Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Если Г'(х) = (х — а) ... (х — Ь) (х +рх+ д)"... (х +()с+в)", тпо дробь может быть представлена в виде Р(х) у(х) Р(х) А А2 Аа — 1 + + + — + 2'(х) (х — а) (х — а) Р 2 х — а + +, + + — + В В Ве — 2 (х — Ь)Е (х — Ь)Е-' ' ' ' х — Ь И*+ 19 М + В М„~х + 19„-~ (.2+ +,)Р + ( 2+ +,)Р-2 +'''+ 2+„+ + Рх+ 22 Р2 х ж 292 Р. Ее+ 22., + + 2 (22 1 12+2) (22 2 1.
+ ) — 2 . + нвопгвдвлвнный интеггал ~гл. х Коэффициенты А, А1, ..., В, В1, ... можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть пмуэтсдество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, А1, ..., В, Вг, ... Этот метод нахождения коэффициентов называется метподом иеопределеииэгх коэффициентов. Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием; гак как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях х.
Придавая х частные значения, получим уравнения для определенных коэффициентов. Таким образом, мы видим, что всякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших рациональных дробей. хг -1-2 (х+!) (х — 2) На основании формулы (5) имеем; хе+ 2 А А! Аг В (х .> Пз (х — 2) (х .ь Пз + (х + 1)г х ч 1 х — 2 Приводи к общему знаменателю и приравнивая числители, получим: хг + 2 = А(х — 2) -~ Аг(х + 1)(х — 2) -Е Аг(х -1- 1)г(х — 2) -Ь В(х + 1)з (6) хг + 2 = (Аг + В)хз -> (А! + ЗВ)хг+ + (А — А! — ЗАг + ЗВ)х + ( — ЗА — ЗА! — Зиг -Ь В). Приравнивая коэффициенты при хз, хг, х', хо (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов: О = Аг -1- В, 1= Аг +ЗВ, О = А — Аг — ЗАг -1-ЗВ, 2 = — 2А — 2А! — 2Аг ч- В.
Решая эту систему, найдем: А=-1, Аг=1/3, Аг=-2/9, В=2/9. Можно было бы также определить некоторые коэффициенты из уравнений, которые получаются при некоторых частных значениях х из равенства (б), которое является тождеством относительно х. 322 НЕОПРЕДЕЛЕННЫО ИНТЕГРАЛ 1Г:1. к В атом случае дробь ' разлагается на простой!Ние дроби 1 и ггбт! Пх) П типов. Пример 1 1см, пример в 1 8 пч Х). хг+ г 1,.„,)г(. 2)"— ' /' ох 1 ) с!г 2 / ~1х 1 -Рцз 3) !х+ц 9) хе! 1цг 31х +1) 9 9 — — !и !х 1- 1! 1- — 1п !х 2!-1- С = 2х — 1 '2 ,'х — 2 б(х ! цг 9 !х+1 — -Ш! — -~ Р С. 1П случай.
Среди корней знаменатели есть ко тлексные неповторлющиеси (т.е. различные): Дх) = (х + рх + о)... 1х + 1х + з)1х — а) ... 1х — д) . В атом случае дробь ' разлагается на простейшие дроби 1, Р)х) Пх) П и П1 типов. Пример 2. Требуется вычислить интеграл х Зх (хг т ц(х — ц Разложим подынтегральную дробь на простейшие 1см. (5) 1 3 гл. Х): х АхчВ С бг ц1. ц=,г+! +х — 1' Следовательно, х = 1Ах О В)1х — Ц + С(хг м Ц. Полагая х = 1, получим: 1 = 2С, С = 1/2; полагая х = О, получим; О = — В + С, В =- 1/2.
Приравнивая ковффипиенты при хг, получим О = А + С. откуда А = — 1/2. Таким образом, 1Ъ' случай, Среди корней знаменателя есть комплексные крат- ные У1х) = (хг+ рх+ О)"... 1хг + )х+ з)" 1х — а)"... (х — 11)з. хах 1 1х — 1 бег 4 ц1 ц 2) .г 1 ) хах 2) хг,, ох + — ) г з 2) х — 1 1 )' ах 1 )' аа г) гч! г),:1- — — 1п )х -1- ц а — агс!ге -1- г 1и )х — ц 1- С. !,г 1 1 4 2 2 323 иитеГРАлы сут иРРАционАльных Функций 3 !а'! г (х) В этом случае разложение дроби будет содержать и про- 1(х) стейшие дроби !'з! типа. Пример 3. Требуется вычислить интеграл хз !..!хз Ь !!тг + !2х !.
8 г (хг Ь 2х -1- 3) (х .1- !) Решение. Разлагаем дробь на простейшие; хз ФАхз Р !1хг-Р 12х Р8 Ах.ь В Ст+ В В г (хз + 2х 1- 3)'(х 1- 1) (хг, 2х Р 3)' х' Р 2х Ф 3 .с т 1 ' откуда з Ф !хз !. !!хг Е Гйх .г 8 = = (Ах Р В)(х+ !) Р (Сх + В)(х Ф 2х + 3)(х Р 1) + Я(хг Р 2х Р 3)з. Комбинируя указанные выше методы определения коэффипиентов, находим: А=-1, В= — 1, С=О, В=О, Е=-1. '!аким образом, получаем: х1+А 3+ !1хг А Газ+8 )' ! г' ( г 2 .
