Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Функция г=(х-l)'+(у-2)'-/ 1)г „ („ 2)г достигает минимума при т = 1, у = 2, т.е. в точке (1,2). Действительно, Д1,2) = -1, а так как (к — 1)г и (у — 2)г всегда положительны при х ~ 1, у ф 2, то (т — !) Е (у — 2) — 1 > — 1, Рис. 185 т.е. /(к,у) > Л1,2) Геометрическая картина, соответствующая данному случаю, изображена на рис. 185 тбг ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !г;!. уш Пример 2.
Функция 2 =" — — яп(х +у ) 1 ° 2 2 2 при х =- О, у =- 0 (т.е. в начале координат) достигает максимума (рис. 1бб]. Действительно, /(0,0] = 1/2. Рис. 1бб Возьмем внутри окружности ха+ уз = к/б точку (х, у), отличную от точки (0,0); тогда при 0 < хг + уг < к/б будет Мп(х -!-уг) > 0 и поэтому /(х,у) = — — в!п(х + у ) < —, 1 ° 2 2 1 2 2' т.е. /(х,у] < ДО,О).
Данное выше определения максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом. Положим х = хо + Ьх, у = уо + азу; тогда /(х у) — /(хо уо) = /'(хо + !дх,уо + с1у) — /(хо уо) = Ь,/. 1) если ьь/ < О при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функ!,ия /(х,у) достигает максимума в точке М(хо, уо) 2) Если Ь/ > О при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция /(х,у) достигает минимума в точке М(хо, уо). Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.
Теорема 1. (необходимые условия экстпремума). Если функция г = /(х,у) достпигает экстремума при х = хо у = уо, то каждая частпная производная первого порядка от г или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущестпвует. Действительно, дадим переменному у определенное значение, именно у = уо. Тогда функция /(х,уо) будет функцией одного переменного х. Так как при х = хо она имеет экстремум (максимум /Эг 1 или минимум), то, следовательно, !1 — /1, „или равно нулю, У=ко или не существует.
Совершенно аналогично можно доказать, что (-.) =" дг ! — — или равно нулю, или не существует. ду! -* у=ге Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.
максимум н минимум «ьнкцнн 253 Так, например, функция г = хг — у имеет произ- и водные = -~-2х, = -2У, которые обращаются э нуль при х = О и у = О. Но эта функция при указан- д иых значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю е начале коордияат и принимает э как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные Рис. 187 значения.
Следовательно, значение яуль не является ни максимумом, ни минимумом (рис. 187). дг дг Точки, в которых — = О (или не существует) и д — — О дх ду (или не существует), называются критическими точками функции г =,/(х, у). Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке. Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных. Теорема 2. Пусть в некоторой области, содержащей таочку Мо(хо, уо), Функт(ия,/(х, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пустпь, кроме того, точка Мо(хо,УО) ЯвлЯетсЯ кРитической точкой фУнкт(ии 7(х, У), т.с. /(хо зо) О дП О УО) О Тогда при х = хо, у = уот 1) /(х,у) имеетп максимум, если дг/(хо, ро) д'/(хо, Ш,'( /дз/(хо, ро) 1 д /(хо, ро) 2) /(х,у) имеет минимум, если дг/(хо, уо) д~/(хо, ро) /дг/(хо, гуо) 1 дг/(*о, ро) 3) 1(х,у) не имеет ни максимума, ни минимума, если дзДхо,уо) дз/(хо уо) /дзД*О, ро) ~2 дх2 дрз ~ д др ) <О; д2гг - гх 2 4) ес ги Щ ЯО~ /( — т УО~ ( Ул Я— о— ,уР-ол 2О тгг может быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).
Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции /(х,у) (формула (6) 8 16). Полагая а=хо, Ь=уо, х=хо+Ьх, ухкуо+212у, будем иметь: /(хо+ Ьх,уо+Ьу) — /(хо,уо)+ Ьх+ ( — — Ьу+ 1(о /(хе УО) 2 2 /(хе УО) ~ ~ д /(хе УО) г) 21 + (~ )3 О УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !ГЛ, УП! где Ьр = уЯхг+ Луг, а ао стремится к нулю при Ьр — ~ О.
По условию дПхо, оо] О ддхо, оо) О Следовательно, ~У = У(хо+ ~1х, уо+ Ьу) — У(хо, уо) = = — ~ — Ьх + 2 — Лхасу+ — Ьу 1+аз(ЬР) . (1) 1 ~дг1 г дгУ дгу з (д г дх ду дог Обозначим теперь значения вторых частных производных в точке Мо(хо,уо) через А, В, С; Обозначим через р угол между направлением отрезка МЕМ, где М есть точка М(хо+ Ьх,уз+ Ьу), и осью Ох; тогда Ьх = Ьр соз р, Ьу = Ьр згп р. Подставляя зти выражения в формулу для Ь1, найдем: Ь( = 1(ЬР)г[Асозг р+ 2Всозрзгпу+ Сзш у+ 2аоЬР) (2) Предположим, что А ~ О. Разделив и умножив на А выражение, стоящее в квадратных скобках, получим: 1(, )г((Аооогг+ Виол) +(АС вЂ” В )о!о гг — Р А Рассмотрим теперь четыре возможных случая.
