Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 61
Текст из файла (страница 61)
164. ) вт. Отв. б хг — х 4- ! ъгЗ ъГЗ из+ хг-Р 4х+ 4 хг+4 ! х, 442 ! хг-!-хъ'2+1, хъ12 !и +- агс!8 — +С. 165. ! . Отв. — 1и +ъгйагс!8 (х-Р1)2 2 2 хз + 1 ъг2 х2 — хъг24.! 1 — хг хз ! 3 .з +С. 166. ( — 42. Опгв. -[хз -1- !и [хз — 1() -!- С. 167. ) хз — 1 3 (х2 + 2)2 - бх. Отв. 2 — х г ! х (4тг — 8т) бх + !п(хг + 2)~1~ — =агс!8- — + С.
168. )' —. Отв 4(х' + 2) 4 '2 ъг2 (х — 1)'(х' -> !)' зх2 — х (х — 1)г 42 -!- !и -!- агсъбх+ С 169. ! Отв. (х — 1)(хг -!- 1) хг -1- 1 (х — х)(хг — х + 1)2 1х — 1! 10 2х — ! 2х — ! !и [ — [ — — агс!8 — —— -!- С, х [ Зъ13 ъЗ З(хг — х+1) Интегрирование иррациональных функций: 170. ) 4х. Отв. ъгх АГз41 4 — [ъгтз — !Н(ухз 4 1)[.1- с. 171. ) 42. Опзв. — ъ'хз з— — ъгт12 -!- с. Гтз — зг 2 2 т 3 5~4/х ' 27 !3 1Т2. ) з, бх.
Отв. — —, 4 —, + 2!их — 24!и( фх+ !) + С. 173. 2.!. згх в з 4 х . О т в . — ъ ' х — — ъ х + 4 ъ, х — б ъ х -!- б уз х — 9 ! п ( ъ х - 1- 1 ) -!- ъвгх+ ъзгх+ ъгх4- ! 5 2 + — 1и((Зх 4-!) 4. Загс!8 ъз'х-Ъ С. 174. )'~/,~„*—. Отвйи~ 3..., 4* ъГГ- х ъгз +~ 2 '+* х' ,/Г- т — ъГ1 + т -Р С. 175. )' ~~=* —. Опзв. 2 асс!8 ~~=, *4 !и ~ ~ -1- С. '+з,~т -> * ~-,Г1:х 1Т6.
) 1, бт. Отв. 14[ фх — — ~~/х+ — ъгхз з— — ъгтг -1- — ъгтз) 1- С. ът+ъгт 111 1 1!14 2 17 2 114 з! 11 ! 7 7 2ъ'3 б 3 вх 11,'аг 11*: . Г хъгтг — хт -н 1- 333 — !и~ + — ~ -!- С. 179. ) . Отв. '3 3 2ъгб хъ12+ з' — тг ЗЗ9 ~ щ| О ФУНКЦИЯХ, ИНТЕГРАЛЫ 2 + т — 2.2 -г УГ2 — '-"| "*='' -' ° — '|" У2 2У'2 т — 2,/х~ -|- 2т — агсяп — -|- С. 181.
) — — 1|х. Отв. у хз -|- 2т 4!П(х-~- 1-|- угтз -|- 2х(-|- С. 2 ху2 х б .. ' ' °:..*. 1 Ъ.=. нгх — *' 4т хз х 4<., Рн=н...г .1.-с|, 1../ .. 2,-л: —, 2 х — ~/Р— ! 2 2 ! Нх 1 ХФЛ+тс-Рхз — — |и(х -|- у'хз — 1) 4 С. 186. ( — . Оспе. |П( -|-С. г ' ' (!4. )уг!+,.„тт' ' 24. 4у!Фт, х (2Х -|- тз)у'2х 4 т~ ъ'2т -1- хз ХЛ -|- х+ х 2+х — 2Л+х+х'|,Я~+ ех Опзв. |и ~ -|- С. 188. 1 4х. Отв.— Х2 тз х -|- угх'+ 4Х |- |п (2: |- 2 -|- ~/хз + 4Х) -|- С. Интегрирование тригонометрических функний: 189.
( згпз х дх. Опзв. -' сова х — соз х + С. 190. ( в|из х 1|х. Ощв. з ' — сов х+ з совах — 44' *+С. 191. ! совзхяпз х4т. Отв. — 1 созе хо 1 сингх+ С. соз'Х 1 3 2 Х 1, 192. ) — 4Х. Отв. повес х — — совесз х-|-С. 193. 1 соз ХВХ. Огпв, -+ — яп2х+ згпзх 3 2 4 3 яп 2х з|п 4Х ФС. 194. )'в|изхдх.
