Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 55
Текст из файла (страница 55)
г' = --1взпс+-усов!+ 2 2 2 2 2 1 С Х вЂ” сов — т' — - и!и С Я вЂ” в!игз 1 +-йсов-; уравнения касательной: г г, з ' Урвзз 2 2 — В1П С СОВ! СОВ- г с с неиие нормальной плоскости: Хв!и! — Усов! — Ясов — = хнпС вЂ” усов! — хсов-, 2 2 где х, у, х — координаты той точки кривой, в которой проводится нормальная ПЛОСКОСТЬ (Т.е. х = сов -', р = г 21П с, 2 = вСП 2). агни мы доказали, что градиент функции и(х,у,г) направлен по нормали к поверхностпи уровня, проходяисей через даннузо точку. Пример.
Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности шара хг + уг -!- 22 = 14 в точке Р(1, 2, 3). Решение. 298 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО ИггЧИСг!ЕН44Я (ГЛ 4Х 6. Найти уравнения касательной к кривой х = ! — зии, у = ! — сов 1, г = 4э!и -' и косинусы углов, составляемых ею с осями координат. Ото. Х вЂ” Хо '1 — Уо г-го —, сова = згпг -а, сов 8 .= — э!и со, соз ! == соз лг.
л42 со га с!8 лг 2 2 7. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой г = хг — уг, у = х в начале координат. Указание. Написать уравнения кривой в параметрической форме. Ото. х-!- у = О. 8. Найти в, и, Ь в точке ! = — для кривой г = г(сов ! Рюпг !)+2 э!пК1 — сов 1)— 2 1 — 54 — 42 — й г — 21 + Зй — й соз !. Огне.
42 = — ( — г -!- 1 4- й), и =, Ь =— '3 и'42 ъ~Г4 сг гз 9. Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой х = —, у = —, 4 3 2 х — хо у — уо г — го х — хо у — уо г = — в точке(хо:уо,го) Огне. 2 !оэ + 2!О 1 — го 21о се 1 — 2!О г — го 2 !о 10. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой у = х, хг = г в точке М(1,1,1). Оп!о. бх — 8у — г -4- 3 = О. 11. Найти радиус кривизны для кривой, заданной уравнениями хг -4- у + гг— — 4=0,х-!-у — 2=0. Опге, К=2. 12. Найти радиус кручения кривой: г = г сов 1 Ру з!и! !- й ей !. Опге. Т = — сй Е 13. Найти радиус кривизны и кручения для кривой г = !24 -!- 21211 Опге.
Н = — 1(1 4 912)з! 2, Т = оо. 2 3 14. доказать, что кривая г = (аг!2-! Ьгг ! с!)24-(аг!2+521+ох)1+(аз!2-!-Ьз! !- -!-сг)й плоская. Опге. гн':— О. Поэтому кручение равно нулю. 15. Найти кривизну и кручение кривой х = ег, у = е 4, г = Счг2. Оспе. ,Г2 ,2 Кривизна равна ;кручение равно (х Ф у)2 к (.Ф у)' 16. Найти кривизну и кручение кривой х = е !э!п1, у = е 'сов!, г = е м2 г 1 Ояге. Кривизна равна — е; кручение равно — -е . 3 3 хг 92 2 17.
Найти уравнение касательной плоскости к гиперболоиду — — — — — = 1 а2 52 с2 хгх у4у в точке (хг,уг,г!). Оп!в. — — — — — = 1. аг Ьг сг 18. Найти уравнение нормали к поверхности х — 4уг+ 222 = б в точке (2, 2, 3). Опю. у + 4х = 10, Зх — г = 3. 19. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности г = 2хг -1- 4уг в точке М(2, 1, 12). Оп!в. 8х-~-Зу — г = 12. 20.
К поверхности хг -'; 292 -1- гг = 1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости х — у + 22 = О. Огне, х — у + 2г = х~/Г1/2. Глава Х НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ б 1. Первообразная и неопределенный интеграл В главе П! мы рассматривали такую задачу: дана функция Е(х); требуется найти ее производную, т.е. функцию г(х) = Е'(х). В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция у(х); требуется найти такую функцию Е(х), производная которой равна 7(х), т.е.
~"(х) = Лх) Определение 1. Функция Е(х) называется псреообразной от функции у(х) на отрезке [а,Ь), если во всех точках этого отрезка выполняется равенство гч(х) = 7(х). Пример. Найти первообразную от функции У(х) = хт. Из определения первообразной следует, что функция й(х) = хз(3 является первообразной, так как (хз/3)' = хт. Легко видеть, что если для данной функции у(х) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первое 3 образной следующие функции: Е(х) = — +1, Е(х) = — — 7 или вообще Е(х) = — + С (где С вЂ” произвольная постоянная), так как .з С другой стороны, можно доказать, что функциями вида — + С исчерпываются все первообразные от функции хт. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Если Ет(х) и Ет(х) — две псрвообразныс от функции У(х) на отрезке. [а,Ь), то разность мсзюоу ними ранна постоянному сислу, Доказательство. В силу определения первообразной имеем: Ет(х) = г"(х), [ Ез(х) = у(х) / при любом значении х на отрезке [а,Ь[. зоо НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !ГЛ. Х Обозначим (2) Г1(Х) — Гг(Х) = ф(х). Тогда на основании равенств (1) будет: Ь|(х) — Ьг(х) = т"(х) †,т"(х) = О ИЛИ ьт (Х) = [.Г1(Х) — Г2(Х)) = О при любом значении х на отрезке [а,Ь[. Но из равенства р'(х) = О следует, что ~р(х) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа (см. 2 2 гл, ('т') к функции у(х), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [а, Ь[. Какова бы ни была точка х на отрезке [а, Ь[, мы имеем в силу теоремы Лагранжа р(х) — р(а) = (х — а)~о'(с), где а<~< х.
