Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 57
Текст из файла (страница 57)
~ еаесовбхйх и !г =- / еа в1пЬхах. Применяя метод интегрирования по частям к первому интегралу, получим: и = е"*, г!и = аеа* ах, ае =. сов бх ах, е = — в!пЬх, 1 Ь е *с<ибхах = -е"*в!пЬх — а / ее* ми ахах. 1 ае К последнЕму интегралу снова применим метод интегрирования по частям: еах ди асах дх ае = в1пбхг!х, е = — — совах, 1 ее*в!пЬхих = — 1е'* совах+ а 1 ее*сов бхах. / *„1* и!'.* Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, получим: еа* сов Ьх ах = -е в!пбх + — ев* сов Ьх — а. уг ее* сов Ьх ах. 1 а ае 1 .. Ь Ьг 62 / Найдем ив последнего равенства !П (1 + а ) / е * сов бх г!х = ее в (- вщ Ьх + а сов бх) + С(1 + а ), откуда Г е'*(6 вт Ьх + а сов Ьх) еах сов Ьх Дх г +С.
аг + 62 Аналогично находим: Г „. ев*(а в!и бх — Ь сов Ьх) !2 = / е"* е!и Ьх Их =- + С. а +62 З 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов: Я(х) В.х" +Вгх -'-Ь...+В Дх) А х" + А х" '+... + АЛ 314 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гг! х Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется не; правильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: — = М(х) + —; ах) Р(х) 1(х) П ) ' здесь М(х) — многочлен, а — правильная дробь. Л') Пример 1. Пусть дана неправильная рациональная дробь х — 3 4 х2+ 2х+ 1' Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим: х — 3 г 2 3 4х+б х г -1- 2х + 1 х г -1- 2х 4- 1 Так как интегрирование многочленов не представляет затруд- нения, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
Определение. Правильные рациональные дроби вида: 1. —, А х — а' П, — ' — г (й — целое положительно число > 2), .4 Ах+ В г 1П. — г — — (коРни знаменателЯ комплексные, т.е. е- — 4) ( О), ' 'Г++Я 4 !ч. * 22 — * 22; (х +гх+Е) знаменателя комплексные) называются простейшими дробил!и 1, П, П1 и 1'Ч типов. Далее будет доказано (см. 3 8), что всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Поэтому мы рассмотрим сначала интегралы от простейших дробей. Интегрирование простейших дробей типов 1, П и П1 не составля- ет большой трудности, поэтому мы проведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений: 1, ~ — г(х = А !п ) х — а) + С.
А А г П. / 4(х=А/(х — а) 42х=А( +С= / (х-а)' -в+1 + С. [1 — я)(х — а)" РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ ИНТЕГРИРОБАНИЕ 22Е АХ4В 1 2 2 г — (22 + р) -~- ( — — В) 22арх Рд / е Е2*а4 = — )п )х + рх + д1 + 1  — — / / А 2 ( 2) ( 4) — А )п (Х2 + рх + ()) + 2В АР агс(ц 22 р + С (см. 22 5). /4 рг А/4д — р2 Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей 1У типа.
Пусть нам дан интеграл такого типа: АЕ-Р В / ( ' ч-р*+4)" Произведем преобразования: АХ+В ( /2 2 / — (22 Ч р) + (6 — — е ) 2 „ ИА Х / „ МА (,2 Рр,ч.ч)А ( 2 / / (,2ЧР,+4)А' первый интеграл берется подстановкой х2+рх+д = г, (2Х+р)г(х = ой 1 *+ Рг/х= 1й,' = 1 —,1( — ' "+'+С= +с. (4-НН'+р +4)' ' Второй интеграл — - Обозначим его через /А -- запишем в виде / (Х2-~-Ре+4)" / [( Р) ( Р )1" / (22 Ч-И2 ) полагал г х+~~=(, Нх=й, д — р — =Н2 (по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, д — е4- ) О). Далее поступаем слепующим образом: ,ц, /'(22+т2) 22 (22 Р 2)А 2Б2 / (22 Р 2)А / 42 22 2 / (22 +,Б2)А-2 „,г / (22 + 2)А ' ) Преобразуем последний интеграл: 2242 / 2.242 Г / 4(22+ ') (22 а 2Б' )" / (22 ч 2)А 2 / (22 + 2 )А /'(А~ 2(Ь, 4) / ~(22 + Н22)Л-2) 316 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !ГЛ.
К Интегрируя по частям, будем иметь: СЗС ! ] ! / оз (Сг ь,дг)ь 2(!г — 1) ! (Сг с,пг)ь-г / (Сг ьшг)ь-г~. Подставляя это выражение в равенглво (1), получим; ог (Сг -1- тг)ь / и ! 1 ] с / зс „,г / (Сг „„,г)ь-! + „,г 2(ь П '((Сг + „,г)ь-! / (Сг+ „,г)с-11 с ги+3 / ог гшг(ь 1)(Сг +,иг)ь — ! + 2,пг(сг 1) / (Сг +,пг)ь-! ' В правой части содержится интеграл того же типа, что 1а, но показатель степени знаменателя подынтегрвльной функции на единицу ниже (Й вЂ” 1); таким образом, мы выразили 11 через 1а !.
Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла: оС 1 Подставляя затем всюду вместо С и пг их значения, получим выражение интеграла 1Ч через х и заданные числа А, В, р, с). Пример 2. ! х — 1 -(2х Е 2) + (-1 — 1) г Зх /г г г ох= (х'+гх+З)' ! (хо+2 +З)г гх+ г 2 / (хг.!. 2х !. 3)г / (хг ! гх.!.
