Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 50
Текст из файла (страница 50)
х = О, 9 = О. Следовательно, начало координат есть особая точка. Перепишем данное уравнение в виде у = хз х ъ' ха. Из этого уравнения следует, чго х может принимать значения от О до -Рею. Определим производные первого и второго порядка: у' = 2х+ 5 ъ'хз уо = 2 ~ — ъгх. Исследуем ветви кривой, соответствуюшие знакам плюс и минус, в отдельности. В обоих случаях при х = О имеем: у = О, у' = О, т.е.
для обеих ветвей ось Ох является касательной. Рассмотрим сначала ветвь 2+ l Рис. 193 При возрастании х от О до со 9 возрастает от О до со. Вторая ветвь 2 Так как уравнение кривой содержит только четные степени перелгеннык, то кривая симметрична относительно осей координат и, следовательно, достаточно исследовать часть кривой, соответствуюпгую положительным значениям х и у. Из последнего уравнения следует, что х может изменяться на отрезке от О до 1, т.е.
О ( х ( 1. Рис. 194 Вычислим первую производную для той ветви кривой, которая является графиком функции у = Ч.хз~/1 — х~: х(2 — Зхг) 9 При х = О имеем у = О, у' = О. Следовательно, в начале координат кривая касается оси Ох. пересекает ось Ох в точках (О, О) и (1, О). При х = !б/25 функция у = хз — ъ'хл имеет максимум. Если х -л +со, то 9 -л — гю. Таким образом, в данном случае в начале коордиват встречаются две ветви кривой; обе ветви имеют одну и ту же касательную и расположены по одну сторону от касательной вблизи точки касания.
Такая особая точка называется точкой возвратно второго родв. График рассматриваемой функции изображен на рис. 193. Пример 4. Исследовать кривую 92 — х" -!. хв = О. Решение. Начало координат есть особая точка. Для исследования кривой вблизи этой точки перепишем уравнение кривой в виде уР йх Л вЂ” хз. (Гл. ин! 270 ФКНКЦг!Н НЕС КОЛЬКНХ ПЕРЕМЕННЬ[Х При х = 1 имеем р = О, у' = сю, следонательно, в точке (1, 0) касагельная параллельна оси Оу. При х =- ° 7273 функция имеет максимум (рис. 194).
В начале координат (в особой точке) две ветви кривой, соответствующие знакам плюс н минус перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется тоской соприкосновения Пример 5 Исследовать кривую у» — х (х — !) = О. Решение Напишем систему уравнений, определяющих особые точки: у — х (х — !).—..О, -Зх +2х=О, 2У=О Эта система имеет решение х = О, у = О. Следовательно, точка (0,0) есть особая точка кривой. Перепишем данное уравнение в виде р = ху'х — !. Оченидно, что х может изменяться от 1 до Фоо, а также принимать значение 0 (в последнем случае у = 0). Рнс.
195 Исследуем ветвь кривой, соответствующую знаку плюс перед корнем. При увеличении х от ! до со у увеличивается от 0 до со. 3» — 2 Производная у' = — =. При т = 1 имеем у = со; следоеа- 2ъ'х — 1 тельно, в точке (1,0) касательная параллельна оси Оу. Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку минус, симметрична с первой относительно оси Ох. Точка (О,О) имеет координаты. удовлетворяющие уравнению, и. следовательно, принадлежит кривой, но вблизи нее нет других то гек кривой (рис. !95). Такая особая точка называется изолированной особой пючкой. Упражнения к главе УП1 Найти частные производные следующих функций: д д г 1.
г = хгвтгу. Опге. — = 2хыпгу, — = хгз1пйу. 2. г = хг Ото. дх ' ду дг д г г г»г д1г г г — = угхг г, —, = хг 291пх. 3. и = е* лг +- . Оте. — = 2хе' +г +', дх ду дх ди ,г ди г ди — 2уе* +г +' — = 2ге* +" + . 4. и = тlх~+ рг 4 «г Оте. др дг дх т дг у д х 5. г = агсгб(ху). Опге. дх 1 + хгуг' ду !-1- хгуг у дг — у д» х /хг 4 рг — х 6.
