Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Из определения кручения ясно, что оно является мерой отклонения пространственной кривой от плоской кривой. Величина Т называется радиусом кручения кривой. Найдем формулу для вычисления кручения. Из формул 13) и (4) следует: 292 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. 1Х (гзх — )=Й вЂ” х(й — + — — )= 1(п 122г / Язг пп Ягг~ 1222 ( 1223 оз Нзг а так как векторное произведение вектора на самого себя равно кулю, то Нгг ггг — х — = О.
1222 Нзг Таким образом, ях — =гг( — х — ). 22г 23 2 язв Заметив, что о = — „, и возвращаясь к равенству (5), получаем: 12'г Если вектор Г выражен как функция произвольного параметра г, то можно показать*>, аналогично тому, как это делалось в О В самом деле, 1(г и' 1Ь сЫ 1Ь 122' Дифференцируем вто равенство еще раз по Е Снова дифференцируем по Е Згг ГН тг Згг яз 222,1г 222 = — ~~ — ) Фз — — — + — —. = язз (,й ) язг нс йгг ,ь бгз ' Составим, далее, смешанное (тройное) произведение: Раскрывая вто произведение по правилу умножения многочленов и отбрасывая все те члены, которые содержат хотя бы два одинаковых векторных сомножителя (так как смешанное произведение трех множителей, где хотя бы два множителя равны, есть нуль), получим: Наконец, заметив, что (Ф)'=(В" --(~')'=(й)')' получаем требуемое равенство.
кАсАте2гънАя плОскОсть и КОРмАль к г!ОвеРККОсги 293 Ь б! предыдущем параграфе, что Лг 2атг .,(.~, „:,~ т,! 1~~ "/~) иб ),нб' нб'/ ((нг) )' Подставляя это выражение в формулу !6) и заменяя )22 его выражением по формуле (11) з 4, окончательно получаем: 22„ л(ж" игт) 1Ь и 22 Последняя из них получается так: птЬхо, Нл 4Ь х бг) НЬ гйг л = — хо+Ьх — = — хгт+Ь аб аб ггб аб Т 1 = — пхо+ Т х — = л й -Ьх л.
1 и но Ьхпт — сг, гб хбг= — Ь, поэтому а'и Ь и аб Т 11 Пример. Вычислить кручение винтовой линии г = басок!-~-уае!п1-1- Ьатб. Решение. -ае!об асоаб ат — — х —,) = — асоег -аыпб О = а гл, Нг Гатт дага 2 41 ~Иб 412) = аипб — асоеб О ( ')'= — х — ) = а (1+ гл ) (см. пример 3 4). ггг и 21 4 2 б!1 222! Следовательно, обП+ 2) а!1-ь тт) 2 ГЛ Эта формула дает возможность вычислить кручение кривой в любой гочке, если кривая задана параметрическими уравнениями с произвольным параметром 1. В заключении этого параграфа отметим, что формулы, выражающие производные векторов 22, Ь, и, называются формулами Серре -- Френе: гйг и аб л' 294 ПРИЛО)КЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ )ГЛ )Х 9 6.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности Рис. 20б Мы здесь применяем правило дифференцирования сложной функции трех переменных. Это правило в данном случае применимо, так как все частные продт дс" дс изводные д-.. ~ . по условию, непрерывны. Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида Р(х, у, г)=0. (1) Введем следующее определение. Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке Р(х, у, х), если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Р. Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество.
Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности Р(х, у, х)=0. дл ас дс Если в точке М(х, у, х) все три производныз равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в а!о ас ас точке М(х у х) все три производные —, —, — существуют и ) дх ' ду ' дх непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности. Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Все касательные прямые к данной поверхности (1) е ее обыкновенной точке Р лежат о обмой плоскости. Доказательство. Рассмотрим на поверх- ности некоторую линию В (рис. 206), прохо- дящую через данную точку Р поверхности. 1.~ Пусть рассматриваемая кривая задана пара- метрическими уравнениями у х = )р(!), у = у)(!), х = х(1). (2) Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид Х вЂ” х à — у о — х дх аз Ех е! е! а! Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то это уравнение превратится в тождество относительно 1, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по 1, получим'>. — — + — — + — — = О.