Още. -х — — -; + С. 195. ! созе хг|х. Отв. 8 4 32 1 г япз 2Х 3 4 4 — (5х .|- 4 щи2х — + — е|П4Х) 4 С. 196. !'в|п хсоз ХВХ. Опзв. 16 3 4 | 4 а|и 8ХУ, з |8 — (Зх — в|п4х.|- ) -|- С. 197. !' 182хбх. Ото. |- |П(созх) ' С.
198. |28 8 2 ! ссбзх4Х. Опзв. — — с|8 х + — с|8 х 4 |п(зтх( + С. 199. 1 ссб хйх. Отав. 4 2 3 4 2 с182х з |Втх 3|бах 2 -!П(в|их( с. 200. ( вес хех. Отв. + +|Вз Х418х+с. 201. 7 5 18 х |8 и , Нх 1 ! 184 х вес4 х 4Х. Отв. — + + С. 202. 1 —. Оте. !8 х+- 182 в+С. 203. 7 5 созе х 3 нз !' — 4Х. Отв. С вЂ” созесх. 204. ), .
Отв. — (сов~!ах)+3(соз Сзх)+С. я из х отсов 4 х з|и 4х яп 2Х 206. 1 з|пхв|пзхбх. Отв. — — 4 — 4 С. 206. ! соз4хсав7хдх. Отв. 8 4 з|п 11х яп Зх совбх сов2Х 22 б + — 4 С. 207. У сов 2хз1п 4х Вх. Ощв. 12 4 + С. 1 3 сов х ! Вх 208. 1'в|п — хсоз — ХВХ. Опгв. — — -|- гоз — х -|- С. 209. ! . Отв. 4 4 2 2 4 — 5япх ! 18 — — 2 дх ! х щих4х — |п ', +с. 210.)' . О .
— во!8~218-~-~с. 211.)' 3 2|8 т — 1 5 — Зсозх 2 2 2 1+ в|их 2 . соевых х яп 2х Отв. -|-х+С. 212. ) . Отв. х — |8 — +С. 213. ) 4х. 1+!8 2 1 -|- СОЗХ 2 СОЗ4 Х -1- Б1И Х 4х з* Отв, агс|8(2вщз х — !)+ С. 214. 1' Отв. — |8 — + — |Вз — + С. 215. (1+ созх)2 2 2 6 2 ах ! ! х в1п2Х .
Огиз. — — [ссбх4- — ысгб( — )14с. 216. ) дх. Опзв. в|из х + 132 х 2 у'2 у'2 1 + созе х / 18 х; уг2 агс!8 ( — ) — х + С 1,/2 7 Глава Х1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ г 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенным икгпеграл одно из основных понятий математического анализа.
Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла. Пусть на отрезке (а, Ь] задана непрерывная функция у = 1(х) (рис. 210 и 211). Обозначим через гп и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок ]а, Ь) на и частей точками деления а = хо, Хг,хг,,х„..г,х„= Ь, причем Рис. 210 хо < х1 < хг « х», и положим х1 — хо — — г.'гхг, хг хг = г.гхг ...,Х» Х» 1 = 1~Х» ° Рис. 211 Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции 1(х) на отрезке ]хо, х1) через пг1 и мг, на отРезке ]хг, хг] чеРез пгг и Мг, на отрезке ]х». 1, х»] через пг„и М„.
з и постзновкп зпггпчи нижняя и вегхняя интвгглльныв ввзммы 341 Сосгавим суммы й„=тггзхг +тггохг+ . 4-т„взх„.= ~ т,г1хг, в.=1 зп =- М115х1+ М22Ьх2 Р - + Мп~1хвв = ~' Мв~-'~хв. (2) в=г СУММУ Зп НаЗЫВаигт Нипгеясй иитегральной суммой, а сумму зп ,в.г верхней интегральной суммой. Если Дх) ) О, то нижняя интегральная сумма численно равняется плошади «вписанной ступенчатой ' ' ! [ ~ фигуры» АСорг1С1№... Сп 1МпВАв ограниченной «вписанной» ломаной, А х верхняя интегральная сумма числен- О а Ь но равняется площади «описанной ступенчатой фигуры» АКоС1 К1... Рис. 212 ...Сп 1Кп 1СпВА, огРаниченной «описанной» ломаной. Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.
