Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 56
Текст из файла (страница 56)
( 3 + 1 + 4г-) б 3 /' — з7з4 1 ( -Пгб„„7~ Мз /(3 1 .) / -зз — 1+! 1 — $+з,~ ~.! = 3 + — -!- — + С = — з7Р+ з/з+ — з ее+ С. 1 2 1 б +1 ' .!.1 -+! 3 2 4 Пример 3. — =!и~и+3)+С. и+3 Пример 4. соз7збз = — з!и 7з+ С. 1 Пример Ь. Мп(2з — б) Ыз = — — соз(2з — б) + С.
1 2 3 4. Интегрирование методом замены переменного нлн способом подстановки Пусть требуется найти интеграл ( 7(х) дх, причем непосредственно подобрать первообразную для 7'(х) мы не можем„но нам известно, что она существует. Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив х = ~р(Ф), где зз(1) — — непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию.
Тогда <(х = р'(1)гЫ; докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство: (2) Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо 1 будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1). Для того, чтобы установить, что выражения, стоящие справа н слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой.
Находим производную от левой части (/ 7(х) !(х) = 7'(х). Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где 1 — - промежуточный аргумент. Зависимость интвгглззы етнкция, сзодвгжащих квадватныи тгехчлвн 307 В примерах 3 и 4 выведены формулы, приведенные в таблице интегралов под номерами 11' и 13' 1см. выше, 2 2).
Пример 5. ! 11пх) — =7 Полагаем ! =!ох; тогда й = —, зах Нх В )' — "" = 1' ' и = — ' + с = -'!1 *)' + с. за'х /' з Г' 1 4 4 4 Пример 6. ) — г — — 7 Полагаем 1 = хз: тогда й = 2х Нх, хна 1+х хнх ! ! й 1 — — = — агссаз+ С = — асс!их 1. П. ! 11х4 2/ 11!з 2 2 Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов.
Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменного при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому и посвящена большая часть настоящей главы. 2 5.
Интегралы от некоторых функщей, содержащих квадратный трехчлен 1. Рассмотрим интеграл нх !в ахз Е Ьх+ с Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов: ах +Ьх+с= а[х +-х+-] = 2 1 2 Ь с) а а) [х + Гх+ (Г) + (Г) ] =.[(*' ) +(-'-4)] =.[(х+ ) ° '] где обозначено с Ьз 2 — — — = хк а 4аз Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет лв выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена ахз + Ьх + с комплексными или действительными. 308 НЕОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ 1ГЛ Х Таким образом, интеграл 11 принимает вид А нх ! / бх ахт -~- Ьх -~- с а / ~( Ь )т т] ' Сделаем в последнем интеграле замену переменного х + Ь вЂ” 1 ,(х †,~ 2а Тогда получим: 1 1 ( ж а / Ьт ~йт' Это — табличные интегралы (см.
формулы 11' и 12). Пример 1. Вычислить интеграл 2хт + ба + 20 Решение. бх 1 1 нх 2хт+зхч 20 2 1 хт Ь4х+10 х 1~ бх 2,/ хт-1-4х+4-~-10 — 4 2/ (х+2) +б Делаем замену переменного х + 2 = 1, ах = аа подставляя в интеграл, получаем табличный интеграл 1 = — 1 — = — — агсгб — + С. 1 Г 41 1 1 2./ Гт4-б 2 б б Подставляя вместо 1 его выражение через х, окончательно находим: 1 = агссй + С. 1 х.1-2 2тгб чгб П, Рассмотрим интеграл более общего вида Ах+ В т+Ь + Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции: А АЬ Ах+В ( / 2а — (2ах е ь) + ( — — ) 2а ахт -1-Ьх+с / ахт.1.Ьх+с Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов.
Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим: 1 А ~ 2ах+Ь,(х+ ~В 2а / ахт-1-Ьхтс 1 2а// ахт4-ах+с 1 ь! НнтеГРАлы ФУнкций, оодеРжАщих кВАдРАтный 'грехчлен 309 Второй интеграл есть интеграл 11, вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменного ахз + Ьх + с = 1, (2ах + Ь)г)х = й. Следовательно, ( ~~ = 1п(1(+ С = 1п(ах~ + Ьх+ с! + С. х'+бе+с 1 Т Таким образом, окончательно получаем; 12 = — !Ц(ах' + Ьх+ с! + ~ — — )11. А / АЬ1 2а 2а у Пример 2. Вычислить интеграл и+3 .2 Применим указанный прием: х-1-3 1 2 — (2х — 2) + (3+ — 2) т 2 2 хт — 2х — 5 У хт — 2х — 5 — 1п (хз — 2х — 51+ 4 ) =21хт 2, 5+ 1 т 2х 5 йп™ + )( — 1)т — б 1 ~ угб — (х — 1) = — 1п1хт — 2х — 51+2 — !п~ ~+55 2 ьгб Угб + (х — 1) 111.