= асс!8-. Отж —, =, — = —. 7. = ! х дх хг + уг ду хг 4 уг г:г ! г + дг 2 д» 2» Оте. — 8. и = е*'г + еОг. Опге. дх ьгхг Л. Уг ду р /хг + уг ди 1 ди х г , ди 1 — е уг — — — е*ут — — е 7», — = — е 7г. 9. г = агсюп(х+ У). Олпе. дх у ду уг у» д» у дг 1 д» х — у д У вЂ” 10, г = агсгй .
Оте. л:! и ь дг ду Ял рл' Найти полные дифференциалы от следующих функций: 11. » = хг + хрг -1- юлу. Оте. дг = (2х -, 'уг)дх + (2ху + сову)др. 12. дх ду г г „г г = 1п(тр). Оте. дг = — -ь —. 13. = е* +г .Ото. 4» = 2е* "г (хдх л- уду). х р УПРАЖНВНИЯ К Гг!АВЕ У!!! 271 3 дх 1 14.
и — !В(Зх — У) -!- 62 !'. Оп«в. ди =, -1- соя»(Зх — у) сов«(Зх — у) » удх — хау ! 6«'= 1п6) ду -1-6"+«1п бдя. !5. ю = агсяп —. Ото. дю = ]49] Ъ'У:х' 16. Вычислить /'(2,3) и /„'(2,3), если /(», у) =- хг "- уз. Отв. /'(2,3) = 4, /„'(2,3) = 27 17. Вычислить д/(х, у) при г — — 1, у = О, дх = 1/2, ду = !/4, если /(х,у) = =;й~ -Р уг. Оте. ! /2.
18. Составить формулу, даюшую при малых абсоггютных значениях неличин х, у и» приближенное выражение для — !х-* — —. Оп!в. !44ХП44- !' 1 1 4- - (х - у — г). 19. То же для ' — Зхв--. Ошв. ! -1- „-'(х — у — «). 2 !/!4-ут ' д. д. 20.
Найти — и —, если» = и 4 вг, и = хг .1- япу, в = !п(х -1- у), Отв. дх ду дг Рв(х -1- у) д» 1п(х + у) — = 2х -1- 2— , — = сову.«-2 дх х+у 'ду »!у дг /Т -1- и дг 1 21. Найти —, если г =,/ —, и = — соя х, и = соя». Оп!в. дх !/ 1+ в дх 2сояг — * г 22.
Найти — '- и ~.-, если " = е" 2, и = в1п х, н = хз -1- уг. Отв. ва в. Вх' = е 2" (соя» — бхг), в' = е" 2»(Π— 2 2у) = — 4уе" 2", где вместо и и в вя надо подставигь яп х и хя 4- уг. Найти полные производные данных функций: 23, г = агсяш(и + в), дг гг гг и = япхсояа, е = совхяпа Отв. — = 1, если 25» — — < х+ а < 22«п+ —, дх 2 2' дг гг х е *(у — г) — = — 1, если 25х -1- — < х + а < (21 .1- 1)х !. —. 24. и = —, у = аяп х, дх 2 2 а»+1 ди — 4 г = соях.
О!по. — = е *япх. 25. » =-1п(1 — »4) х = уся1пу. Оте. — = — 2!ВВ. дх дд Найти производные от неявных функций от х, заданных уравнениями: 2 уг ду Ьг х г уг ду Ьгх 26.— 4 — — 1=6, О в. — = — — —.27.— — — =1, О аг Ь2 дх а2у' ' а2 52 ' ' дх а2у ду ух" — у* 1п у 28. у' = хх. Отв. — =, . 29.