3)г( „П ~ ! (Фг 2х Ьз)г ~т1 хе1 х -1- 2 зг2 х -1- 1 - — — агсгй — -1- !п(х+ !(+ С. 2(хг .1- 2х Ф 3) '! УГ2 Первый интеграл, стоящий справа, был рассмотрен в примере 2 3 7 гл. Х. Второй инте рал берется непосредственно. Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рационалы ой функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно: 1) через логарифмы — в случае простейших дробей 1 типа; 2) через рациональные функции — в случае простейших дробей П типа; 3) через логарифмы и арктангенсы — в случае простейших дробей П1 типа; 4) через рациональные функции и арктангенсы — в случае простейших дробей 1У типа. 3 10. Интегралы от иррациональных функций Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элеменгарные функции.
В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются. интегралы виЛл / СС(х, ьсахт С- Ьх С с) Нх З 11. Интегралы вИда ) сс(х, ъ~ахг + Ьх+ с) дх 32Ь г сн Рассмотрим интеграл ЙСх, ь/ахг Ь Ьх + с) 0х, где а у- О.
Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера. 1. Первая подстановка Эйлера, Если а > О, то полагаем: ~/ахг + Ьх + с = щз/ах + С. Перед корнем /а возьмем для определенности знак плюс. Тогда ах + Ьх+ с = ах + 2з/ахС+ Сг, откуда х определяется как рациональная функция от С: Сг-.с Ь вЂ” 2ьгаС Сг с ахг+ Ьх+с = з/ах+С =;/а -+С, Ь вЂ” 2С ьге уазгм+ ° °, ~м „„,афг в„ т °,йьг м~; * ° г*,.р то, следовательно, данный интеграл (1) преобразуется в интеграл от рациональной функции от С. Пример 1. Требуется вычислить интеграл Решение.
так как здесь а = с > О, го полагаем ьгхг -с- с = -х+ с; тогда хг+с=-хг-2хС+Сг откуда Сг — с х =- 2С Следовательно, ох =. — ог, Свес 2гг Р-с С'Гс ьхг + с = -х+ С:= — — + С =- —. 2С 2С Возвращаясь к нгкодному ннтеграяу, получаем: + с,С г — — — к — —— / — =. Си)С!+ Сг =!и)х+ з/хг + с) + Сг ог, Г 2С ГсСС, ,+, — /с 2С (см. формулу 14 таблицы интегралов). (значит, дх тоже будет выражаться рационально через С), следо- вательно, неопРеделеннын интеГРАС! згб !Гл. х 2.
Вторал подстановка Эйлера. Если с > С), то полагаем: ДРТЬ+.=е *Л! тогда (перед ъсг для определенности берем знак плюс) ах + Ьх Е с = х Ст + 2хг ъсг, + с. Отсюда х определяетгя как рациональная функция от с: 2ъссС вЂ” Ь х= т и — С т Е* Ъ ттспсе .
Г рез С, то, подставляя значения х, ахг+ Ьх+ с и ссх в интеграл !я!*',Л*ттьъ.)е, ь ' *'г г г ной функции от С. Пример 2. Требуется вычислить интеграл (1 — ъг!+хетт)т ссх. х'ъ'! + х -!- х Решение. полагаем ъст -С- х + хт = хс + 1; тогда а ггт — гС т 2 „, т 2 (1 — С ) 1+х.с-х =х С +2хс+ 1, х= —, г те 2с — ! 1 — ст ' М1-!- х+ хт = хг+ 1 = Ст — С-> ! 1 — Ст 1-Л+- + '= +. — — 212 + с ! — ст Подставляя полученные выражения в исходньсй интеграл, находим: (1 — Л Н х+ х~)т / *'Л! с- х -С- хт У ст ( 2сг + с)т(1 С)г П ст)(гст 21 Р 2) 2 2 2 2 — т — 1- й— (1 — с ) (гс — !) (с — с+ И(! — с ) ссс = — 21+ !и ~ ~ .1- С = 1+ с 1 — с г(Л+ х ч- хР— х !) Сх-1- ъс1-1- х+хт — 1! — + си ) !~ ~Р С =- х — ъг! -1- х -!- хт + 1 1) ',.ЫР.. и..'е.
П.а 2(ъСС .~- х + хт— 3. Третья подстановка Эйлера. Пусть о и 13 — — действительные корни трехчлена ах- + Ьх + г. Полагаем: еги С ь ъ.. = ! — )~. Так как ахг + Ьх -Ь с = а(х — ст) (х — 13), то о!ь - -! С* - с! = с*-.!, а(х — о)(х — )3) = (х — о) С, а(х — С3) = (х — о)сг. ИНТЕГРИРОВХНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ згт 2 !21 Сугсюда находим х как рациональную функцию от 1; о(З вЂ” ш' х= е — !2 кх Решение. Так как хз -1- Зх — 4 = (х т 4)(х — 1), то полагаем: тогда (х -Р 4)(х — 1) = (х Ф 4)2!2, х — 1 = (х.!.
4)1, 1х 41,1 10! 1 — !2 (1 — !2)2 Л +е! =1=(""*+ ) = " Возвращаясь к исходному интегралу, получаем! + с )н ) Усх г 4 + У!х — 1 ! усх + 4 — угх — 1 = )е Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен ахг + Ьх+ с. Если Ьг — 4ас > О, то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