Так как ~р'(Р) = О, то ~о(х) — р(а) = О или от(х) = у(а). (з) Таким образом, функция ьт(х) в любой точке х отрезка [а, Ь) сохраняет значение у(а), а это и значит, что функция у(х) является постоянной на отрезке [а, Ь[. Обозначая постоянную ьт(а) через С, из равенств (2) и (3) получаем: У~(х) — Р2(х) = С. Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции ,т"(х) найдена какая-нибудь одна первообразная Ь(х), то любая другая первообразная для у(х) имеет вид Ь'(х) +С, где С = сопзь. Определение 2. Если функция г (х) является первообразной для )'(х), то выражение Г(х) +С называется неопределенным интегралом от функции т'(х) и обозначается символом [ т (х) дх. Таким образом, по определению, У(х) д = Г(х) + С, если .г" (х) = у(х). При этом функцию т'(х) называют подмнтегральной функцией, з(х) ах — подынтегральным омроотсгнием, знак [ —. знаком интнгграла.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейстпао утункций у = Г'(х) + С. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу. зо~ тзвлицз ингщгллов Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции Г'(х) существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Сказывается, что не для всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция ?(х) пепрерзявпа па отрезке (а,Ь], то для этой функции существует пераообразпал (а значит, и неопределенный интеграл).
Выяснению методов, с помощью которых находятся первообразные (и неопределенные интегралы) ог некоторых классов элементарных функций, посвящена настояпгая глава. Нахождение первообразной для данной функции г" (х) называется интегрированием функции 1(х). Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и непредставимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вернемся в конце данной главы. Из определения 2 следует: 1.
Проиэводпал ат неопределенного интеграла равна подмптегральной функции, т.е. если г" (х) = 1(х), то и /'.((х) Ых) = (Ь (х) + С)' = ((х). (4) Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подмптегральпому вмраэзсению 1(х) дх = Г'(х) дх. (5) Это получается на основании формулы (4).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен ассой функции плюс произаольпал постоянная дГ(х) = Г(х) + С. Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны аг'(х)). з 2. Таблица интегралов Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования, приведем таблицу интегралов от простейших функций.
Непосредственно из определения 2 ~ 1 гл. Х и таблицы производных (з 15 гл. П1) вытекает таблица интегралов. (Справедливость написанных в ней равенств легко проверить дифференцированием, т.е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.) 302 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИнтЕГРАЛ )гл. х +1 1. / х Пх = — + С (а ~ — 1). (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная нестоящая.) 2.
[ — * = !и ~х[+ С. 3. ( з!охах = — созх,+С. 4. (созхг!х=з!их+С. 5. [ — т- = Фбх+ С. б. ( —.~~ — —— — с!бх+ С. 7. ['ьбхх!х = — !П[созх~ + С. 8. [ с!8 х с!х = ! и [ в!п х[ + С. 9. [ е* 4х = е* + С. 10. [ а* с!х = —,„+ С. 11'. ( — г — * — ~ — — — згс!8 — *+ С. а ех а а 14. [ — РР:* = !п[х+ ~/хз Хат[+ С. ~х' х а' Замечание. В таблице производных (З 15 гл. 111) нет формул, соответствующих формулам 7, 8, 11', 12, 13' и 14. Однако справедливссть последних также легко устанавливается с помощью дифференцирования. В случае формулы 7 имеем: ( — 1п[созх[)' = — ""* = тбх, следовательно, [ Фбхй: = — !п[созх[+ С, В случае формулы 8 (1П[з!Пх[)' = —. = с!8х, следовательно, [ сгбх4х = !П[ебпх[+ С.
В случае формулы 12 ( — !и ! + ~) = — [!и [а + х[ — !и [а — х[!' = сладовательно, Отметим, что последняя формула будет следовать также из общих результатов З 9 гл. Х. НЕОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ ЗО4 (ГЛ. Х Производные от правой н левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любьлх функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует понимать равенство (2). При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила. 1. Если ((х)41х = Е(х) +С, то г(ах) 41х = 1Г'(ах) + С.
Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3), получим: (-Е(ах)) = -(Г'(ах)), = -Г (ах)а = Г'(ах) = )(ах). Производные от правой и левой частей равны, ч.т.д. П. Если У'(х) 4(х = Е(х) + С, то 1(х+ Ь) 4)х = Е(х + Ь) + С. Г" (х) 4(х = Е(х) + С, (4) П1. Если то у (ах + Ь) 41х = -Е(ах + Ь) + С.
(2хз — 3 е!п х+ 5ч х) кх .= / 2хз ах — / 3 Мп х Кх + ~ 5 ~Гх 41х = = 2/ х 41х — 3/ Мпхох+5/ х44хах= хзе1 хз, 1 4 10 3+1 = 2 — — 3(- ооз х) + 5 — + С = - х + 3 пое х + — х~/х + С. 2 3 — "+1 2 Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств. Пример 1. з 4! ннтвггиговзнив методом ззмены пе! именного 305 Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