яп(ху) — е*" — хгу = О. дх ху* ' — хх 1п х ду у]соя(ху) — е*г — 2х] хг уг »2 д» д» Отв. — =, —. 30. — -1- — .1- — = 1; найти — и дх хрх -1- е*х — соя(ху)] аг Ьг сг дх ду д» сгх дг сгу дю дю От в. — = — —, — = — — . 31. и — и !В ав! = О; найти — и дх аг» ' ду Ьг» ' ди дв дю соя» аю дю яп 2аю 2 Отв. 32. гг 4- — = хууг — гг; показатгч что ди ав * де 2ав х гдг 1дг 1 = гу! д» дг хг — -1- — — = —. ЗЗ.
— = Р'~-)! показать, что х — -1- у — = г, какова бы ни дх уду» х !х)' дх ду была дифференцируемая функция Е. Вь!числить производные второго порядка: дгг дг» дг» 34. » = хз — 4хгу-1- бу . Отв. — = бх — Ву; — = — Вх; — = 10. д»2 дхду дг2 дгг япх дгг е* сову 35. г = е* !ну -1- яту1пх. Ошв.
— = е !пу— д" дхг хг ' дхду у х д — = — — япу!пх. у у 82и 82и 82и *'»- °,-. "= ! Ъ и *,- —" —" ° —."- дхг дуг дгг юлнкцнн ньскольких пнгныкнных (гл. еттт х»у» д»» дг» д» 37. Доказать, что если » = - ,то х — -1- у .= 2 †, х -1- у' дхг дхду дх дг» дг» 38. Доказать, что если » = 1п(х» Е у ), то — 4 †, = О.
дхг ду» дг» дг» 39. Доказать, что если » = гт(у -1- ах) + 9(у — ах), то а»вЂ — †, — = 0 прн дуг дхг любых дважды дифференцируемых ст и т/т. 40. Найти производную от функции» = З»4 — ху+ уг в точке М(1,2) в направлении, составляютцем с осью Ох угол в 60«. Оте. 5 + 11»»3/2. 41. Найти производную от функции» = 5х» — Зх — у — 1 в точке М(2, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке М(5,5). Оспе. 9,4. 42. Найти производную от функции» = Дх, у) в направлении: 1) биссектрисы 1 тд/ д/т координатного угла Оху.
Опте. — ( — -~- — 1; 2) отрицательной полуоси Ох. »т2 дх д/ Оп»е. — —. дх 43. дх, у) = хз -1- Зх» + 4ху + уг. Показать, что в точке М(2/3, -4/3) производная в любом направлении равна нулю («функция стационарна»). 44. Из всех треугольников с одинаковым периметром 2р определить треугольник с наибольшей площадью.
Оп»е. Равносторонний треугольник. 45. Найти прямоугольный параллелепипед, который имеет наибольший обьем при данной полной поверхности Я. Отпе. Куб с ребром ь/Я/6. 46. Найти расстояние между двумя прямымн в пространстве, уравнения ко» вЂ” 1 у» х у» Л торых — = — = —, — = — = —. Оте. —. 1 2 1 1 1 1 2 Исследовать на максимум в минимум функции; 47. » = хгуг(а — х — у). Отпе. Максимум» при х = а/2, у = а/3. 1 1 48.
» = хг+ ху4-уг+ — 4 —. Ощв М~~~мум ри х = у = 1/ УЗ. У 49. » = вп х -~- втп у -1- вп(х -1- гт) (О ( х ( л/2; 0 ( у ( тт/2), Отпе. Максимум » при х = у = л/3. 50. » = впхвпу»1п(х+у) (О ( х ( л; 0 ( у ( л). Оти Максимум» при х=у=л/3. Найти особые точки следующих кривых, исследовать их характер и составить уравнения касательных в них: 51. х» 4- уз — Заху = О. Отле. Мо(0,0) — узел; х = О, у = Π— уравнения касательных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