а) Так как гпг < Мг для любого 1 (1' = 1,2,..., н), то на основании формул (1) и (2) имеем: йп ~ ~Звв' (Знак равенства будет только в случае, если г(х) = соней) б) Так как Я11 ~ Э111в Н12 » ™в .. в Нвп ~ Этв где т -- наименьшее значение 1(х) на [а, Ь), то З„= тгг."~Х1+гн2ЬХ2+. +тпЬХп Л тЬХ1+тЬХ2+ +тЬХп = т(гзх1 + Ьхг+ .. + взхп) = т(Ь вЂ” а). Итак, й„) т(Ь вЂ” а).
(4) в) Так как М,<М, М <М,.,.,мп<М, где М .— наибольшее значение )'(х) на [а, Ь], то Зп М1в ~Х1+МгсвХ2+' ' +Мпвпхп < Мсгх1+Мвпх2+' ' '+Мв 1хп = М(с1х1 + сзхг + . ° + взх„) = М(Ь вЂ” а). Итак, зп < М(Ь вЂ” а). (5) ОпРеделенный ннтегРАл 342 ~гд к~ Соединяя вместе полученные неравенства, имеем; т(Ь -- а) < гп < гп < М(Ь вЂ” а). (6) Если У(х) > О, то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис.
212), так как произведения т(Ь вЂ” а) и М(Ь вЂ” а) соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника АУ,,У2В и «описанного» прямоугольника А1412В. 3 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла Продолжим рассмотрение вопроса предыдущего параграфа. В КажДОМ ИЗ ОТРЕЗКОВ [ХО,Х4], [ХЫХ2],..., [Хп 1, Хп] ВОЗЬМЕМ ПО ТОЧКЕ, которые обозначим Е1, Е2,...бл (рис. 213): хо < б4 < хы Х1 < б2 < хг,,х — 1 < 6 < хп.
В каждой из этих точек вычислим значение функции У(б4), У(бг),..., У(С„). Составим сумму зп — У(41)гих1 + У(с2)11х2 + ' ' + У(сл)11хи = ~~ У(41)гГх4. (1) 4=4 Эта сумма называется интегральной суммой для функции У(х) на отрезке [а,Ь]. Так как при произвольном Сп принадлежащем отрезку [х; „х,], будет т; ( Уф) < М; и все г.'4х, > О, то т;11хг ( Уф)гаях, ( М111хо следовательно, и ~~'„У(б)~х < 1=1 л М11 „ си 1 и т,гзх, < 4=1 Рис. 213 или (2) йп (ы гп ( Зп ° Геометрический смысл последнего неравенства при У(х) > 0 состоит в том, что фигура, площадь которой равна гп, ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной.
Сумма гп зависит от способа разделения отрезка [а, Ь] на огрезки [хг 1,х;] и от выбора точек С, внутри получающихся отрезков. Обозначим теперь через шах[х, ы х,] наибольшую из длин отрезков [хо, х,], [хг,хг],..., [хп 1,хп]. Рассмотрим различные разбиения ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 343! Ь г1 отрезка [а,б] на отрезки [х! г,яг] такие, что Гпах[е, г,х,] -+ О. Оче- видно, что при этом число отрезков и в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения Сг, можно составить интегральную сумму Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при которых тахте! -ь О, при этом и -! со.
При каждом разбиении выбираем значения (,. Предположим, что эта последовательность интегральных сумм'1 г*„стремится к некоторому пределу 1пп г„' = 1пп ~ ~Дс!)Ья! = г. игах Ьх! — !О и!ах Ьх! — !О Теперь мы можем сформулировать следующее Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка [а,б] таких, что щахгае! -! О, и при любом выборе точек (! на отрезках [я, г,хг] интегральная сумма и г„= ~~! ДС!)!ах! [5) Таким образом, по определению ь 1пп ~~ ~[Ядах! = / )'[х) дх.
п1ах Гхх, — !0 г=! [6) Число а называется нижним пределом интеграла, 5 — верхним пределом интеграла. Отрезок [а,д] называется отрезком интегрирования, е — переменной интегрирования. Определение 2. Если для функции Дх) предел [6) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке [а,5]. Заметим, что нижняя интегральная сумма г„и верхняя интегральная сумма ва являются частными случаями интегральной суммы [5), поэтому если г[х) интегрируема„то нижняя и верхняя В данном случае сумма является упорндоченной переменной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
