Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Если Ьг — 4ас < О, то в этом случае ахг + Ьх + с = 1 ((2ах+ Ь)2 + (4ас — Ьг)] и, следовательно т ехчлен имеет знак, совпадающий со знаком а. Чтобы ахг+ Ьх+ с был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть а > О. В этом случае применима первая подстановка. т 2* ° 'те . ный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от а Замечание 1.
Третья подстановка Эйлера применима не только при а < О, но и при а > О - лишь бы многочлен ах +Ьх+ с имел г два действительных корня. Пример 3. Требуется вычислить интеграл НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 328 !ГЛ Х 8 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных). В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических, в первую очередь тригонометрических, функций.
Рассмотрим интеграл вида В(81п х, соз х) !ах. Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки бг (2) всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим 8!пх и созх через 1к-, а следовательно, и через й 2' х х 2 в!п — сов— гйп х— 2 2 1 2 21п — савв х х 2 2 х 218 2 2! вш — + совв — ! + 18 2х вх вх 1+! 2 2 сов — — 2|и 22 2Х 2 2 сов — — 2!и 2Х 2Х 2 2 СОЕ Х— 1 ! — !8 2 х 1 — 2 сов — -1- в!п — 1 + !8 22 вх 1+! 2 2 2 Далее, х = 2 агс1к1, с(х = — '2.
2 пи 1 -1- 22 Таким образом, гйпх, сов х и 21х выразились рационально через 1. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции: В(з!пх, с<их) с!х = / Я( —,: ) —. 2! 1 — 22 1 2от 22 ~ ! ! !2 1 1 ! 22 ' Пример 1. Рассмотрим интеграл На основании написанных вышЕ формул имеем; /' — „.'* = ~ '+' = ~ 822 = !и ~ц+ с = !п! !8 х/ ~ с. Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида В(созх,з1пх). Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой».
Однако на интеГРНРггвание тРиГОнОметРических Функций 329 практике она часто приводит к спи!Иком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной> подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.
!) Если интеграл имеет вид ) й(япх) созхНх, то подстановка зги х = 1, созхс(х = г(! приводит этот интеграл к виду ) й(1) !(!. 2) Если интеграл имеет вид ) й(созх)з)пхг(х, то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой созх = 1, 3)пхс(х = — г(! . 3) Если подынтегрвльная функция зависит только от (кх, то и! замена 1кх = ! х = агс(к(, с(х = — г приводит этот интеграл к 1+! интегралу от рациональной функции: й((к х) (х = й(1) — "',.
4) Если подынтегральная функция имеет вид й(з!их, созх), но з(пх и созх входят только в чепгных степенях, то применяется та же подстановка: (2') 1кх= 1, так как з)п х и созгх выражаются рационально через 1кх: . г соз х= г 1Ф132х 1+!2' 2 1е х !2 яп х= 1Ч гкгх 1+!2' <гх = —. и! 1+!г' После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции. Пример 2. Вычислить интеграл )' + ох. в + сов х Решоеии.
Зтот интеграл легко привести к виду ) й(сов х) в!их ох. Действительно, в!пах „ / в|пг хвгпхох / ! — сов х 1 — совг х 2+ соек 2+ совх 2+ сове Сделаем замену сов х = г. Тогда в!и х ох = -дг: г совг х — — — 22 + 3!п(в+ 2) + С = сов х — 2совх+ 3!п(сове+ 2) + С. 2 Пример 3. Вычислить 1 — -.-г —. Сделаем замену 13 х = В нх 2 — Мп х 2 ! ~ П+!2) = — агс!3 — + С = — вгс!3! г! + С. 1 г2 У2 У2 ( У2 ) ззо НЕОНРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ Х 5) Рассмотрим теперь еще один интеграл вида )' й(Е1пх,созх) 4х именно интеграл, под знаком которого стоит произведение сбп"'хсозохс1х (где т и п -- целые числа).
Здесь рассмотрим три случая. а) ) Е1п хсоз" х Нх, где т и и таковы, что по крайней мере одно из них гзечетное число. Допустим для определенности, что п нечетное. Положим п = 2р + 1 и преобразуем интеграл: еш хсоз ""1хНх = ) Е1п хсоз РхсозхНх = = / еш х11 — Е1п~ х)" сов хдх. Сделаем замену переменного: згп х = 1. сое х сгх = Й Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим: е1п х сое" х Цх = / 1"'(1 — 12)Р Е2, а зто и есть интеграл от рациональной функции от б Пример 4. созз х / созг хсозхкх /' 11 — зш х) соя хкх у ' г — пх = Мп" х з1п х зтз х Обозначая Мпх = й созхдх = Ф, получим: 4 С.