3)г — — — 2 2 (хг -1- 2х + 3) / (хг -~. 2х + 3) г К последнему интегралу применнем подстановку х -с- 1 = С: ! хьз:.о „ (хг+2х+З)г / [(к+1)г+2]г / (Сг ! 2)г 2/ (Со+2)г йг ! / С' !1 С 1/ Сей 2/ Со+2 2/ (Сг+2)г 2Я ьгг 2/ (Сг С 2)г' Рассмотрим последний интеграл: сгзс 1 /ссс(сг+2) 1 /,з! ! 1 ! с ! / Ги (Сг.ьг)г 2/ (Со+2)г 2/ !Сг+2) 21г ьг 2/ Сг ьг е ! агс! с 2(гг .1- 2) 2ьг2 АС2 (произвольного постоинного пока не пишем; мы учтем его только в окончатель- ном результате) . 1 в( РАЗЛОжЕниЕ РАцнОнАлънОЙ дРОБи нА НРООтейшне 317 Следовательно, Нх 1 х.~-г 1~ х-Р1 ь х.~- 11 = — — агстб — —— — — — агстк — ~ .
(хе + гх Ь 3)т гту2 тгг г ( г(хт Ч гх -~-3) гчгг гг Окончательно будем иметь: х — 3 х+г ъг хе~ — — т ах = — — — — -~- — агстб а С. (хе+гх,З)т г(хг Ргхт3) 4 г 3 8. Разложение рапнональной дроби на простейшие Покажем, далее, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Пусть нам дана правильная рациональная дробь Р'~х) т'(х) ' Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее много- членов — действительные числа и что данная дробь несократима (последнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней). Теорема 1. Пусть х = а есть корень знаменателя кратности (с, т.е.
((х) = (х — а)"Уг(х), где Уг(а) ~ О (см. 3 6 гл. УП); тогда данную правильную дробь можно предсгпавить в виде 'Р(х) .(( ') сулгмм двух других правильных дробей следуюи(им образом: Р(х) А Рг(х) Пх) (х — а)" (х — а)" гуг(х)' + где А — постоянная, не равная нулю, а Рг(х) — многочлен, степень которого ниже степени знаменателя (х — а)~ ~гг(х). Доказательство. Напишем тождество Р (х) А Р(х) — Ауг (*) (2) гг(х) (х — а)" (х — а)втг(х) (справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен Р'(х) — Ауг(х) делился на х — а.
Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: Г(а) — А~в(а) = О. Так как у;(а) ~ О, Р'(а) ф О, то А однозначно определится равенс'твом А = —. х (а) гг (а) При таком А будем иметь: Е'(х) — АУв (х) = (х — а) Р'в (х), 318 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ Х где Р1(х) есть многочлен, степень которого ниже степени много- члена (х — а)ь 1у1(х). Сокращая дробь в формуле (2) на (х — а), получаем равенство (1). Следствие.
К правильной рациональной дроби Г1(г) (х — а)" ' /1 (г) входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень х = а кратности (с, то можно написатьл Р(*) А А1 АА 1 ГА(х) — + „+...+ — + —, 3((*) (*- )' (* — )" ' ' ' *- У1(*) ' где — — правильная несократимая дробь. К ней также можно гГг г(х1 ,~() применить только что доказанную теорему, если у1(х) имеет другие действительные корни. Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены (см. 8 8 гл.
НП). В разложении многочлена на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида ха + рх+ д. Если же комплексные корни имеют кратность р, то им соответствует выражение (х'+ рх+ д)". Теорема 2. Если у(х) = (х +рх+о)"(о1(х), где многочлен у1(х) не делится на хг+рх+д, то правильную рациональную дробь — 1 — г г'(х). можно представигпь в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: Р(х) М + 1Ч + Ф (х) у(х) (хг Ь рх + г)Р (хг + Рг + г)Р 1~р (х) где Ф1(х) — многочлен, степень котпорого ниже степени много"саена (ха + рх+ о)" '(о1(х). Доказательство. Напишем тождество Р(х) Г (х) у(г) (аг Ьрх+г)РР1(х) + ( ) ( )~'( ) (4) (*'+1* же)" (*'+1*+ г)вт1(х) справедливое при любых М и )х', и определим М и )з" так, чтобы многочлен г(х) — (Мх+1х")(о1(х) делился на хг+рх+д.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение г'(х) — (Мх+ Ю)~р1(х) = О имело те же корни сг х ((3, что и многочлен хг + рх+ о. Следовательно, г'(сг + ((3) — [М(сг + (13) + )У](о1 (а + ((3) = О 1 2) РАБДОжение РАциОИАльнОЙ дРОБи нА пвосгейшие 919 ИЛИ М(а + 2)3) + 1"2' = Но есть определенное комплексное число, которое можно Р(О Э 1В) Р2(О + 2В) записать в виде К+ 2Е, где К и Е . некоторые действительные числа. Таким образом, М(се+ 211) + )2' = К + 2Е; отсюда МО + 1"2' = К, Мб = Е или При этих значениях коэффициентов М и 22' многочлен Е(х)— — (Мх + й1)у1(х) имеет корнем число О + 2(2, следовательно, и сопряженное число Π— 211. Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности х — (а + 2д~ и х — (Π— 2)2), а следовательно, и на ик произведение, т.е.
на х +рх+ д. Обозначая частное от этого деления через Ф1(х), получим: Е(х) — (Мх + ))()(о1(х) = (хз + рх + д)Ф1(х). Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на хз+рх+ д, получим равенство (3), причем ясно, что степень Ф1(х) меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать. Р(х) Применяя теперь к правильной дроби результаты тео- 2'(х) рем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие всем корням знаменателя ((х). Таким образом, из предыдущего вытекает следующий результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