ар ах ар ау ар ах (3) дх а! ду а! дв а! '» и касательная плоскость и ногмлль к поввгхности гзз ьг Рассмотрим, далее, векторы Л и — „, проходящие через точку Р: Х = — 'г+ — 'у ч- — 'к, др, дд. др дх дн д» (4) др др дЕ Проекции этого вектора †, — — зависят от х у, » — координат дх ' ду ' д» точки Р; заметим, что так как точка Р -- обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому Вектор — = — »+ — 2+ — я Нг ох ° ов ° о» нс И щ Нб (5) — касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности.
Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра ~, соответствующем точке Р. ог Вычислим скалярное произведение векторов М и — „, которое равно сумме произведений одноименных проекций: и дяих дРну дР4» Ж вЂ” = — —; — — — + — —. Щ дх о» ду об д» о»' На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно, бная Из последнего равенства следует, что вектор М и касательный 4~ вектор — к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенное <М рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному и тому же вектору Л и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору 2Ч.
Теорема доказана. Определение 2. Плоскость, з которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к иверхности в точке Р (рис. 207). Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные Иб Вбб прямые к поверхности могут не лежать в ...', . „об одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в . чной плоскости (они сами образуют коническую поверхность). Рис.
207 гзв ПРИЛОЖКНИЯ ЛИФФКРКНПИАЛЬНОГО ИСЧИС11КНИЯ 1ГЛ. 1Х Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна к вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид — (Х вЂ” х) + — (У вЂ” у) + — (Л вЂ” х) = О. дл др, дн дх др дх (6) Если уравнение поверхности задано в форме х= 1(х,у), или х — 1(х, у) =О, др ду де ду дх дх' др др' д и уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид г- ° = — (Х-х)+ — Р -у).
ду ду 1 дх др (6 ) Замечание. Если в формуле (6') положим Х вЂ” х = Ьх; У вЂ” у = Ьу, то эта формула примет вид л — х = — Ьх+ — Ьу; дг дУ дх др ее правая часть представляет полный дифференциал функции х = 7'(х, у). Следовательно, х — х = ГЬ.
Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке М(х,у), соответствующий приращениям Ьх и Ьу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты (х) касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции. Определение 3. Прямая, проведенная через точку Р(х, у, х) поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется норА1алью к поверхности (см. рис. 207). Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпадает с направлением вектора )З(, то ее уравнения будут иметь вид Х вЂ” х У вЂ” р и — х де др др (7) дх др дх Если уравнение поверхности задано в форме х = ДХ1у), или х — 7(х, у) =0 то уравнения нормали имеют вид Х вЂ” х У вЂ” р г — х д7 д7 дх др Замечание.
Пусть поверхность Р(х, у, х) = 0 есть поверхность уровня для некоторой функции трех переменных и = и(х, у, х), т.е. Р(х,у, х) = и(х,у, х) — С = О. 297 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Х Очевидно, что вектор 21т', определенный формулой (4), направленный по нормали к поверхности уровня г = и(х, у, г) — С = О, будет )зз' = — 2+ — У + — К, дп ° де ° дп дх др дг т.е. Р(т,р,г)=т -!-У +2 — 14=0, — =2х, — =2У, — =21, 2 2 ар аР ар ар ' ау при х = 1, р = 2, 2 = 3 имеем: — =2, др дх — =4, — =6. др др ду ' дг Следовательно, уравнение касательной плоскости будет: 2(х — 1) + 4(у — 2) + 6(г — 3) = О или х + 2р Е Зх — !4 = О.
Уравнения нормали: х — 1 у — 2 2 — 3 2 4 б или х †! у — 2 г — 3 1 2 3 Упразкненил к главе 1Х Найти производные от векторов: 1 1 1. г = 1ссбС+ у атссйс. Отлв. з' = — — С+ — у. 2. з = зе '+721+ 91п С. впгС !+Н й г У й °, У' 29 Отле. г' = -зе ' + 27 + —. 3. г = ССС вЂ” — + —.
Сто. з' = 2Ы + — — —. с' ' С Н' ' сг сг' 4. Найти вектор касательной, уравнения касательной и уравнение нормальной плоскости к кривой г = Н + Ну + Сгй в точке (3, 9, 27). Отпе. г' = з -!- 67 -С- 27йм х — 3 у — 9 2 — 27 касательная: — = — = —; нормальная плоскосты х+ бу+ 272 ы 786. 1 б 27 5. Найти вектор касательной, уравнения касательной и уравнение нормальной С 1... С 1, 1, плоскости к кривой: г = зсовг -+ — ув!и с+йв!и —. Озпе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