Звпзх Мпх б) )"зш хсоз" хдх, где т и и -- числа неотрицательные и четные. Положим гп = 2р, п = 2д. Напишем фо1 мулы, известные из тригонометрии: е1п х = — — — сое2х г 1 1 2 2 (2) Подставляя в интеграл, получим: згп хсоз охах = уг 11- — — соз2х)Р11Р+ — соз2х) Нх. Р г / Г1 /1 1 /'Х2 2 '12 Возводя в степень и раскрывал скобки, получим члены, содержащие соз2х в нечетных и четных рядах. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида ) созех0х, которые легко интегрируются.
интеГРиРОВАние тги!"ОнОмеГРических Функций зз! ь ю] Пример 5. в]п хдх = —. у! (1 — сов2х)ь ь]х = — /ь!- сов2г 1 сонг 2х) ьгх =- 1 Г = -(х - зьптт.' — 11-г сов4х]ит) = — (гх мпгх Ь ] -г С 1 1 13, мп4х1 в) Если оба показателя четные, причем хотя бы один из ннх отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели.
Здесь следует сделать замену гкх = ! (или сгех = !). Пример 6. в;пгхьгх Г гигьгх(вьп хе совгх)г г г г г г г ах = г! 15 х(1 г ья ) нх. сове х „1 сов х Положим !к х =- 1, ~огда х = агс151, Нх = — т, н мы получаем: ьи 1+1 еьп х 1 / гг(1+1г]г ьи ) гг(1+ге]щ ~е)"'* . = /' ° !' = /' сг сь 133 х 155 х 3 5 3 5 — — -';с= + — гс. 6) Рассмотрим в заключение интегралы вида -.«.ь*, /' Они берутся при помощи следующих') формул (т ф и): соя тх соя пх = — [соя(т + п) х + соя(т — и) х), я!Нтхсояпх = — [я!п(т+ п)х+ я]п(т — п)х]ь ! 2 яеп тх я]п пх = — [ — соя(т + п) х + соя(т — и) х[, ! 2 Подставляя и интегрируя, получим: соя тх соя пх г!х = — [соя(т + п)х + соя(т — п)х) с(х = 2) мп(т -1- п)х вт(ьп — п)х + +1..
2(ьп -1- гь) 2(пь — и) *) Эти формулы легко вЫвести следующим образом гов (пь Ф п)х = соз гпх сов пх — в]п гпх в!и пх, сов (!я — п)х = сов тх сох пх + в]п тх в]п пх. Складывая зти равенства почленно и деля пополам, получим первую из приведенных трех формул. Вычитая почленно и деля пополам, получим третью фоРмулу. Вторая формула выводится аналогично, если написать аналогичные Равенства для мп(т+ п)х и мп(ьп — п)х н затем почленно их гложить. 332 неопРеделеннын ннтеГРля! (ГЛ.
Х Аналогично вычисляются и два других интеграла. Пример 7. я!ПЬхип Зхдх = — 22 (- соя 8х Е соя зх)кх =- — — -я / я~пах мп2х 22 !б 4 +ы, 3 13. Интегрирование некоторых иррапнональных функций с помоптью тригонометрических подстановок Вернемся к интегралу, рассмотренному в 3 11 гл. Х, яо,,/Р2ь~яя,, (1) 62 где а ~ 0 и с — — Ь 0 (в случае а = 0 интеграл имеет вид П 3 10, 4а Ья при с — — = 0 выражение ах + Ьх+ с = а~х+ — ), и мы имеем 4а дело с ациональной функцией, если а > О, .при а < 0 функция ахз+ бх+ с не определена ни при каком значении х).
Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида (2) В(82п г, соз 2) с(2, который рассмотрен в предыдущем параграфе. Произведем преобразование трехчлена, стоящего под корнем: 2 +ь +с=а(х+2 ) +(с — ь ). Сделаем замену переменного, положив х+ — = Г, сях = й. Тогда Ь ах2 + Ьх+ с = а6 + ~с — — (. 62 я 4а)' Рассмотрим все возможные случаи. 62 1. Пусть а > О, с — — > О. Введем обозначения а = т, Ья 4а с — — = пз.
В этом случае будем иметь: 4а 2Рт„—,—,, „яя —,Р 62 62 2. Пусть а > 0 с — — < О. Тогда а = т, с — — =- — п. 4а 4а Следовательно, 62 Ь2 3. Пусть а < О, с — — > О. Тогда а = — т, с — 4 — — и . 4а 4а Следовательно, /'з +7*' ~" = 222 — Ря.
ззз о свзнкциях, интегьалы 1 !в! т 4. 1!усть а < О, с — — < О. В этом случае з/акт+ бх+с есть ь аа комплексное число при любом значении х. Таким образом, интеграл (!) преобразуется к одному из <лелующих типов интегралов: Ц1, /тт!т 1- пв) !1! в<~,~ ч::Р!а. вр,Я: г! е. (3.1) (3.2) (З.З) Очевидно, что интеграл (3.1~ приводится к интегралу вида (2) с, помощью подстановки 1 = — 1кк Интеграл (3.2) приводится и к виду (2) с помощью подстановки ! = — веса Интеграл (3.3) приводится к виду (2) с помощью подстановки ! = — з!и!. Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