1) Пусть АС вЂ” Вг > О, А < О. Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательных величин. Они одновременно в нуль не обращаются, так как первый член обращается в нуль при ок р = — А/В, второй при ейп ~р = О. Если А < О, то дробь есть отрицательная величина, не обращающаяся в нуль. Обозначим ее через — тг; тогда 2(сор) ( — гп + 2аогУ'Р), где п1 не зависит от Ьр, авар -~ О при Ьр -г О. Следовательно, при достаточно малых Ьр будет: Ь1<О, или ,((хо + Ьх, уо + Ьу) — )'(хо, уо) < О.
Но тогда для всех точек (хо + Лх,уо + гау), достаточно близких к точке (хо,уо), имеет место неравенство Дхо +Ьх,уо + Ьу) < у(хо уо) 255 МЛКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ а это означает, что в точке (хо,уо) функция 7(х,у) достигает максимума. 2) Пусгь АС вЂ” Вя > О, А > О. Тогда, аншюгично рассуждая, получим: Ь( ~(ЬР)г(гпг+ 2аоЬР) ,((хо + Ьх, уо + Ьу) > ((хо, уо), или т.е. 7'(х,у) имеет максимум в точке (хо,уо). 3') Пусть АС вЂ” Вя < О, А > О. В этом случае функция не имеегп ни максимума, ни минимума. Функция возрастает, когда мы движемся из точки (хо,уо) по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям.
Действительно, при перемещении вдоль луча у = О имеем: Ьг' = -(~р) (А+ 2ао~р) > О' при движении вдоль этою луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча у = уо, такого, что 18уо = — А~В, то при А > О будет: гя/ = 2(гяр) [ 1 51п ус+ 2аогяр( < О; при движении вдоль этого луча функция убываег. 3") Пусть АС вЂ” Вз < О, А < О. В этом случае функция тоже не имеегп ни максимумп, ни минимума. Исследование проводится так же, как и в случае 3'.
Зо') Пусть АС вЂ” Вз < О, А = О. Тогда В ~ О, и равенство (2) можно переписать в виде г3( = -(Ьр) (51п~р(2В соя ~р+ С51пу) + 2аоЬР). При достаточно малых значениях р выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к 2В, а множитель я1пр меняет знак в зависимости от того, будет ли р больше нуля или меньше нуля (после выбора у > О и у < О мы можем р взять настолько малым, что 2ао не будет изменять знак всей квадратной скобки).
Следовательно, и в этом случае Ь1' меняет знак при различных 1о, т.е, при различных Ьх и гяу, следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума. Таким образом, каков бы ни был знак А, имеем всегда следующее положение: Если АС вЂ” Вя < О в точке (хо,уо), то функция не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например, форму седла (см.
выше рис. 187). Говорят, что функция имеег в этой точке мпнимакс. 25б (гл, уш Функции нескольких пеРеменных 4) Пусть АС вЂ” В' = О. В этом случае на основании формул (2) и (3) сделать заключение о знаке Ь/ нельзя. Так, например, при А ~ О будем иметь: 1 )г~(Асов|реда]п1г) при (о = атосу( — А/В) знак гз/ определяется знаком 2оо, здесь требуется спет(иальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка илн каким-либо иным способом).
Таким образом, теорелга 2 полностью доказана. Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию хг 1 г+ ах 2 Решение, 1) Находим критические точки: — = -х+ 2у — 2. дг ду — = 2х — у+3, дг дх Решая систему уравнений 2х — у+ 3 = 0,]~ — х -~- 2у — 2 = О, ) получаем: х=-4/З, у=1/3. 2) Находим производные второго порядка в критической гочке (-4/3; 1/3) и определяем характер критической точки: А дг 2 дхг дгх дгх АС вЂ” В =2 2 — (-1) =3>0. Следовательно, в точке ( — 4/3; 1/3] данная функция имеет минимум, а именно: г,в,в= 4/3. Пример 4. Исследовать на максимум и минимум функцию г=х +у — зху.
дх дг зхг зу О 1 дг = Зу' — ах = О. / ду Отсюда получаем две критические тачки: у1=0 и хг=о, х| =О, уг = О. 2) Найдем производные второго порядка: дгх — = бу. дуг дгг — = -3, дх ду — = бх, дгг дхг Решение. 1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума: 257 максимхм и минимхм егхнкцин 3) Исследуем характер первой критической точки: д 2 * — 1 В= (~х ), =-3, 2=1 АС' — В = Зб — 9 = 27 > 0; А > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