Рассмотрим интеграл Нх С помощью преобразований, рассмотренных в и. 1, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида Ж при а>0 или ~ при а<О, 31 УГЬТ вЂ” 1~ которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см, формулы 13' и 14). 1Ч. Интеграл вида Ах+ В вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. П: А АЬ Ах-~-В 1 1 2а ) — (2ах + 5) + ( — — ) 2а А 1 2ах+Ь 1 /В АЬ) / Нх Б~;Рхтгг ( ')/ ли йЁ ' 3?О (ГЛ Х НЕОПРЕЦЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Применив к первому из полученных интегралов подстановку ах + Ьх+ с =12 (2ах+Ь)22х = ГИ2 получим: / 2-+Ц~ — 2 — '=2Л С=2 22*2 -2О.
2 Л Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. П1 настоящего параграфа. Пример 3. - (2х + 4) + (3 — 10) ах+3 / 2 2?х = 5 / 2х-~-4 ах — 7 ( '* Т'Г ТО 2 22". 2 ТБ =,т=*тз- ~.2 °,7' 2+ ~+ и= =2 ь'Р й- ° ~ + 227?2+ 3 6. Интегрирование по частям Пусть и и и —. две дифференцируемые функции от х. Т~ гда, как известно, дифференциал произведения ии вычисляется по следующей формуле; 21(ии) = ие(о+ и2?и. Отсюда, интегрируя, получаем: или и 2?и = ио — ее(и. Последняя формула называется 2)2орААуло?1 интегрирования по часоим. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и и 22и, чтобы отыскание функции и по ее дифференциалу 2го и вычисление интеграла ) и2(и составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ) иди.
Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и и 2?и вырабатывается в процессе решения задач, и мы покажем на ряде примеров, как это делается. Пример 1. ) хвех2?х =? Положим и = х, 2?е = Мо х 2?х; 511 ннтвггигованнв по часггям тогда еи = ах, о = — сов х. Следовательно, хз1пхох = — хссах + / созхох = -хссах Е з1пх+ С. Замечание. При определении функции и по дифференциалу с)п мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (1) вместо и выражение и+С). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.
Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида х созахс)х, х 1пхс)х, х згп ах дх, х еех с)х, некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям. Пример 2. Требуется вычислить 1' агссй х ах. Положим и = агсгб х, ав = ех; тогда ан = — т, в = х. Следовательно, ех 1 -1- х агссб х ох =- х агс15 х — ~ х е'х 1 г ) 1+ г = х агссб х — — 1и ~1 -~- х ~ + С. 2 х езех=х е — 2/хе*ох.
Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая еиг = ох, ног = е* ох, ог = е*. Тогда хе*ах=хе — /с*ее=хе* — е +С, Окончательно будем иметь: хге*с)х = хге* — 2(хе — е*) + С = хге* — 2хе*+ 2е*+ С = ев(хг — 2х-1-2) + С. Пример 4. Требуется вычислить 11хг + 7х — 5)соз2хох. Положим и .= = хг + 7х — 5, ее = соз 2х с)х1 тогда Пример 3. Требуется вычислить )'хге*ох, Положим н = хг, оо = е*ех1 тогда еи = 2х с1х, о = е*, 212 НЕОПРЕДЕЛЕННЪ|й ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х йн = (2х + 7) йх, и = з'П2х 2 (х + 7х — 5) сов 2х йх = (хз + 7х -- 5) зиа х — (2х + 7) з— '" ' 42. Применим интегрирование по частям к последнему интегралу, принимая и2 2х+ 7 2, г(иг = з1п2х йх; тогда Оог = ОХ, Иг = — — —; сов2х 2 (2х+ 7)соз2х юп2х 4 + — 4- С. Поэтому окончательно (хз+ 7х — 5)сов2хйх = (хз+ 7х -5)зго х + (22+ 7)осе * — з и х +С = 2 4 = (2хз+ 14х — 11)з— '" * + (2х+ 7)сов * -1- С.
Пример 5.! = )' иГоу- х йх =? Произведем тождественные преобразования. Умножим и разделим подынтегральную функцию на чГой — х~: 1 "-*'"*=1 ':г.' ="1 ."-*. -1 .*'"„= 2 х хг(Х = а агсз1п — — 71 х а ~/ай — х~ Последний интеграл проинтегрируем по частям, полагая йе = йх, 2/о2 а2 ° йи = ъ/вт — ху тогда Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного инте- грапа, будем иметь: У/о2 х24х = оз агсмп Х + хи/а2 а2 ( 2/от т2 ох. а Переноси интеграл справа налево и выполнив элементарные преобразования, окончательно получим: 2/оз — хтг(х = — агсзнз х + — * ~/а~ — хз + С. $ * 2 а 2 З1З гационлльныв дгови и их интвггигованив Пример Е. Вычислить интегралы !2 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
