кривой стягивается в точку. пример 3. исследовать кривую (у — хз) — хз = О. Решение. Координаты особых точек определяются системой уравнений — 4х(у — х ) — 5х = О, 2(у — хз) = О, которая имеет единственное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
